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- 2021-06-09 发布
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北京市顺义区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)
1.直线的倾斜角为( )
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
【答案】A
【解析】设直线的倾斜角为,
由题得直线的斜率为.
所以直线的倾斜角为.
故选:A.
2.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】掷两颗均匀的骰子,共有36种基本事件,点数之和为5的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)这四种,因此所求概率为,选B.
3.某中学进行了学年度期末统一考试,为了了解高一年级2000名学生的考试成绩,从中随机抽取了100名学生的成绩,在这个问题中,100名学生的成绩是( )
A. 总体 B. 个体 C. 从总体中抽取的一个样本 D. 样本的容量
【答案】C
【解析】根据题意得,本题的总体、个体与样本考查的对象都是学生成绩,而不是学生,
高一年级2000名学生的考试成绩为总体,每个学生的考试成绩为个体,100名学生的成绩为从总体中抽取的一个样本,样本容量为100;
故选:C.
4.从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 取出的球至少有1个红球;取出的球都是红球
B. 取出的球恰有1个红球;取出的球恰有1个白球
C. 取出的球至少有1个红球;取出的球都是白球
D. 取出的球恰有1个白球;取出的球恰有2个白球
【答案】D
【解析】A答案中的两个事件可以同时发生,不是互斥事件
B答案中的两个事件可以同时发生,不是互斥事件
C答案中的两个事件不能同时发生,但必有一个发生,既是互斥事件又是对立事件
D答案中的两个事件不能同时发生,也可以都不发生,故是互斥而不对立事件
故选:D
5.设为两条不重合的直线,为两个不重合的平面,则下列结论正确的是( )
A. 若,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
【答案】B
【解析】若,则或,故A错误;
若,,则,故B正确;
若,,则可以平行、相交或异面,故C错误;
由,,推不出,故D错误
故选:B
6.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图,甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、,则
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】C
【解析】由图可知,甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学,其他次考试都远高于乙同学,可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定,故.故选.
【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义,是基础题.
7.若在△ABC中,2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是( )
A 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】C
【解析】∵在△ABC中,2cosBsinA=sinC,
∴2cosBsinA=sinC=sin(A+B),
∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinAcosB﹣cosAsinB=0,
∴sin(A﹣B)=0,
,
∴A﹣B=0,即A=B,
∴△ABC为等腰三角形,
故选:C.
8.在正方体-中,E、F分别是,的中点,给出下列结论:①⊥②//③⊥平面,其中正确的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】C
【解析】取的中点,连接,则,,
则四边形平行四边形,得,
在正方形中,可得△,则,
可得,即,则,故①正确;
在平面内,在平面外,而平面,
由异面直线的定义可得与是异面直线,故②错误;
在正方体中,棱平面,则,
由①知,且,平面,平面,
平面,故③正确.
综上,正确命题的序号是①③.
故选:.
二、填空题(共6个小题,每小题5分,共30分)
9.已知圆C:C(1,-3),半径为5,则圆C的方程是____________
【答案】
【解析】根据题意,圆 ,半径为5,
则圆的方程是;
故答案为:.
10.为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人,大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3000人,则该校学生总人数是____.
【答案】7500
【解析】设总人数为,则分层抽取比例为,而大一,大二共抽取300人,且大一,大二的总人数为,所以得
11.三条直线相交于一点,则=____________
【答案】
【解析】由题意,联立方程组,解得,即两直线的交点坐标为
又因为点也在直线上,即,解得
故答案为:
12.已知圆锥的底面半径为3,体积是,则圆锥侧面积等于___________.
【答案】
【解析】求圆锥侧面积必须先求圆锥母线,既然已知体积,那么可先求出圆锥的高,再利用圆锥的性质(圆锥的高,底面半径,母线组成直角三角形)可得母线,,,,.
考点:圆锥的体积与面积公式,圆锥的性质.
13..若,,则的最小值为____________
【答案】
【解析】由
由,则
当,即时,有最小值,其最小值为:
故答案为:
14.过点的直线l与圆C:(x﹣1)2+y2=4交于A、B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为_____.
【答案】2x﹣4y+3=0
【解析】由题得,当∠ACB最小时,直线l与直线垂直,此时 ,又,故,又直线l过点,所以,即 .
故答案为
三、解答题(共6个小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.已知直线:x+y-1=0.
(1)求过原点且与直线平行的直线方程.
(2)求过点(2,3)且与直线垂直的直线方程.
解:(1)直线的斜率为,
过原点且与直线平行的直线方程为:,即;
(2)直线的斜率为,
与直线垂直的直线的斜率为1,
过点且与直线垂直的直线方程为:,即.
16.2019年3月22日是第二十七届“世界水日”,3月22日-28日是第三十二届“中国水周”为了倡导“坚持节约用水”,某兴趣小组在本校4000名同学中,随机调查了40名同学家庭中一年月均用水量(单位:吨),并将月均用水量分为6组:,[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求出图中实数a的值;
(2)根据样本数据,估计本校4000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户
(3)在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中,该兴趣小组决定随机抽取2
名同学的家庭进行回访,求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.
解:(1)
解得:.
(2)(户).
(3)设“这2名同学中恰有1人所在家族的月均水量属于”为事件A,
由图可知,样本数据中月均水量在的户数为:
记这四名同学家族分别为a,b,c,d.
月均用水量在的用户数为:.
记这两名同学家族分别为e、f,
则选取的同学家庭的所有可能结果为:
,共15种.
事件A的可能结果为:,共8种.
∴.
17.在△ABC中,a=1,b=2,
(1)求c和的值;
(2)求BC边上的高.
解:(1)由余弦定理,得
∴∵
∴
由正弦定理得:
∴.
(2)设BC边上的高为h,
,所以,所以
∴BC边上的高为.
18.已知函数的最小正周期为π,为正实数.
(1)求的值;
(2)求函数的单调递减区间及对称轴方程.
解:(1)
∴.
(2)由(1)知:
令,,得,
∴函数的单调递减区间为
令,,得,
所以函数的对称轴方程为.
19.如图,四棱锥中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;
(3)当PA=AB=2,∠ABC=时,求三棱锥的体积.
解:(1)取AC、BD中点为O,连接EO.
证明:∵底面ABCD为菱形且O为AC、BD的交点
∴OBD中点.∵E为PD中点,∴.
∵平面ABC,平面AEC,∴平面AEC.
(2)∵底面ABCD为菱形,∴.
∵平面ABCD,平面ABCD,∴.
∵,平面,∴平面PAC.
∵平面PBD,∴平面平面PBD.
(3)∵,∴
∵,∴.
∴.
.
20.已知圆O的方程为,圆O与y轴的交点为A,B(点A在点B的上方),直线与圆O相交于M,N两点
(1)当k=1时,求弦长;
(2)若直线y=4与直线BM交于点D,求证:D、A、N三点共线.
解:(1)∵,∴直线l的方程为.
圆心到直线的距离,
∴;
(2)由题可得,,
设,,联立
得:,
,,
,令,
得,∴,
,,
∵
,
,
∴D、A、N三点共线.