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- 2021-06-09 发布
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微专题18 函数的最值
一、基础知识:
1、函数的最大值与最小值:
(1)设函数的定义域为,若,使得对,均满足,那么称为函数的一个最大值点,称为函数的最大值
(2)设函数的定义域为,若,使得对,均满足,那么称为函数的一个最小值点,称为函数的最小值
(3)最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点
(4)最值为函数值域的元素,即必须是某个自变量的函数值。例如:,由单调性可得有最小值,但由于取不到4,所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。
(5)一个函数其最大值(或最小值)至多有一个,而最大值点(或最小值点)的个数可以不唯一,例如,其最大值点为,有无穷多个。
2.“最值”与“极值”的区别和联系
右图为一个定义在闭区间上的函数的图象.图中与是极小值,是极大值.函数在上的最大值是,最小值是
(1)“最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性.
(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一;
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个
(4)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
3、结论:一般地,在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线,那么函数在上必有最大值与最小值.
4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生,其余的点位于单调区间中,意味着在这些点的周围既有比它大的,也有比它小的,故不会成为最值点
5、利用导数求函数的最值步骤:
一般地,求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求在内的极值;
(2)将的各极值与端点处的函数值、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数在上的最值
6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性,所以说,函数的单调区间是求最值与极值的基础
7、在比较的过程中也可简化步骤:
(1)利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点
(2)极小值点不会是最大值点,极大值点也不会是最小值点
8、最值点的作用
(1)关系到函数的值域
(2)由最值可构造恒成立的不等式:
例如:,可通过导数求出,由此可得到对于任意的,均有,即不等式
二、典型例题:
例1:求函数的最值
思路:首先判定定义域为,对函数进行求导,根据单调区间求出函数的最值
解:,令,解得:
的单调区间为:
,无最小值
小炼有话说:函数先增再减,其最大值即为它的极大值点,我们可以将这种先增再减,或者先减再增的函数成为“单峰函数”,在单峰函数中,极值点即为函数的某个最值点。
例2:已知函数,是的一个极值点,求:
(1)实数的值
(2)判断在区间上是否存在最大值和最小值
解:(1)
是的一个极值点
(2)思路,由第(1)问可得,进而求出单调区间得到最值
解: ,令,解得:或
的单调区间为:
计算
小炼有话说:在本题中,最小值的求解尽管不在所给区间中,但也需要代入到中计算,此时计算出的是函数左边界的临界值,如果,则函数就不存在最小值了。所以在求定义域为开区间的函数最值时,也要关注边界处的临界值。
例3:已知函数,是否存在实数,使得在上取得最大值,最小值若存在,求出的值,若不存在,请说明理由
思路:利用求出函数的单调区间,在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置,进而根据最大最小值解出
解:,
(1)当时,
在单调递减
(2)当时,
在单调递增
或
小炼有话说:本题在求最值时由于函数带有参数,从而在解单调区间的过程中涉及到对参数的分类讨论。从而确定最值的选取(有关含参数单调区间的计算详见2.1)
例4:求函数()的最值
思路一:考虑去掉绝对值得到一个分段函数,在利用导数求出每段的最值,再进行比较
解: 恒成立
当时,
可得:在单调递增,在单调递减
时,
当时,
在单调递减, 当时,
可得函数的最值为,
思路二:考虑先求出绝对值里表达式的值域,然后在加上绝对值求出最值。
解:令 ,
令,解得:或
的单调区间为:
的值域为
的值域为 ,
小炼有话说:(1)第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法,绝对值的函数中若绝对值内部比较简单,则通常先通过讨论绝对值内部的符号,将函数转化成为分段函数进行分析,而求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较
(2)第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时(例如绝对值为0的点不好确定),也可考虑先求出内部的取值范围,再取绝对值进而得到值域。
例5:已知函数的定义域为,求在上的最值
思路:的单调区间可通过导数来确定,,是的极值点,而极值点是否在会影响最值点的选取,从而要依次进行分类讨论
解:,令解得
在单调递减,在单调递增 为的极小值点
(1)当时,在单调递增
(2)当时, 在单调递减,在单调递增
下面比较的大小
若
时,
当时,
当时,
综上所述:时,
时,,
时,
时,
例6:已知函数在区间上取得最小值4,则___________.
思路一: 函数的定义域为,.当时,,当时,,为增函数,所以,
,矛盾舍去;当时,若,,为减函数,若,,为增函数,所以为极小值,也是最小值;①当,即时,在上单调递增,所以,所以(矛盾);②当,即时,在上单调递减,,所以.③当,即时,在 上的最小值为,此时(矛盾).综上.
思路二:,令导数,考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得,因此可假设分别为函数的最小值点,求出后再检验即可。
答案:
小炼有话说:(1)思路一为传统解法,即考虑函数是否有极值点,以及结合函数单调性分析最小值点的位置,但由于函数含有参数,导致解单调区间和极值点时要进行分类讨论,过程较为复杂
(2)思路二的想法源于最值点的出处,即最值点只会在边界点与极值点处产生,而本题中的边界点与可能的极值点个数较少,故采取先算再验的手段,方法比较简便。
例7:已知函数在上是增函数,函数.当时,函数的最大值与最小值的差为,则________.
思路:含有绝对值,故考虑利用分段函数去掉绝对值后寻找最值,先利用的条件确定的取值范围,,由在上是增函数可得对任意的,恒成立 ,而,,
,绝对值的分界点为,由及定义域
需对是否在区间中进行分类讨论
(1)当时,则 ,可判断出为减函数
,故舍去
(2)当时,
时,单调递减,
当时
单增,。,所以。所以,从而有,解得。
答案:
例8:若函数有最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
思路:观察到真数部分为开口向上的抛物线,所以若取到最小值,则底数且 真数取到最小值,而真数部分恒大于零,所以只需有大于零的最小值即可。,从而,
解得,另一方面,所以
答案:C
例9:已知在区间上任取三个不同的数,均存在以为边长的三角形,则的取值范围是 .
思路:考虑三角形成立的条件:两条较短的边的和大于第三边,由于任取, 也可取值域中的任意值。要保证能构成三角形,满足两个条件:① 均大于零,即,② 极端情形短边均取最小值,和大于第三边即可。 令结合定义域解得:,故在单调减,在单调增。,,
答案:
例10:若函数在上有最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
思路:,令或,所以在单调递增,在单调递减,为函数的极小值点。因为函数在上有最小值,则函数的极小值点必在区间 内,且左端点的函数值不小于,,
答案:C