2020-2021学年高二数学上册同步练习：直线的交点坐标、两点间的距离公式 11页

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：直线的倾斜角与斜率 一、单选题 1．两条直线 1l ：x=2 和 2l ： 3 2 1 2 0xy   的交点坐标是（ ） A． (2 ,3) B． ( 2 ,3 ) C． ( 3, 2 ) D． ( 3,2 ) 【答案】A 【解析】 20 2 31 32 2 xy xx y  ， 所以两条直线的交点坐标为 . 故选 A 2．已知集合  (,)|2Axyxy ，  (,)|2Bxyxy ，则 AB为（ ） A．  2 ,0 B．（2,0） C． { (2 ,0 ) } D．  (0 ,2) 【答案】C 【解析】因为集合 ， ， 由 2 2 xy xy    解得： 2 0 x y    ， 所以 {(2,0)}AB . 故选 C. 3．过直线 1 : 2 4 0l x y   与直线 2 : 1 0l x y   的交点，且过原点的直线方程为（ ） A． 20xy B． 20xy C． 20xy D． 20xy 【答案】D 【解析】联立方程 240 10 xy xy    得 2, 1xy   ，即 与 的交点为 2,1 又直线过原点 所以此直线的方程为： 故选 D 4．已知三条直线 2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0 不能构成三角形，则实数 m 的取值集合为（ ） A． 42,33  B． 42,33  C． 424,,333  D． 4 2 2,,3 3 3  【答案】D 【解析】∵三条直线不能围成一个三角形， ∴（1）若 2x－3y＋1＝0 与 mx－y－1＝0 平行，此时 2 3m  ， 若 4x＋3y＋5＝0 与 mx－y－1＝0 平行，此时 4 3m  ； （2）三点共线时也不能围成一个三角形 2x－3y＋1＝0 与 4x＋3y＋5＝0 交点是 1( 1, ) 3 代入 mx－y－1＝0， 则 2 3m  . 故选 D. 5．已知直线 l 经过两直线 320xy 和 25180xy 的交点，且垂直于 4350xy ，则直线 的 方程为（ ） A．34200xy B．34200xy C．3440xy D． 4 3 10 0xy   【答案】A 【解析】联立 320 25180 xy xy    ，解得 4 2 x y    ， ∴直线 和 的交点为 4,2 ， 又直线 和直线 垂直， ∴直线 的斜率为 3 4 ， 则直线 的方程为 32 ( 4)4yx    ，化为一般方程为 . 故选 A. 6．已知直线 10k x y   和 0x ky相交，且交点在第二象限，则实数 k 的取值范围为（ ） A．  1,0 B．  0,1 C．  0,1 D．  1,  【答案】A 【解析】联立 与 ， 得 22 1,11 kxykk ，令 2 2 01 1 01 k k k       ，解得 10k   故选 A． 7．已知    7,1 , 1 ,4AB，直线 1 2y ax 与线段 AB 交于点 C ，且 2A C C B ，则实数 a 的值为（ ） A．2 B．1 C． 4 5 D． 5 3 【答案】A 【解析】设  00,C x y ，则 00 1 2y ax . ∴ 0000 117,1 ,1,422ACxaxCBxax . ∵ ，∴  00 00 72 1, 11124,22 xx axax       ∴ 0 3, 2. x a    故选 A 8．方程  2220xyaxy 表示平面上交于一点的三条直线的充要条件是（ ） A． 0a  B． 1a  C． 1a  D． aR 【答案】A 【解析】方程 等价于  2()0xyaxyxy ， 又直线 0xy与直线 0xy交于点  0,0 ，则直线 20xya 过点 ，则 ，即方程 表示平面上交于一点的三条直线的充要条件是 ， 故选 A. 9．若三条直线 2,3,50yxxymxny 相交于同一点，则点  ,mn 到原点的距离的最小值为（ ） A． 5 B． 6 C． 23 D． 25 【答案】A 【解析】联立 2 3 yx xy    ，解得 1 2 .xy， 把(1,2)代入 , 5 0m x n y   可得 2 5 0 .mn  ： ∴ 52mn   . ∴点  ,mn 到原点的距离 22222 (52)5(2)55dmnnnn … 当 21nm   ， 时，取等号． ∴点 到原点的距离的最小值为 . 