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  • 2021-05-14 发布

高考数学练习题 圆锥曲线大全有答案

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‎2010届高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线 ‎1. 已知椭圆C的焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设A、B为椭圆上的两个动点,,过原点O作直线AB的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.‎ ‎2. 设直线与双曲线相交于A,B两点,O为坐标原点.‎ ‎(I)为何值时,以AB为直径的圆过原点.‎ ‎(II)是否存在实数,使且,若存在,求的值,若不存在,说明理由.‎ ‎3. (理)设双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为e,若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形.‎ ‎  (1)求双曲线C的离心率e的值;‎ ‎  (2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为求双曲线c的方程.‎ ‎  (文)在△ABC中,A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]上滑动.‎ ‎  (1)求△ABC外心的轨迹方程;‎ ‎  (2)设直线l∶y=3x+b与(1)的轨迹交于E,F两点,原点到直线l的距离为d,求的最大值.并求出此时b的值.‎ ‎4. 已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线于A、B两点,且 ‎ (1)求直线AB的方程;‎ ‎ (2)若过N的直线l交双曲线于C、D两点,且,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?‎ ‎5. 设(为常数),若,且只有唯一实数根 ‎(1)求的解析式 ‎(2)令求数列的通项公式。‎ ‎6. 已知点C(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足 ‎(1)当点P在y轴上运动时,求点M的轨迹C的方程;‎ ‎(2)是否存在一个点H,使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在,求出这个点的坐标,若不存在说明理由。‎ ‎7. 设为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量.‎ ‎ (1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;‎ ‎(2)过点(0,3)作直线与曲线C 的交于A、B两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形OAPB为矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎8. 已知倾斜角为的直线过点和点,点在第一象限,。‎ ‎(1)求点的坐标;‎ ‎(2)若直线与双曲线相交于两点,且线段的中点坐标为,求的值;‎ ‎(3)对于平面上任一点,当点在线段上运动时,称的最小值为与线段的距离。已知在轴上运动,写出点到线段的距离关于的函数关系式。‎ ‎9. 如图,已知定点,动点P在y轴上运动,过点P作交x轴于点M,延长MP到N,使 ‎⑴求动点N的轨迹C的方程;‎ ‎⑵设直线与动点N的轨迹C交于A,B两点,若若线段AB的长度满足:‎ ‎,求直线的斜率的取值范围。‎ ‎10. 在中,点分线段所成的比为,以、所在的直线为渐近线且离心率为的双曲线恰好经过点.‎ ‎⑴求双曲线的标准方程;‎ ‎⑵若直线与双曲线交 于不同的两点、,且、两点都在以点 为圆心的同一圆上,求实数的取值范围.‎ ‎11. 经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.‎ (1) 若线段AB的斜率为k,试求中点M的轨迹方程;‎ (1) 若直线的斜率k>2,且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为,试确定m的取值范围。‎ ‎12. 