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- 2021-05-14 发布
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2010届高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线
1. 已知椭圆C的焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B为椭圆上的两个动点,,过原点O作直线AB的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.
2. 设直线与双曲线相交于A,B两点,O为坐标原点.
(I)为何值时,以AB为直径的圆过原点.
(II)是否存在实数,使且,若存在,求的值,若不存在,说明理由.
3. (理)设双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为e,若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形.
(1)求双曲线C的离心率e的值;
(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为求双曲线c的方程.
(文)在△ABC中,A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]上滑动.
(1)求△ABC外心的轨迹方程;
(2)设直线l∶y=3x+b与(1)的轨迹交于E,F两点,原点到直线l的距离为d,求的最大值.并求出此时b的值.
4. 已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线于A、B两点,且
(1)求直线AB的方程;
(2)若过N的直线l交双曲线于C、D两点,且,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?
5. 设(为常数),若,且只有唯一实数根
(1)求的解析式
(2)令求数列的通项公式。
6. 已知点C(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足
(1)当点P在y轴上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)是否存在一个点H,使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在,求出这个点的坐标,若不存在说明理由。
7. 设为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(0,3)作直线与曲线C 的交于A、B两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形OAPB为矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
8. 已知倾斜角为的直线过点和点,点在第一象限,。
(1)求点的坐标;
(2)若直线与双曲线相交于两点,且线段的中点坐标为,求的值;
(3)对于平面上任一点,当点在线段上运动时,称的最小值为与线段的距离。已知在轴上运动,写出点到线段的距离关于的函数关系式。
9. 如图,已知定点,动点P在y轴上运动,过点P作交x轴于点M,延长MP到N,使
⑴求动点N的轨迹C的方程;
⑵设直线与动点N的轨迹C交于A,B两点,若若线段AB的长度满足:
,求直线的斜率的取值范围。
10. 在中,点分线段所成的比为,以、所在的直线为渐近线且离心率为的双曲线恰好经过点.
⑴求双曲线的标准方程;
⑵若直线与双曲线交
于不同的两点、,且、两点都在以点
为圆心的同一圆上,求实数的取值范围.
11. 经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.
(1) 若线段AB的斜率为k,试求中点M的轨迹方程;
(1) 若直线的斜率k>2,且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为,试确定m的取值范围。
12. 一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点.
(Ⅰ)求点关于直线的对称点的坐标;
(Ⅱ)求以、为焦点且过点的椭圆的方程;
(Ⅲ)设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点,点为线段上的动点,求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点的坐标.
13. 已知椭圆E:,点P是椭圆上一点。
(1)求的最值。
(2)若四边形ABCD内接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形面积的最大值。
14. 已知椭圆的一个焦点,对应的准线方程为,且离心率满足,,成等比数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点、,且线段恰被直线平分?若存在,求出的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.
15. 已知向量.
(Ⅰ)求点的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设曲线C与直线相交于不同的两点M、N,又点,当时,求实数的取值范围。
16. 设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
(I)证明:;
(II)若的面积取得最大值时的椭圆方程.
17. 如图,已知⊙:及点A,在 ⊙上任取一点A′,连AA′并作AA′的中垂线l,设l与直线A′交于点P,若点A′取遍⊙上的点.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若过点的直线与曲线交于、两点,且,则当时,求直线的斜率的取值范围.
18. 如图,已知⊙:及点 ,在 ⊙上任取一点′,连′,并作′的中垂线l,设l与′交于点P, 若点′取遍⊙上的点.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)设直线与轨迹C相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点D.若的面积取得最大值时的椭圆方程.
19. 点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆C上,且位于x轴上方,
(1)求椭圆C的的方程;
(2)求点P的坐标;
(3)设M是椭圆长轴AB上的一点,点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到M的距离d的最小值。
20. 已知正方形的外接圆方程为,A、B、C、D按逆时针方向排列,正方形一边CD所在直线的方向向量为(3,1).
(1)求正方形对角线AC与BD所在直线的方程;
(2)若顶点在原点,焦点在轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B,求抛物线E的方程.
答案:
1. (1)设椭圆C的方程为.
