- 250.77 KB
- 2021-06-09 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
1
2020 届高三模拟考试试卷
数 学
(满分 160 分,考试时间 120 分钟)
2020.5
一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
1. 已知集合 A={1,2},B={-1,a}.若 A∪B={-1,a,2},则 a=________.
2. 若复数 z 满足(1-i)z=1+i,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为________.
3. 某校 100 名学生参加知识竞赛的成绩均在[50,100]内,将学生成绩分成[50,60),
[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图,则成绩在
[80,90)内的学生人数是________.
y←1
x←1
While y≥1
y←3-x2
x←y
End While
Print y
(第 3 题)
(第 4 题)
4. 一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出 y 的值为________.
5. 某班推选一名学生管理班级防疫用品,已知每个学生当选是等可能的,若“选到女生”
的概率是“选到男生”的概率的1
2,则这个班级的男生人数与女生人数的比值为________.
6. 函数 f(x)= 2-x+ln x 的定义域为________.
7. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=4x 的焦点是双曲线x2
a2-y2
4a=1 的顶点,则 a=
________.
(第 9 题)
8. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S4=5S2,a2=2,则 a4=________.
2
9. 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 6,点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1 的三等分点,
则三棱锥 CMBD 的体积为________.
10. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f(x) 的 周 期 为 2 , 且 x∈[0 , 1] 时 , f(x) =
{2x+a,0 ≤ x ≤
1
2,
bx-1
x+1 ,
1
2 < x ≤ 1,
则 a+b=________.
11. 已知锐角 α 满足 sin 2α-2cos 2α=-1,则 tan(α+
π
4 )=________.
(第 12 题)
12. 如图,在△ABC 中,∠ABC=
π
2 ,AB=1,BC=3,以 AC 为一边在△ABC 的另一
侧作正三角形 ACD,则BD
→
·AC
→
=________.
13. 在平面直角坐标系 xOy 中,AB 是圆 O:x2+y2=1 的直径,且点 A 在第一象限;圆
O1:(x-a)2+y2=r2(a>0)与圆 O 外离,线段 AO1 与圆 O1 交于点 M,线段 BM 与圆 O 交于点
N,且OM
→
+O1N→
=0,则 a 的取值范围是________.
14. 已知 a,b∈R,a+b=t(t 为常数),且直线 y=ax+b 与曲线 y=xe x(e 是自然对数的
底数,e≈2.718 28…)相切.若满足条件的有序实数对(a,b)唯一存在,则实数 t 的取值范围
是________.
二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.
15. (本小题满分 14 分)
在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 bsin 2A=asin B.
(1) 求 A;
(2) 求 cos(B+
π
6 )+sin(C+
π
3 )的最大值.
3
16. (本小题满分 14 分)
在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,已知底面 ABCD 是菱形,且平面 A1ADD1⊥平面 ABCD,
DA1=DD1,点 E,F 分别为线段 A1D1,BC 的中点.求证:
(1) EF∥平面 CC1D1D;
(2) AC⊥平面 EBD.
4
17. (本小题满分 14 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)的离心率为1
2,右焦点到右准线
的距离为 3.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 过点 P(0,1)的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A,B.己知在椭圆 C 上存在点 Q,使得四边
形 OAQB 是平行四边形,求 Q 的坐标.
5
18. (本小题满分 16 分)
某地开发一片荒地,如图,荒地的边界是以 C 为圆心,半径为 1 千米的圆周.已有两条
互相垂直的道路 OE,OF,分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A,B.现规划修建一条新
路(由线段 MP,PQ
︵
,线段 QN 三段组成),其中点 M,N 分别在 OE,OF 上,且使得 MP,QN
所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 P,Q,PQ
︵
所对的圆心角为
π
6 .记∠PCA=
2θ(道路宽度均忽略不计).
(1) 若 θ=5π
12 ,求 QN 的长度;
(2) 求新路总长度的最小值.
