浙江专用2020高考数学二轮复习专题四立体几何高考解答题的审题与答题示范四教案 3页

- 1 - 高考解答题的审题与答题示范(四) 立体几何类解答题 [思维流程]——立体几何问题重在“建”——建模、建系 [审题方法]——审图形 图形或者图象的力量比文字更为简洁而有力，挖掘其中蕴含的有效信息，正确理解问题 是解决问题的关键．对图形或者图象的独特理解很多时候能成为问题解决中的亮点． 典例 (本题满分 15 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，AB∥CD，且∠BAP ＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD； (2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角 APBC 的余 弦值. 审题路线 标准答案 阅卷现场 (1)由已知∠BAP＝∠CDP＝ 90°，得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，又 PD∩PA＝P，PD，PA⊂平面 PAD， 第(1)问 第(2)问 得 分 点 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 3 1 1 2 2 1 1 2 2 5 分 10 分 - 2 - 所以 AB⊥平面 PAD.① 又 AB⊂平面 PAB，② 所以平面 PAB⊥平面 PAD 垂直 模型．③ (2)在平面 PAD 内作 PF⊥AD， 垂足为点 F，AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PF，可得 PF⊥平面 ABCD. 以 F 为坐标原点，FA→的方向为 x 轴正方向，|AB→|为单位长度， 建立空间直角坐标系．④ 由(1)及已知可得 A 2 2 ，0，0 ，P 0，0， 2 2 ， B 2 2 ，1，0 ，C － 2 2 ，1，0 . 所以PC→＝ － 2 2 ，1，－ 2 2 ， CB→＝( 2，0，0)，PA→＝ 2 2 ，0，－ 2 2 ，AB→＝(0，1， 0)．⑤ 设 n＝(x，y，z)是平面 PCB 的 法向量，则 n·PC→＝0， n·CB→＝0， 即 － 2 2 x＋y－ 2 2 z＝0， 2x＝0， 可取 n 第(1)问踩点得分说明 ①证得 AB⊥平面 PAD 得 3 分，直接写出不得分； ②写出 AB⊂平面 PAB 得 1 分，此步没有扣 1 分； ③写出结论平面 PAB⊥平面 PAD 得 1 分. 第(2)问踩点得分说明 ④正确建立空间直角坐标系得 2 分； ⑤写出相应的坐标及向量得 2 分(酌情)； ⑥正确求出平面 PCB 的一个法向量得 1 分，错误不得分； ⑦正确求出平面 PAB 的一个法向量得 1 分，错误不得分； ⑧写出公式 cos〈n，m〉＝ n·m |n||m| 得 1 分，正确求出值再得 1 分； ⑨判断二面角的大小得 1 分，写出正确结果得 1 分，不写不 得分. - 3 - ＝(0，－1，－ 2)．⑥ 设 m＝(x′，y′，z′)是平面 PAB 的法向量，则 m·PA→＝0， m·AB→＝0， 即 2 2 x′－ 2 2 z′＝0， y′＝0， 可取 m＝ (1，0，1)．⑦ 则 cos〈n，m〉＝ n·m |n||m| ＝－ 3 3 ， ⑧ 由图知二面角 APBC 为钝二 面角， 所以二面角 APBC 的余弦值 为－ 3 3 .⑨