一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点.‎ ‎(Ⅰ)求点关于直线的对称点的坐标;‎ ‎(Ⅱ)求以、为焦点且过点的椭圆的方程;‎ ‎(Ⅲ)设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点,点为线段上的动点,求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点的坐标.‎ ‎13. 已知椭圆E:,点P是椭圆上一点。‎ ‎(1)求的最值。‎ ‎(2)若四边形ABCD内接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形面积的最大值。‎ ‎14. 已知椭圆的一个焦点,对应的准线方程为,且离心率满足,,成等比数列.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)试问是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点、,且线段恰被直线平分?若存在,求出的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎15. 已知向量.‎ ‎(Ⅰ)求点的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线C与直线相交于不同的两点M、N,又点,当时,求实数的取值范围。‎ ‎16. 设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.‎ ‎ (I)证明:;‎ ‎ (II)若的面积取得最大值时的椭圆方程.‎ ‎17. 如图,已知⊙:及点A,在 ⊙上任取一点A′,连AA′并作AA′的中垂线l,设l与直线A′交于点P,若点A′取遍⊙上的点.‎ ‎(1)求点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)若过点的直线与曲线交于、两点,且,则当时,求直线的斜率的取值范围.‎ ‎18. 如图,已知⊙:及点 ,在 ⊙上任取一点′,连′,并作′的中垂线l,设l与′交于点P, 若点′取遍⊙上的点.‎ ‎(1)求点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)设直线与轨迹C相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点D.若的面积取得最大值时的椭圆方程.‎ ‎19. 点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆C上,且位于x轴上方, ‎ ‎(1)求椭圆C的的方程;‎ ‎(2)求点P的坐标;‎ ‎(3)设M是椭圆长轴AB上的一点,点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到M的距离d的最小值。‎ ‎20. 已知正方形的外接圆方程为,A、B、C、D按逆时针方向排列,正方形一边CD所在直线的方向向量为(3,1).‎ ‎(1)求正方形对角线AC与BD所在直线的方程;‎ ‎(2)若顶点在原点,焦点在轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B,求抛物线E的方程.‎ 答案:‎ ‎1. (1)设椭圆C的方程为.‎ 由题意可得:,, ‎ ‎(2)(1)当直线AB的斜率存在时,‎ 设直线AB的方程为 ‎,‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 即,‎ ‎ ① ‎ 又, ②‎ 又点在直线AB上,‎ ‎ ③ ‎ 把②③代入①得,‎ 点D的轨迹方程为 ‎ ‎(2)当直线AB的斜率不存在时,,满足 点D的轨迹方程为 ‎ ‎2. 解(I)设 由 ‎ 且,‎ 又以AB为直径的圆过原点.既 ‎ ‎ ‎(II)‎ ‎ ‎ 右准线l的方程为:x=,两条渐近线方程为:.‎ ‎  ∴ 两交点坐标为 ,、,.‎ ‎  ∵ △PFQ为等边三角形,则有(如图).‎ ‎  ∴ ,即.‎ ‎  解得 ,c=‎2a.∴ .‎ ‎  (2)由(1)得双曲线C的方程为把.‎ ‎  把代入得.‎ ‎  依题意  ∴ ,且.‎ ‎  ∴ 双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为 ‎  ‎ ‎   ‎ ‎  ∵ .‎ ‎  ∴ .‎ ‎  整理得 .‎ ‎  ∴ 或.‎ ‎  ∴ 双曲线C的方程为:或.