故选 A. 10．在直线 2350xy 上求点 P ，使点 到  2 ,3A 的距离为 13 ，则 点坐标是（ ） A．  5 ,5 B．  1 ,1 C． 或 D． 或  1 , 1 【答案】C 【解析】设  ,P x y ， 所以    222 3 13PA x y     ， 即 224 6 0x y x y    ， 又因为点 在直线 上， 所以 ， 两式联立解得 5 5 x y    或 1 1 x y    ， 所以 点坐标是 或 . 故选 C 11．已知点O 是边长为 6 的正方形 ABCD内的一点，且 15OBC OCB     ，则OA （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】如图，以 ,B A B C 为 ,xy轴建立平面直角坐标系，由于正方形 A B C D 边长为 6， 15OBCOCB ，则 ( 3t a n1 5 ,3 )O  ， (6 ,0 )A ， ∴ 2 2 2(3tan15 6) 3 3 (tan15 2) 1OA       ， 又 2sin152sin151cos30tan1523 cos152sin15cos15sin30    ， ∴ 23(3)16OA  ． 故选 B． 12．设 mR ，过定点 A 的动直线 0xmy和过定点 B 的动直线 30mxym 交于点 ( , )P x y ，则 22||||PAPB 的值为（ ） A．5 B．10 C． 10 2 D． 17 【答案】B 【解析】由题意，动直线 经过定点  0 ,0 ，则  0 ,0A ， 动直线 变形得    1 3 0m x y    ，则  1,3B ， 由 0 30 xmy mxym    得 2 22 33,11 m m mP mm   ， ∴ 2 22 22 33 11 m m m mm  2 22 22 331311 m m m mm               222222 22 33313 1 mmmmmm m      4 3 2 2 2 4 3 2 22 6 9 6 9 6 1 6 1 m m m m m m m m m m m               42 22 102010 10 1 mm m   ， 故选 B． 二、填空题 13．直线 1 : 2 6 0l x by   与直线 2 :0l x y a    的交点为  2 ,2 ，则 ab________. 【答案】 5 【解析】因为直线 与直线 的交点为 ，所以 2 2 0 a   ， 22260 b ，即 4a  ， 1b  ，故 5ab . 故填-5 14．已知直线 134 xy分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，则 ||AB 等于________. 【答案】5 【解析】根据题意 令 0x  得 4y  所以 (0,4)B 令 0y  得 3x  所以 ( 3 ,0 )A 所以 22||435AB  故填 5 15．若关于 ,xy的方程组 24 36 xy x ay    无解，则实数 a ________ 【答案】 6 【解析】若关于 的方程组 24 36 xy x ay    无解， 说明两直线 2 4 0xy   与3 6 0x ay   无交点. 则     1320 16340 a   ，解得 6a  . 故填 6 16．在平面直角坐标系中，若点  2, b 到原点的距离不小于 5，则 b 的取值范围是______． 【答案】  ,2121,   【解析】根据两点的距离公式得点 到原点的距离    222005db ,即 24 2 5b ，所 以 2 21b  ， 解得 21b  或 21b  ， 故填 . 17．正方形 A B C D 的两个顶点 ,AB在直线 40xy   上，另两个顶点 ,CD分别在直线 2 1 0xy   ， 4 2 3 0xy   上，那么正方形 的边长为________. 【答案】 22或 14 2 【解析】设直线 CD 的方程为 0xym ， 联立 210 0 xy xym    ，得 112 ,33 mmC   ， 联立 4230 0 xy xym    ，得 23234,33 mmD   ， ∴由两点的距离公式可得 22 113CDm， 又直线 AB 与 的距离为 4 2 md  ， ∴ 422 113 2 mm  ， 解得 8m  或 32m  ， 即 CD  或 . 