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  • 2021-06-09 发布

2020届二轮复习利用导数解函数的最值学案(全国通用)

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微专题18 函数的最值 一、基础知识:‎ ‎1、函数的最大值与最小值:‎ ‎(1)设函数的定义域为,若,使得对,均满足,那么称为函数的一个最大值点,称为函数的最大值 ‎(2)设函数的定义域为,若,使得对,均满足,那么称为函数的一个最小值点,称为函数的最小值 ‎(3)最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点 ‎(4)最值为函数值域的元素,即必须是某个自变量的函数值。例如:,由单调性可得有最小值,但由于取不到4,所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。‎ ‎(5)一个函数其最大值(或最小值)至多有一个,而最大值点(或最小值点)的个数可以不唯一,例如,其最大值点为,有无穷多个。‎ ‎2.“最值”与“极值”的区别和联系 右图为一个定义在闭区间上的函数的图象.图中与是极小值,是极大值.函数在上的最大值是,最小值是 ‎(1)“最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性.‎ ‎(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一;‎ ‎(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个 ‎(4)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.‎ ‎3、结论:一般地,在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线,那么函数在上必有最大值与最小值.‎ ‎4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生,其余的点位于单调区间中,意味着在这些点的周围既有比它大的,也有比它小的,故不会成为最值点 ‎5、利用导数求函数的最值步骤:‎ 一般地,求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:‎ ‎(1)求在内的极值;‎ ‎(2)将的各极值与端点处的函数值、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数在上的最值 ‎6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性,所以说,函数的单调区间是求最值与极值的基础 ‎ ‎7、在比较的过程中也可简化步骤:‎ ‎(1)利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 ‎(2)极小值点不会是最大值点,极大值点也不会是最小值点 ‎8、最值点的作用 ‎(1)关系到函数的值域 ‎(2)由最值可构造恒成立的不等式:‎ 例如:,可通过导数求出,由此可得到对于任意的,均有,即不等式 二、典型例题:‎ 例1:求函数的最值 思路:首先判定定义域为,对函数进行求导,根据单调区间求出函数的最值 解:,令,解得:‎ 的单调区间为:‎ ‎,无最小值 小炼有话说:函数先增再减,其最大值即为它的极大值点,我们可以将这种先增再减,或者先减再增的函数成为“单峰函数”,在单峰函数中,极值点即为函数的某个最值点。‎ 例2:已知函数,是的一个极值点,求:‎ ‎(1)实数的值 ‎(2)判断在区间上是否存在最大值和最小值 解:(1)‎ ‎ 是的一个极值点 ‎(2)思路,由第(1)问可得,进而求出单调区间得到最值 解: ,令,解得:或 的单调区间为:‎ 计算 ‎ ‎ 小炼有话说:在本题中,最小值的求解尽管不在所给区间中,但也需要代入到中计算,此时计算出的是函数左边界的临界值,如果,则函数就不存在最小值了。所以在求定义域为开区间的函数最值时,也要关注边界处的临界值。‎ 例3:已知函数,是否存在实数,使得在上取得最大值,最小值若存在,求出的值,若不存在,请说明理由 思路:利用求出函数的单调区间,在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置,进而根据最大最小值解出 解:,‎ ‎(1)当时, ‎ 在单调递减 ‎ ‎(2)当时, ‎ 在单调递增 ‎ 或 小炼有话说:本题在求最值时由于函数带有参数,从而在解单调区间的过程中涉及到对参数的分类讨论。从而确定最值的选取(有关含参数单调区间的计算详见2.1)‎ 例4:求函数()的最值 思路一:考虑去掉绝对值得到一个分段函数,在利用导数求出每段的最值,再进行比较 解: 恒成立 ‎ ‎ 当时,‎ 可得:在单调递增,在单调递减 时,‎ 当时,‎ 在单调递减, 当时,‎ 可得函数的最值为,‎ 思路二:考虑先求出绝对值里表达式的值域,然后在加上绝对值求出最值。‎ 解:令 ,‎ 令,解得:或 的单调区间为:‎ 的值域为 ‎ 的值域为 ,‎ 小炼有话说:(1)第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法,绝对值的函数中若绝对值内部比较简单,则通常先通过讨论绝对值内部的符号,将函数转化成为分段函数进行分析,而求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较 ‎(2)第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时(例如绝对值为0的点不好确定),也可考虑先求出内部的取值范围,再取绝对值进而得到值域。‎ 例5:已知函数的定义域为,求在上的最值 思路:的单调区间可通过导数来确定,,是的极值点,而极值点是否在会影响最值点的选取,从而要依次进行分类讨论 解:,令解得 在单调递减,在单调递增 为的极小值点 ‎(1)当时,在单调递增 ‎ ‎(2)当时, 在单调递减,在单调递增 ‎ ‎ 下面比较的大小 若 时,‎ 当时,‎ 当时,‎ 综上所述:时,‎ 时,,‎ 时,‎ 时,‎ 例6:已知函数在区间上取得最小值4,则___________.‎ 思路一: 函数的定义域为,.当时,,当时,,为增函数,所以,‎ ‎,矛盾舍去;当时,若,,为减函数,若,,为增函数,所以为极小值,也是最小值;①当,即时,在上单调递增,所以,所以(矛盾);②当,即时,在上单调递减,,所以.③当,即时,在 上的最小值为,此时(矛盾).综上.‎ 思路二:,令导数,考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得,因此可假设分别为函数的最小值点,求出后再检验即可。‎ 答案:‎ 小炼有话说:(1)思路一为传统解法,即考虑函数是否有极值点,以及结合函数单调性分析最小值点的位置,但由于函数含有参数,导致解单调区间和极值点时要进行分类讨论,过程较为复杂 ‎(2)思路二的想法源于最值点的出处,即最值点只会在边界点与极值点处产生,而本题中的边界点与可能的极值点个数较少,故采取先算再验的手段,方法比较简便。‎ 例7:已知函数在上是增函数,函数.当时,函数的最大值与最小值的差为,则________.‎ 思路:含有绝对值,故考虑利用分段函数去掉绝对值后寻找最值,先利用的条件确定的取值范围,,由在上是增函数可得对任意的,恒成立 ,而,,‎ ‎,绝对值的分界点为,由及定义域 需对是否在区间中进行分类讨论 ‎(1)当时,则 ,可判断出为减函数 ‎ ‎ ‎,故舍去 ‎(2)当时,‎ 时,单调递减,‎ 当时 单增,。,所以。所以,从而有,解得。‎ 答案:‎ 例8:若函数有最小值,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:观察到真数部分为开口向上的抛物线,所以若取到最小值,则底数且 真数取到最小值,而真数部分恒大于零,所以只需有大于零的最小值即可。,从而,‎ 解得,另一方面,所以 ‎ 答案:C 例9:已知在区间上任取三个不同的数,均存在以为边长的三角形,则的取值范围是     .‎ 思路:考虑三角形成立的条件:两条较短的边的和大于第三边,由于任取, 也可取值域中的任意值。要保证能构成三角形,满足两个条件:① 均大于零,即,② 极端情形短边均取最小值,和大于第三边即可。 令结合定义域解得:,故在单调减,在单调增。,,‎ 答案:‎ 例10:若函数在上有最小值,则实数的取值范围是(   )‎ A. B. C. D.‎ 思路:,令或,所以在单调递增,在单调递减,为函数的极小值点。因为函数在上有最小值,则函数的极小值点必在区间 内,且左端点的函数值不小于,,‎ 答案:C