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- 2021-06-09 发布
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(四)不等式选讲
1.已知正数x,y满足x2+y2=2,求证:x+y≥2xy.
证明 ∵x>0,y>0,
∴要证x+y≥2xy,只要证(x+y)2≥4x2y2,
即证x2+y2+2xy≥4x2y2.
∵x2+y2=2,∴只要证2+2xy≥4x2y2,
即证2(xy)2-xy-1≤0,即证(2xy+1)(xy-1)≤0.
∵2xy+1>0,∴只要证xy≤1.
∵2xy≤x2+y2=2,∴xy≤1成立,
当且仅当x=y=1时取等号.
∴x+y≥2xy.
2.已知a,b,c都是正数且abc=1,求证:(2+a)(2+b)(2+c)≥27.
证明 由算术-几何平均不等式可得
2+a=1+1+a≥3,
2+b=1+1+b≥3,
2+c=1+1+c≥3.
不等式两边分别相乘可得,
(2+a)(2+b)(2+c)≥3×3×3=27=27,
当且仅当a=b=c=1时等号成立.
3.已知函数f(x)=2|x-2|+3|x+3|.若函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足4a+25b=m,求+的最小值,并求出此时a,b的值.
解 依题意知,f(x)=
当x=-3时,函数f(x)有最小值10,故4a+25b=10,
故+=
=≥=,
当且仅当=时等号成立,
此时a=,b=.
4.(2018·镇江调研)已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|,若对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,求实数a的取值范围.
解 ∵对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,
∴f(x)min>a2-3,
又∵|x-a|+|x+a|≥ |x-a-(x+a)|=|2a|,
∴|2a|>a2-3,
即|a|2-2|a|-3<0,
解得-1<|a|<3.
∴-3