‎ ‎  (文)(1)设B点的坐标为(0,),则C点坐标为(0,+2)(-3≤≤1),‎ ‎  则BC边的垂直平分线为y=+1                  ①‎ ‎                        ②‎ ‎  由①②消去,得.‎ ‎  ∵ ,∴ .‎ ‎  故所求的△ABC外心的轨迹方程为:.‎ ‎  (2)将代入得.‎ ‎  由及,得.‎ ‎  所以方程①在区间,2有两个实根.‎ ‎  设,则方程③在,2上有两个不等实根的充要条件是:‎ ‎  ‎ ‎  之得.‎ ‎  ∵ ‎ ‎  ∴ 由弦长公式,得 ‎  又原点到直线l的距离为,‎ ‎  ∴ ‎ ‎  ∵ ,∴ .‎ ‎  ∴ 当,即时,.‎ ‎4. (1)设直线AB:代入得 ‎ (*)‎ ‎ 令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程的两根 ‎ ∴ 且 ‎ ‎ ∵ ∴ N是AB的中点 ∴ ‎ ‎ ∴ k = 1 ∴AB方程为:y = x + 1 ‎ ‎ (2)将k = 1代入方程(*)得 或 ‎ ‎ 由得,‎ ‎ ∴ , ‎ ‎ ∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为 ‎ 即代入双曲线方程整理得 ‎ 令,及CD中点 ‎ 则,, ∴, ‎ ‎ |CD| =,‎ ‎ ,即A、B、C、D到M距离相等 ‎ ∴ A、B、C、D四点共圆 12分 ‎5. (1)直线方程为代入得 ‎,设则 ‎ ‎ ‎ 点的坐标为 ‎ 在椭圆上即 ‎ ‎ ‎(2)‎ 已知 椭圆方程为 ‎22.(1),又 令得 当时得方程的实数根和 于是 当时方程有唯一实数根 或 ‎(2)当时,,令则,‎ 当时, 为等比数列,‎ 或 ‎6. (1)设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)‎ 则 由得3s—t2=0……………………………………………………①‎ 又由得 ‎, ……………………………………②‎ 把②代入①得=0,即y2=4x,又x≠0‎ ‎∴点M的轨迹方程为:y2=4x(x≠0)‎ ‎(2)如图示,假设存在点H,满足题意,则 设,则由可得 解得 又 则直线AB的方程为:‎ 即把代入,化简得 令y=0代入得x=4,∴动直线AB过定点(4,0)‎ 答,存在点H(4,0),满足题意。‎ ‎7. (1)‎ 即点M(x,y)到两个定点F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为8,‎ 点M(x,y)的轨迹C为以F1(0,-2)、F2(0,2)为焦点的椭圆,其方程为 ‎.‎ ‎ (2)由题意可设直线方程为,‎ 由消去y得:(4+3k)x2 +18kx-21=0. ‎ 此时,△=(18k)2-4(4+3k2 (-21)>0恒成立,且 ‎ 由知:四边形OAPB为平行四边形.‎ 假设存在直线,使得四边形OAPB为矩形,则 .‎ 因为,所以,‎ 而,‎ 故,即.‎ 所以,存在直线:,使得四边形OAPB为矩形.‎ ‎8. (1)设,‎ ‎ , ‎ ‎ ‎ ‎(2)设 由 得,‎ ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎(3)设线段上任意一点 ‎ ‎ 当时,即时,当时,;‎ 当时,即时,当时,;‎ 当时,即时,当时,。‎ ‎ ‎ ‎9. (1) 设动点则直线的方程为,令。是MN的中点,,故,消去得N的轨迹C的方程为.‎ ‎(2) 直线的方程为,直线与抛物线的交点坐标分别为,由得,‎ ‎ 又由得 ‎ 由可得,解得的取值范围是 ‎10. (1)由已知得即,∴, ‎ ‎∴‎ ‎(2)当时,,‎ ‎∴,‎ ‎∴……‎ ‎(3) (),假设存在符合条件的使命题成立,则 ‎①当为偶数时,为奇数,则,由得.‎ ‎②当为奇数时,是偶数,则,‎ 由得矛盾.‎ 综合以上知,存在使得.‎ ‎20.解:(1)因为双曲线离心率为,所以可设双曲线的标准方程 由此可得渐近线的斜率从而,又因为点分线段所成的比为,所以,将点的坐标代入双曲线方程的,‎ 所以双曲线的方程为.‎ ‎(2)设线段的中点为.‎ 由 则且 ①‎ 由韦达定理的由题意知,‎ 所以 ②‎ 由①、②得 或 ‎11. .(1)设A(直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入,得 ‎ kx-(2k+4)x+k=0‎ 设M(x ,y).则 ‎ ‎∴点M的坐标为(‎ 消去k可得M的轨迹方程为 ‎ (2)由 d= ‎ 得 ‎ 即 0<<,得 ‎0<,‎ 即 或 ‎ ‎ 故的取值范围为 (-‎ ‎12. (Ⅰ)设的坐标为,则且.