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- 2021-06-09 发布
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[基础题组练]
1.定积分(3x+ex)dx的值为( )
A.e+1 B.e
C.e- D.e+
解析:选D.(3x+ex)dx==+e-1=+e.
2.若f(x)=f(f(1))=1,则a的值为( )
A.1 B.2
C.-1 D.-2
解析:选A.因为f(1)=lg 1=0,f(0)=3t2dt=t3=a3,所以由f(f(1))=1得a3=1,所以a=1.
3.若f(x)=x2+2f(x)dx,则f(x)dx=( )
A.-1 B.-
C. D.1
解析:选B.因为f(x)=x2+2f(x)dx,
所以f(x)dx=
=+2f(x)dx,所以f(x)dx=-.
4.设f(x)=则f(x)dx的值为( )
A.+ B.+3
C.+ D.+3
解析:选A.f(x)dx=dx+(x2-1)dx=π×12+=+,故选A.
5.由曲线y=x2和曲线y=围成的一个叶形图如图所示,则图中阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
解析:选A.由解得或所以阴影部分的面积为(-x2)dx=.故选A.
6.定积分(x2+sin x)dx=________.
解析:(x2+sin x)dx
=x2dx+sin xdx
=2x2dx=2·=.
答案:
7.(x2tan x+x3+1)dx=________.
解析:因为x2tan x+x3是奇函数.
所以(x2tan x+x3+1)dx=1dx=x|=2.
答案:2
8.一物体受到与它运动方向相反的力:F(x)=ex+x的作用,则它从x=0运动到x=1时F(x)所做的功等于________.
解析:由题意知W=-dx
=-=--.
答案:--
9.求下列定积分:
(1)dx;
(2)(cos x+ex)dx.
解:(1)dx=xdx-x2dx+dx
=-+ln x=-+ln 2=ln 2-.
(2)(cos x+ex)dx=cos xdx+exdx
=sin x+ex=1-.
10.已知函数f(x)=x3-x2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积.
解:因为(1,2)为曲线f(x)=x3-x2+x+1上的点,
设过点(1,2)处的切线的斜率为k,
则k=f′(1)
=(3x2-2x+1)|x=1=2,
所以过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
y=2x与函数g(x)=x2围成的图形如图中阴影部分所示,由可得交点A(2,4),O(0,0),故y=2x与函数g(x)=x2围成的图形的面积
S=(2x-x2)dx==4-=.
[综合题组练]
1.由曲线xy=1,直线y=x,x=3所围成的封闭平面图形的面积为( )
A. B.4-ln 3
C.4+ln 3 D.2-ln 3
解析:选B.画出平面图形,根据图形确定积分的上、下限及被积函数.由曲线xy=1,直线y=x,x=3所围成的封闭的平面图形如图所示:
由得
或
由得
故阴影部分的面积为dx=
=4-ln 3.
2.设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为________.
解析:f(x)dx=(ax2+c)dx==a+c=f(x0)=ax+c,
所以x=,x0=±.
又因为0≤x0≤1,所以x0=.
答案:
3.(+ex-1)dx=________.
解析:(+ex-1)dx
=dx+(ex-1)dx.
因为dx表示单位圆的上半部分的面积,
所以dx=.
而(ex-1)dx=(ex-x)
=(e1-1)-(e-1+1)=e--2,
所以(+ex-1)dx=+e--2.
答案:+e--2
4.若函数f(x)在R上可导,f(x)=x3+x2f′(1),则f(x)dx=________.
解析:因为f(x)=x3+x2f′(1),
所以f′(x)=3x2+2xf′(1).
所以f′(1)=3+2f′(1),解得f′(1)=-3.
所以f(x)=x3-3x2.
故f(x)dx=(x3-3x2)dx==-4.
答案:-4
5.如图,在曲线C:y=x2,x∈[0,1]上取点P(t,t2),过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x=0,x=1及直线l围成的图形包括两部分,面积分别记为S1,S2.当S1=S2时,求t的值.
解:根据题意,直线l的方程是y=t2,且0<t<1.
结合题图,得交点坐标分别是
A(0,0),P(t,t2),B(1,1).
所以S1=(t2-x2)dx=
=t3-t3=t3,0<t<1.
S2=(x2-t2)dx=
=-
=t3-t2+,0<t<1.
由S1=S2,
得t3=t3-t2+,
所以t2=.又0<t<1,所以t=.
所以当S1=S2时,t=.