即正方形的边长为 或 ， 故填 22或 14 2 . 18．已知等腰梯形 A B C D 中， 60AB    ， 2AB  ，若梯形上底 CD 上存在点 P ，使得 2P A P B ， 则该梯形周长的最大值为________. 【答案】 3 + 5 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系： 设 A E t ，则 01t ∵四边形 是等腰梯形，且 60DAB ∴ 2ADBCt， 3DE t ， 22DCt ∴  0 ,0A ，  2 ,0B ，  ,3Dtt ，  2,3Ctt  假设存在点 在上底 上使得 ∴可设  ,3Pmt ，其中 2tmt ∵ ∴      2222 3223mtmt 整理得： 228830mmt 上底 上存在点 使得 ， 等价于方程 在 上有解 令   22883f mmmt ，  ,2mtt，  0,1t  又因为对称轴为 42mt   ∴         22 2 2 8830 2282830 ftttt ftttt    解得 1515 22t  ∴ 150 2t  又∵梯形 A B C D 的周长为 2222224Ctttt ，在 单调递增 ∴当 15 2t  时，有 max 152 4 3 52C      . 故填 3 + 5 . 三、解答题 19．已知两条直线 1 :240lxy  与 2 :20lxy  的交点为 P，直线 3l 的方程为：3450xy （1）求过点 P 且与 平行的直线方程； （2）求过点 P 且与 垂直的直线方程． 【解析】（1）由 2 4 0 20 xy xy        得 0 2 x y    , ∴ (0,2)P ， ∵ 3 3 4lk  ，∴过点 P 且与 平行的直线方程为： 32 ( 0)4yx   ， 即3480xy （2）∵ ， ， 过点 P 且与 垂直的直线方程为： 42(0) 3yx  即 4 3 6 0xy   20．已知三个点 ( 3,1), (3, 3), (1,7)A B C ，试判断 ABC 的形状． 【解析】由题意得    223 3 3 1 52AB       ，    22137152AC  ，    221373104BC  ， ∴ 222ABACBC，且 AB AC ， ∴ ABC 是等腰直角三角形． 21．已知两直线 1 :3 1 0l x y    ， 2 : 2 5 0l x y    （1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）若直线 3 :430lxaya 与 1l ， 2l 不能构成三角形，求实数 a 的值. 【解析】（1）联立直线方程 3 1 0 2 5 0 xy xy        解得 1 2 x y    ，交点坐标 (1,2 ) ， 当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为 0，直线方程 2yx ， 当直线不过原点时，设其方程为 0x y b   ，过 得 120,3 bb ， 所以直线方程 30xy 综上：满足题意的直线方程为 ， （2）直线 与 ， 不能构成三角形 当 与 3l 平行时： 131, 3aa 当 与 平行时： 2,2aa  当三条直线交于一点，即 过点 ，则12430,1aaa 综上所述实数 的值为 1 , 2,13  22．已知 ABC 的两顶点    10,26,4AB 、 和垂心  5,2H . （1）求直线 AB 的方程； （2）求顶点 C 的坐标； （3）求 BC 边的中垂线所在直线的方程. 【解析】（1）由题意 4 2 1 6 ( 10) 8ABk  ， 直线 AB 的方程为： 14 ( 6)8yx   即： 8 26 0xy   . （2）由题作示意图如下： 4 2 12,6 5 2BH ACkk     ，  直线 AC 的方程为： 12(10) 2yx ，即： 2 6 0xy   —— ① 又 0AHk  ， 直线 BC 与 x 轴垂直， 直线 的方程为： 6x  —— ② 联立①②，解得 6 , 6xy   ， 故顶点C 的坐标为 ( 6 , 6 ) （3）由题意及 (2) 可知， 边的中垂线的斜率等于 0AHk  ， 边的中点为 ( 6 , 1) ， 故 边的中垂线的方程为： 1y  .