由题意可得:,,
(2)(1)当直线AB的斜率存在时,
设直线AB的方程为
,
,
即,
①
又, ②
又点在直线AB上,
③
把②③代入①得,
点D的轨迹方程为
(2)当直线AB的斜率不存在时,,满足
点D的轨迹方程为
2. 解(I)设
由
且,
又以AB为直径的圆过原点.既
(II)
右准线l的方程为:x=,两条渐近线方程为:.
∴ 两交点坐标为 ,、,.
∵ △PFQ为等边三角形,则有(如图).
∴ ,即.
解得 ,c=2a.∴ .
(2)由(1)得双曲线C的方程为把.
把代入得.
依题意 ∴ ,且.
∴ 双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为
∵ .
∴ .
整理得 .
∴ 或.
∴ 双曲线C的方程为:或.
(文)(1)设B点的坐标为(0,),则C点坐标为(0,+2)(-3≤≤1),
则BC边的垂直平分线为y=+1 ①
②
由①②消去,得.
∵ ,∴ .
故所求的△ABC外心的轨迹方程为:.
(2)将代入得.
由及,得.
所以方程①在区间,2有两个实根.
设,则方程③在,2上有两个不等实根的充要条件是:
之得.
∵
∴ 由弦长公式,得
又原点到直线l的距离为,
∴
∵ ,∴ .
∴ 当,即时,.
4. (1)设直线AB:代入得
(*)
令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程的两根
∴ 且
∵ ∴ N是AB的中点 ∴
∴ k = 1 ∴AB方程为:y = x + 1
(2)将k = 1代入方程(*)得 或
由得,
∴ ,
∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为
即代入双曲线方程整理得
令,及CD中点
则,, ∴,
|CD| =,
,即A、B、C、D到M距离相等
∴ A、B、C、D四点共圆 12分
5. (1)直线方程为代入得
,设则
点的坐标为
在椭圆上即
(2)
已知
椭圆方程为
22.(1),又
令得
当时得方程的实数根和 于是
当时方程有唯一实数根
或
(2)当时,,令则,
当时, 为等比数列,
或
6. (1)设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)
则
由得3s—t2=0……………………………………………………①
又由得
, ……………………………………②
把②代入①得=0,即y2=4x,又x≠0
∴点M的轨迹方程为:y2=4x(x≠0)
(2)如图示,假设存在点H,满足题意,则
设,则由可得
解得
又
则直线AB的方程为:
即把代入,化简得
令y=0代入得x=4,∴动直线AB过定点(4,0)
答,存在点H(4,0),满足题意。
7. (1)
即点M(x,y)到两个定点F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为8,
点M(x,y)的轨迹C为以F1(0,-2)、F2(0,2)为焦点的椭圆,其方程为
.
(2)由题意可设直线方程为,
由消去y得:(4+3k)x2 +18kx-21=0.
此时,△=(18k)2-4(4+3k2 (-21)>0恒成立,且
由知:四边形OAPB为平行四边形.
假设存在直线,使得四边形OAPB为矩形,则 .
因为,所以,
而,
故,即.
所以,存在直线:,使得四边形OAPB为矩形.
8. (1)设,
,
(2)设
由 得,
,
(3)设线段上任意一点
当时,即时,当时,;
当时,即时,当时,;
当时,即时,当时,。
9. (1) 设动点则直线的方程为,令。是MN的中点,,故,消去得N的轨迹C的方程为.
(2) 直线的方程为,直线与抛物线的交点坐标分别为,由得,
又由得
由可得,解得的取值范围是
10. (1)由已知得即,∴,
∴
(2)当时,,
∴,
∴……
(3) (),假设存在符合条件的使命题成立,则
①当为偶数时,为奇数,则,由得.
②当为奇数时,是偶数,则,
由得矛盾.
综合以上知,存在使得.
20.解:(1)因为双曲线离心率为,所以可设双曲线的标准方程
由此可得渐近线的斜率从而,又因为点分线段所成的比为,所以,将点的坐标代入双曲线方程的,
所以双曲线的方程为.
(2)设线段的中点为.