6
19. (本小题满分 16 分)
已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,且对任意 n∈N*,anSn+1-an+1Sn
=2an+1-2an 恒成立.
(1) 求证:数列{Sn+2
an }是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2) 设 bn=an+4n-3,已知 b2,bi,bj(2<i<j)成等差数列,求正整数 i,j .
7
20. (本小题满分 16 分)
已知函数 f(x)=(m-1)x+ln x,g(x)=(m-2)x2+(n+3)x-2,m,n∈R.
(1) 当 m=0 时,求函数 f(x)的极值;
(2) 当 n=0 时,函数 F(x)=g(x)-f(x)在(0,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围;
(3) 当 n>0 时,判断是否存在正数 m,使得函数 f(x)与 g(x)有相同的零点,并说明理
由.
8
2020 届高三模拟考试试卷
数学附加题
(满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21. 【选做题】 在 A,B,C 三小题中只能选做两题,每小题 10 分,共 20 分.若多做,
则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A. (选修 42:矩阵与变换)
已知点 M(2,1)在矩阵 A=[ 1 a
b 2 ]对应的变换作用下得到点 N(5,6),求矩阵 A 的
特征值.
B. (选修 44:坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为{x=2cos α,
y=sin α (α 为参数).以原点 O
为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ+
π
4 )= 10.
(1) 求曲线 C 和直线 l 的普通方程;
(2) 点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值.
C. (选修 45:不等式选讲)
已知 a,b,c 是正数,求证:对任意 x∈R,不等式|x-2|-|x+1|≤b
a+c
b+a
c恒成立.
【必做题】 第 22,23 题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤.
22. 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AB=2,AD=
9
AP=3,点 M 是棱 PD 的中点.
(1) 求二面角 MACD 的余弦值;
(2) 点 N 是棱 PC 上的点,已知直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为3 22
22 ,求PN
PC的
值.
23. 已知数列{an}中,a1=6,an+1=1
3a2n-an+3(n∈N*).
(1) 分别比较下列每组中两数的大小:
① a2 和 6×3
2;② a3 和 6×(3
2)3;
(2) 当 n≥3 时,求证: (ai
6)
2
i
>2×(3
2)n-3.
10
2020 届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)
数学参考答案及评分标准
1. 1 2. 0 3. 30 4. -1 5. 2 6. (0,2] 7. 1 8. 2 或 8 9. 24 10. 0 11. 2 12. 4
13. (2 2,4) 14. t=e 或 t<-5e-2
15. 解:(1) 因为 bsin 2A=asin B,所以 2bsin Acos A=asin B,
所以由正弦定理 a
sin A= b
sin B,得 2bacos A=ab.(3 分)
因为 ab≠0,所以 cos A= ab
2ab=1
2.
因为三角形内角 A∈(0,π),所以 A=
π
3 .(6 分)
(2) 由(1)知 A=
π
3 ,又 A+B+C=π,得 C=π-A-B=2π
3 -B,B∈(0,2π
3 ),
所以 cos(B+
π
6 )+sin(C+
π
3 )=cos Bcos
π
6 -sin Bsin
π
6 +sin(π-B)
=1
2sin B+ 3
2 cos B=sin(B+
π
3 ).(11 分)
因为 00,x1+x2=- 8k
3+4k2,所以 y1+y2= 6
3+4k2.(10 分)
将 Q(x1+x2,y1+y2)的坐标代入椭圆方程得
(- 8k
3+4k2)2
4 +
( 6
3+4k2)2
3 =1,
化简得 k2=1
4,所以 k=±1
2,符合题意,(13 分)
所以 Q 的坐标是(±1,3
2).(14 分)
18. 解:(1) 因为PQ
︵
所对的圆心角为
π
6 ,θ=5π
12 ,所以∠PCQ=
π
6 ,∠PCA=2θ=
5π
6 .
