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- 2021-06-09 发布
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1.(2019·济南市模拟考试)已知函数f(x)=(x-1)2-x+ln x(a>0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若11,
当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)是增函数,
当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减函数,
当x∈时,f′(x)>0.f(x)是增函数.
③若a>1,则0<<1,
当x∈时,f′(x)>0,f(x)是增函数,
当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减函数,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
综上所述,当a=1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当01时,f(x)在上是增函数,在上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
(2)当10,
所以g(a)在(1,e)上是增函数,
所以g(a)×9-4+ln 4=ln 4+>0,
所以存在x0∈(1,4),使f(x0)=0,
所以当10,g(2)=ln 2-1<0,
所以存在唯一的x0∈(1,2),使得g(x0)=0,且当x∈(0,x0)时,g(x)>0,即f′(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,g(x)<0,即f′(x)<0.
所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.
又当x→0时,f(x)<0,f(1)=>0,f(2)=e2(ln 2-)>0,f(e)=ee<0,
所以存在k=0或2,使得y=f(x)在(k,k+1)上有唯一零点.
3.(2019·长春市质量监测(二))已知函数f(x)=ex+bx-1(b∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若方程f(x)=ln x有两个实数根,求实数b的取值范围.
解:(1)由题意可得f′(x)=ex+b,
当b≥0时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
当b<0时,若x≥ln(-b),则f′(x)≥0,f(x)在[ln (-b),+∞)上单调递增;
若x0),则h′(x)=-exx-<0,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,
h(1)=0,所以ex0-ex0x0-ln x0<0的解集为(1,+∞),所以b=-ex0<1-e.
当b<1-e时,ex+bx-1-ln x>x+bx-ln x,有g(eb)>eb+beb-ln eb=(b+1)eb-b,
令G(x)=(x+1)ex-x=(x+1)(ex-1)+1,x<1-e,所以x+1<2-e<0,00,所以g(eb)>0,故g(eb)g(x0)<0,g(x)在(0,x0)上有唯一零点,另一方面,在(x0,+∞)上,当x→+∞时,因为ex的增长速度快,所以g(x)>0.
综上,b的取值范围是(-∞,1-e).
4.已知函数f(x)=-x+2aln x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=ln x-bx-cx2,若函数f(x)的两个极值点x1,x2(x11,令f′(x)=0得x1=a-,x2=a+.
当x∈(0,a-)∪(a+,+∞)时,f′(x)<0;
当x∈(a-,a+)时,f′(x)>0.
所以当a≤1时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>1时,f(x)的单调递减区间为(0,a-),(a+,+∞);单调递增区间为(a-,a+).
(2)由(1)知,a>1且x1+x2=2a,x1x2=1.
又g′(x)=-b-2cx,所以g′()=-b-c(x1+x2),
由g(x1)=g(x2)=0得ln =c(x-x)+b(x1-x2),
所以y=(x1-x2)g′()=-b(x1-x2)-c(x-x)=-ln=-ln.
令=t∈(0,1),则y=-ln t,所以y′=<0,则y=-ln t在(0,1)上单调递减,且当t→0时,y→+∞.由y=-ln t的取值范围是[ln 2-,+∞),得t的取值范围是(0,],所以4a2==++2=t++2∈[,+∞),又a>1,故实数a的取值范围是[,+∞).
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