由
则且 ①
由韦达定理的由题意知,
所以 ②
由①、②得 或
11. .(1)设A(直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入,得
kx-(2k+4)x+k=0
设M(x ,y).则
∴点M的坐标为(
消去k可得M的轨迹方程为
(2)由 d=
得
即 0<<,得
0<,
即 或
故的取值范围为 (-
12. (Ⅰ)设的坐标为,则且.
解得, 因此,点 的坐标为.
(Ⅱ),根据椭圆定义,
得,
,.
∴所求椭圆方程为.
(Ⅲ),椭圆的准线方程为.
设点的坐标为,表示点到的距离,表示点到椭圆的右准线的距离.
则,.
,
令,则,
当,, ,.
∴ 在时取得最小值.
因此,最小值=,此时点的坐标为.
注:的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得.
说明:求得的点即为切点,的最小值即为椭圆的离心率.
13. (1)由得,则
则
所以的最大值为25,最小值为16。
(2)如图,由及椭圆方程得A(5,0)。同理C(0,4),设为椭圆上任一点,又AC方程为,即。所以B到AC的距离为
同理得D到直线AC的距离
所以四边形ABCD最大面积。
14. (1)∵成等比数列 ∴
设是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得
即为所求的椭圆方程.
(2)假设存在,因与直线相交,不可能垂直轴
因此可设的方程为:由
①
方程①有两个不等的实数根
∴ ②
设两个交点、的坐标分别为 ∴
∵线段恰被直线平分 ∴
∵ ∴ ③ 把③代入②得
∵ ∴ ∴解得或
∴直线的倾斜角范围为
15. 由题意得:
(II)由得,
由于直线与椭圆有两个不同的交点,,即 ①
(1)当时,设弦MN的中点为分别为点M、N的横坐标,则
又 ②.
将②代入①得,解得, 由②得 ,
故所求的取值范围是
(2)当时,
16. 依题意,直线l显然不平行于坐标轴,故
将,得
①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得
,
即
(II)解:设由①,得
因为,代入上式,得
于是,△OAB的面积
其中,上式取等号的条件是
由
将这两组值分别代入①,均可解出
所以,△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是
17. (1) ∵l是线段A的中垂线,∴,
∴||PA|-|P||=||P|-|P||=||=.即点P在以、A为焦点,以4为焦距,以为实轴长的双曲线上,故轨迹C的方程为.
(2)设,,则直线的方程为,则由,得
,.由,得.∴,
,.由,,,
消去,得.∵,函数在上单调递增.
∴,,所以 或.
故斜率的取值范围为.
18. (1) ∵l是线段的中垂线,∴,
∴|PM|+|P|=|P|+|P|=||=2m.即点P在以、M为焦点,以为焦距,以为长轴长的椭圆上,故轨迹C的方程为,即.
(2)由 得
将代入消去,得 ①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得
整理得,即
设由①,得.
∵而点, ∴,所以,
代入上式,得
于是,△OAB的面积
其中,上式取等号的条件是即
由可得.
将及这两组值分别代入①,均可解出
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是
19. (1)已知双曲线实半轴a1=4,虚半轴b1=2,半焦距c1=,
∴椭圆的长半轴a2=c1=6,椭圆的半焦距c2=a1=4,椭圆的短半轴=,
∴所求的椭圆方程为
(2)由已知,,设点P的坐标为,则
由已知得
则,解之得,
由于y>0,所以只能取,于是,所以点P的坐标为9分
(3)直线,设点M是,则点M到直线AP的距离是,于是,
又∵点M在椭圆的长轴上,即
∴当时,椭圆上的点到的距离
又 ∴当时,d取最小值
20. (1) 由(x-12)2+y2=144-a(a<144),可知圆心M的坐标为(12,0),
依题意,∠ABM=∠BAM=,kAB= , 设MA、MB的斜率k.
则且,
解得=2,=- .
∴所求BD方程为x+2y-12=0,AC方程为2x-y-24=0.
(2) 设MB、MA的倾斜角分别为θ1,θ2,则tanθ1=2,tanθ2=-,
设圆半径为r,则A(12+),B(12-,),
再设抛物线方程为y2=2px (p>0),由于A,B两点在抛物线上,
∴ ∴ r=4,p=2.
得抛物线方程为y2=4x 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m