因为∠BCA=
π
2 ,所以∠BCQ=2π-5π
6 -
π
2 -
π
6 =
π
2 ,所以四边形 BCQN 中,
∠BCQ=∠CBN=∠CQN=
π
2 ,所以四边形 BCQN 是矩形,从而 QN=CB=1.
答:QN 的长为 1 千米.(4 分)
(2) PM=tan
∠PCA
2 =tan θ,∠BCQ=4π
3 -2θ,
NQ=tan
∠BCQ
2 =tan(2π
3 -θ),PQ
︵
长为
π
6 .(6 分)
从 而 PM + NQ = tan θ + tan(2π
3 - θ) = tan θ +
tan
2π
3 -tan θ
1+tan
2π
3 tan θ
= tan θ +
12
- 3-tan θ
1- 3tan θ ,
即 PM+NQ=tan θ+ 3+tan θ
3tan θ-1
=tan θ+
1+ 3
3 tan θ
tan θ- 3
3
,(9 分)
其中 θ∈(
π
6 ,
π
2 ),tan θ∈(
3
3 ,+∞),tan θ- 3
3 ∈(0,+∞),(11 分)
所以 PM+NQ=(tan θ- 3
3 )+
4
3
tan θ- 3
3
+2 3
3 ≥2 (tan θ- 3
3 )·
4
3
tan θ- 3
3
+2 3
3 =2 3,(14 分)
当且仅当 tan θ- 3
3 =
4
3
tan θ- 3
3
,又 θ∈(
π
6 ,
π
2 ),即当且仅当 θ=
π
3 时取等号.(15
分)
答:当∠PCA=2π
3 时,新路总长度的最小值为(2 3+
π
6 )千米.(16 分)
19. (1) 证明:S1+2
a1 =2+2
2 =2.
因为 anSn+1-an+1Sn=2an+1-2an,所以 anSn+1+2an=an+1Sn+2an+1.
因为 an>0,两边除以 anan+1 得Sn+1+2
an+1 =Sn+2
an ,所以Sn+1+2
an+1 -Sn+2
an =0,n∈N*,
所以数列{Sn+2
an }是首项为 2,公差为 0 的等差数列,所以Sn+2
an =2.(3 分)
则 Sn+2=2an,Sn+1+2=2an+1,两式作差得 an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an,
所以 an+1=2an.
因为 an>0,所以an+1
an =2,n∈N*,
所以数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 an=2n.(7 分)
(2) 解:bn=2n+4n-3,由 b2,bi,bj 成等差数列得 2bi=b2+bj,
即 2(2i+4i-3)=9+2j+4j-3,整理得 2i-1+2i=2j-2+j+3(22),cn+1-cn=(2n-n+4)-(2n-1-n+5)=2n-1-1>0,
则 cn+1>cn(n>2),所以 n>2 时,数列{cn}单调递增,其中 c3=6>0,所以 cn>0,
即 2j-2+j+3>2i-1+2i,所以(*)式不成立.(15 分)
综上可得 i=4,j=5.(16 分)
20. 解:(1) 当 m=0 时,f(x)=-x+ln x,令 f′(x)=-1+1
x=0,得 x=1,列表如下:
13
x (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) + 0 -
f(x) 极大值
所以,当 x=1 时,函数 f(x)有极大值为 f(1)=-1,函数 f(x)无极小值.(3 分)
(2) 当 n=0 时,F(x)=(m-2)x2+(4-m)x-ln x-2,x∈(0,+∞),
则 F′(x) = 2(m - 2)x + (4 - m) - 1
x= 2(m-2)x2+(4-m)x-1
x =
(2x-1)[(m-2)x+1]
x ,
当 m-2≥0,即 m≥2 时,令 F′(x)>0,则 x>1
2,所以 F(x)在(0,1
2)上单调递减,
在(1
2,+∞)上单调递增,不符合题意;(5 分)
当 m<2 时,令 F′(x)=0,则 x=1
2或 x= 1
2-m,
若 1
2-m<1
2,令 F′(x)>0,则 1
2-m1
2,令 F′(x)>0,则1
20,构造 h(x)=x+ln x+2
x-(3+n)(x>0),
则 h′(x)=1+1
x- 2
x2=x2+x-2
x2 =
(x+2)(x-1)
x2 .