‎ 解得, 因此,点 的坐标为. ‎ ‎(Ⅱ),根据椭圆定义,‎ 得,‎ ‎,.‎ ‎∴所求椭圆方程为. ‎ ‎(Ⅲ),椭圆的准线方程为. ‎ 设点的坐标为,表示点到的距离,表示点到椭圆的右准线的距离.‎ 则,.‎ ‎, ‎ 令,则,‎ 当,, ,.‎ ‎ ∴ 在时取得最小值. ‎ 因此,最小值=,此时点的坐标为.‎ 注:的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得.‎ 说明:求得的点即为切点,的最小值即为椭圆的离心率.‎ ‎13. (1)由得,则 则 所以的最大值为25,最小值为16。‎ ‎(2)如图,由及椭圆方程得A(5,0)。同理C(0,4),设为椭圆上任一点,又AC方程为,即。所以B到AC的距离为 同理得D到直线AC的距离 所以四边形ABCD最大面积。‎ ‎14. (1)∵成等比数列 ∴  ‎ 设是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得 ‎ ‎ 即为所求的椭圆方程. ‎ ‎(2)假设存在,因与直线相交,不可能垂直轴 因此可设的方程为:由 ‎  ①‎ 方程①有两个不等的实数根 ‎∴ ②‎ 设两个交点、的坐标分别为 ∴‎ ‎∵线段恰被直线平分 ∴ ‎ ‎∵ ∴ ③ 把③代入②得 ‎ ‎∵  ∴ ∴解得或 ‎∴直线的倾斜角范围为 ‎ ‎15. 由题意得:‎ ‎(II)由得,‎ 由于直线与椭圆有两个不同的交点,,即 ①‎ ‎(1)当时,设弦MN的中点为分别为点M、N的横坐标,则 又 ②.‎ 将②代入①得,解得, 由②得 , ‎ 故所求的取值范围是 ‎(2)当时,‎ ‎16. 依题意,直线l显然不平行于坐标轴,故 将,得 ‎ ①‎ 由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得 ‎,‎ 即 ‎ ‎ (II)解:设由①,得 因为,代入上式,得 ‎ 于是,△OAB的面积 ‎ ‎ ‎ 其中,上式取等号的条件是 由 将这两组值分别代入①,均可解出 所以,△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 ‎17. (1) ∵l是线段A的中垂线,∴,‎ ‎∴||PA|-|P||=||P|-|P||=||=.即点P在以、A为焦点,以4为焦距,以为实轴长的双曲线上,故轨迹C的方程为. ‎ ‎ (2)设,,则直线的方程为,则由,得 ‎ ,.由,得.∴,‎ ‎ ,.由,,,‎ ‎ 消去,得.∵,函数在上单调递增.‎ ‎ ∴,,所以 或.‎ ‎ 故斜率的取值范围为.‎ ‎18. (1) ∵l是线段的中垂线,∴,‎ ‎∴|PM|+|P|=|P|+|P|=||=‎2m.即点P在以、M为焦点,以为焦距,以为长轴长的椭圆上,故轨迹C的方程为,即. ‎ ‎(2)由 得 将代入消去,得 ① ‎ 由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得 整理得,即 ‎ ‎ 设由①,得.‎ ‎∵而点, ∴,所以,‎ 代入上式,得 ‎ 于是,△OAB的面积 ‎ 其中,上式取等号的条件是即 由可得.‎ 将及这两组值分别代入①,均可解出 ‎∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 ‎19. (1)已知双曲线实半轴a1=4,虚半轴b1=2,半焦距c1=,‎ ‎∴椭圆的长半轴a2=c1=6,椭圆的半焦距c2=a1=4,椭圆的短半轴=,‎ ‎∴所求的椭圆方程为 ‎ ‎(2)由已知,,设点P的坐标为,则 由已知得 ‎ ‎ 则,解之得, ‎ 由于y>0,所以只能取,于是,所以点P的坐标为9分 ‎(3)直线,设点M是,则点M到直线AP的距离是,于是, ‎ 又∵点M在椭圆的长轴上,即 ‎ ‎∴当时,椭圆上的点到的距离 ‎ ‎ 又 ∴当时,d取最小值 ‎20. (1) 由(x-12)2+y2=144-a(a<144),可知圆心M的坐标为(12,0), ‎ 依题意,∠ABM=∠BAM=,kAB= , 设MA、MB的斜率k.‎ 则且,‎ 解得=2,=- . ‎ ‎∴所求BD方程为x+2y-12=0,AC方程为2x-y-24=0.‎ ‎(2) 设MB、MA的倾斜角分别为θ1,θ2,则tanθ1=2,tanθ2=-,‎ 设圆半径为r,则A(12+),B(12-,),‎ 再设抛物线方程为y2=2px (p>0),由于A,B两点在抛物线上,‎ ‎∴ ∴ r=4,p=2.‎ 得抛物线方程为y2=4x 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m