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- 2021-06-09 发布
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随堂巩固训练(81)
1. 在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为 .
解析：坐标小于1的区间为[0，1)，长度为1，[0，3]的区间长度为3，故所求概率为.
2. 在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝ 3 .
解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m.当0AC的概率为 .
解析：设事件D为“作射线CM，使AM>AC”.在AB上取点C′使AC′＝AC，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝＝75°.事件D发生的区域∠C′CB＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域∠ACB＝90°，所以P(D)＝＝.
4. 记函数f(x)＝的定义域为D，在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是 .
解析：设事件“在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，所以D＝[－2，3]. 区间[－4，5]的长度为9，定义域D的长度为5，所以P(A)＝.
5. 如图，在面积为S的矩形ABCD内任取一点P，则△PBC的面积小于的概率为 Ｗ.
解析：如图，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于点E，当△PBC的面积等于时，BC·PF＝BC·EF，所以PF＝EF.过点P作GH平行于BC交AB于点G，交CD于点H，则满足条件“△PBC的面积小于”的点P落在矩形区域GBCH内.设“△PBC的面积小于”为事件A，则事件A发生区域的面积为，而试验的全部结果所构成的区域面积为S，所以P(A)＝＝.
6. 设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 Ｗ.
解析：
如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4.阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是.
7. 如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是 3π Ｗ.
解析：设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得＝，则S＝3π.
8. 已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是 Ｗ.
解析：以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则＋＝，因为＋＋2＝0，所以＋＝－2，得＝－2，由此可得，P是△ABC边BC上的中线的中点，点P到BC的距离等于点A到BC距离的，所以S△PBC＝S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为＝.
9. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 1－ Ｗ.
解析：设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连结OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.
在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－＝1，所以整体图形中空白部分面积S2＝2.又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2，所以在扇形OAB内随机取一
点，则此点取自阴影部分的概率为＝1－.
10. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为 Ｗ.
解析：因为VAA1BD＝VA1ABD＝AA1×S△ABD＝×AA1×S矩形ABCD＝V长方体，故所求概率为＝.
11. 在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，求函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率.
解析：由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点.
试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，
其面积SΩ＝(2π)2＝4π2.
事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即图中阴影部分，
其面积为S阴＝4π2－π3，
故P(A)＝＝＝1－.
12. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的. 如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.
解析：设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，
则0≤x≤24，0≤y≤24，
要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，
即y－x≥1或x－y≥2，故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0，24]，y∈[0，24]}，则A为图中阴影部分.
全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部，
所求概率为P(A)＝＝
＝，
故它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为.
13. 已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y).
(1) 若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2) 若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足a·b<0的概率.
解析：(1) 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36.由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，即y＝2x－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1，1)，
(2，3)，(3，5)，共3个，故满足a·b＝－1的概率为＝.
(2) 若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6}.
满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6且－2x＋y<0}.画出图象如图所示，矩形的面积为S＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，故满足a·b<0的概率为.
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