令 h′(x)=0,则 x=1,当 01 时,h′(x)>0,
所以 h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以当 x=1 时,h(x)取得极小值 h(1),
因为 h(1)=-n<0,h(n+3)=ln(n+3)+ 2
n+3>0,
且 h(x)在[1,n+3]上的图象是一条连续不间断的曲线,
所以存在 x0∈(1,n+3),使得 h(x0)=0,即 x0+ln x0+ 2
x0-(3+n)=0,
两边同乘以 x0,有 x20+x0ln x0+2-(3+n)x0=0 ①.(12 分)
取 m=1-
ln x0
x0 ,构造 k(x)=1-
ln x
x ,x>0,k′(x)=ln x-1
x2 .
14
令 k′(x)=0 有 x=e,则有 k(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以当 x=e 时,k(x)取最小值 1-1
e>0,
所以 m=1-
ln x0
x0 >0,两边同时乘以 x0,有 mx0=x0-ln x0,
化简得(m-1)x0+ln x0=0,即 x0 也是 f(x)的零点;
两边同时乘以 x0 可得(m-1)x20+x0ln x0=0 ②.(14 分)
用②-①可得(m-2)x20+(n+3)x0-2=0,所以 x0 也为 g(x)的一个零点,
所以当 n>0 时,存在正数 m,使得函数 f(x)与 g(x)有相同的零点.(16 分)
15
2020 届高三模拟考试试卷(十八)(苏锡常镇)
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 解:因为点 M(2,1)在矩阵 A=[ 1 a
b 2 ]对应的变换作用下得到点 N(5,6),
所 以 [ 1 a
b 2 ][2
1 ]= [5
6 ], 则 {2+a=5,
2b+2=6,解 得 {a=3,
b=2,所 以 A =
[ 1 3
2 2 ].(5 分)
f(λ)=|λE-A|=| λ-1 -3
-2 λ-2 |=(λ-1)(λ-2)-6,令 f(λ)=0,得 λ2-3λ-4=0,
即(λ-4)(λ+1)=0,解得 λ1=4,λ2=-1,
所以矩阵 A 的特征值为 4 或-1.(10 分)
B. 解:(1) 由题意,曲线 C 的普通方程为x2
4 +y2=1,
直线 l 的普通方程为 x+y-2 5=0.(4 分)
(2) 设 P(2cos α,sin α),则 P 到直线 l 的距离
d=|2cos α+sin α-2 5|
2
=| 5sin(α+θ)-2 5|
2
=2 5- 5sin(α+θ)
2
,(8 分)
所以当 sin(α+θ)=1 时,dmin= 10
2 ,
所以 P 到直线 l 的距离的最小值为 10
2 .(10 分)
C. 证明:对于正数 a,b,c,由均值不等式得b
a+c
b+a
c≥33 b
a × c
b × a
c=3,
当且仅当 a=b=c 时取等号.(4 分)
对任意 x∈R,由绝对值不等式得|x-2|-|x+1|≤||x-2|-|x+1||≤|(x-2)-(x+1)|=3,
当且仅当 x≤-1 时取等号,(8 分)
所以,对任意 x∈R,都有不等式|x-2|-|x+1|≤b
a+c
b+a
c成立.(10 分)
22. 解:(1) 以{AB
→
,AD
→
,AP
→
}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则各点
的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,3,0),D(0,3,0),P(0,0,3), M(0,3
2,3
2),AP
→
=
(0,0,3),AC
→
=(2,3,0),AM
→
=(0,3
2,3
2).
16
因为 PA⊥平面 ABCD,所以平面 ACD 的一个法向量为AP
→
=(0,0,3).(1 分)
设平面 MAC 的法向量为 n=(x,y,z),
所以{n·AC
→
=0,
n·AM→
=0,
即{2x+3y=0,
3
2y+3
2z=0,取 n=(3,-2,2),(3 分)
所以 cos〈AP
→
,n〉=
AP
→
·n
|AP
→
||n|
= 6
3 × 9+4+4
=2 17
17 ,
所以,由图可得二面角 MACD 的余弦值为2 17
17 .(5 分)
(2) 设PN
→
=λPC
→
(λ∈(0,1)),其中PC
→
=(2,3,-3),
所以MN
→
=MP
→
+PN
→
=(0,-3
2,3
2)+(2λ,3λ,-3λ)=(2λ,3λ-3
2,-3λ+3
2).
因为平面 ABCD 的一个法向量为AP
→
=(0,0,3),
所 以 cos 〈 AP
→
, MN
→
〉 =
AP
→
·MN
→
|AP
→
||MN
→
|
=
3(-3λ+3
2)
3 (2λ)2+(3λ-3
2)2+(-3λ+3
2)2
=
-3λ+3
2
22λ2-18λ+9
2
.(8 分)
因为直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为3 22
22 ,
所以| -3λ+3
2
22λ2-18λ+9
2|=3 22
22 ,所以
(-3λ+3
2)2
22λ2-18λ+9
2
= 9
22,
化简得 4λ=1,即 λ=1
4,所以PN
PC=
|PN
→
|
|PC
→
|
=1
4.(10 分)
23. (1) 解:① 因为 a2=9,6×3
2=9,所以 a2=6×3
2;
②因为 a3=21,6×(3
2)3=81
4 ,所以 a3>6×(3
2)3.(3 分)
(2) 证明:先用数学归纳法证明:当 n≥3 时,an>6×(3
2)
n(n-1)
2
.(4 分)
17
①当 n=3 时,a3>6×(3
2)3;
②假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时,结论成立,即 ak>6×(3
2)
k(k-1)
2
,
当 n = k + 1 时 , ak + 1 = 1
3a2k- ak + 3>1
3× [6×(3
2)
k(k-1)
2
]2 - 6×(3
2)
k(k-1)
2
+ 3>1
3×
[6×(3
2)
k(k-1)
2
]2-6×(3
2)
k(k-1)
2
,
其中 ak+1
6 × (3
2)
k(k+1)
2
>
1
3 × [6 × (3
2)
k(k-1)
2
]2
6 × (3
2)
k(k+1)
2
-
6 × (3
2)
k(k-1)
2
6 × (3
2)
k(k+1)
2
=2×(3
2)
k(k-3)
2
-(3
2)
-k>1,
所以 ak+1>6×(3
2)
k(k+1)
2
,所以当 n=k+1 时,结论也成立,
综上所得,当 n≥3 时,an>6×(3
2)
n(n-1)
2
,(8 分)
从而,当 n≥3 时,(an
6)
2
n
>(3
2)n-1,
则 (ai
6)
2
i
>(a2
6)
2
2
+(3
2)2+(3
2)3+…+(3
2)n-1=3
2+(3
2)2+(3
2)3+…+(3
2)n-1
=3
2×
1-(3
2)n-1
1-3
2
=2×(3
2)n-3,所以当 n≥3 时, (ai
6)
2
i
>2×(3
2)n-3.(10 分)
相关文档
- 【语文】江苏省苏锡常镇四市2020届2021-06-0816页
- 江苏省苏锡常镇四市2020届高三模拟2021-06-0714页
- 江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二2021-06-0725页
- 江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学2021-06-0631页
- 江苏省苏锡常镇四市 2017 届高三语2021-06-0411页
- 江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二2021-05-2611页
- 江苏省苏锡常镇四市2020届高三下学2021-05-2626页
- 江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二2021-05-2511页
- 【物理】江苏省苏锡常镇四市2020届2021-05-2415页
- 江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学2021-05-2118页