2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步8-4空间中的垂直关系课件新人教B版 20页

第四节　 空间中的垂直关系 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 直线与平面垂直 (1) 定义：直线 l 与平面 α 内的 _____ 一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直 . 任意 (2) 判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面 内的两条 _____ 直线垂 直，则该直线与此平 面垂直 性质 定理 垂直于同一个平面的 两条直线 _____ 相交 平行 2. 直线和平面所成的角 定义：一条斜线和它在平面上的 _____ 所成的 ___________ 叫做这条直线 和这个平面所成的角 . 范围是 _______. 射影 锐角或直角 3. 平面与平面垂直 (1) 二面角：从一条直线出发的 ___________ 所组成的图形叫做二面角； 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 _________ 的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 . (2) 定义：两个平面相交，如果所成的二面角是 _________ ，就说这两个 平面互相垂直 . 两个半平面 垂直于棱 直二面角 (3) 判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平 面的 _____ ，则这两个 平面垂直 性质 定理 两个平面垂直，则一 个平面内垂直于 _____ 的直线与另一个平面 垂直 垂线 交线 【常用结论】 1. 若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 . 2. 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面 . 3. 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 . 4. 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 . 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直 , 则 l ⊥α.( 　　 ) (2) 若两平行线中的一条垂直于一个平面 , 则另一条也垂直于这个平面 . ( 　　 ) (3) 若直线 a⊥ 平面 α, 直线 b∥α, 则直线 a 与 b 垂直 . ( 　　 ) (4) 若 α⊥β,a⊥β, 则 a∥α. ( 　　 ) (5) 若两平面垂直 , 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 . ( 　　 ) (6) 如果两个平面所成的二面角为 90°, 则这两个平面垂直 .( 　　 ) 提示 : (1) ×. 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直 , 则 l ⊥α. (2)√. (3)√. (4)×. 若 α⊥β,a⊥β, 则 a∥α 或 a⊂α. (5)×. 若两平面垂直 , 则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 . (6)√. 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 证明线面垂直时忽视平面上的两条直线相交 考点一、 T3 考点三、角度 1 2 证明面面垂直时找错直线 考点一、 T3,4 3 应用面面垂直的性质定理时忽视与交线垂直 考点三、角度 2 4 线面角、二面角概念混淆致误 考点二、 T1,2 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 2 P55 练习 AT3 改编 ) 已知平面 α,β, 直线 l , 若 α⊥β,α∩β= l , 则 ( 　　 ) A. 垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B. 垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C. 垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D. 垂直于直线 l 的平面一定与平面 α,β 都垂直 【解析】 选 D.A 中平面可与 α 平行或相交 , 不正确 . B 中直线可与 α 有各种线面关系 , 不正确 . C 中平面可与直线 l 平行或相交 , 不正确 . 2.( 必修 2 P56 习题 1-2AT11 改编 ) 已知互相垂直的平面 α,β 交于直线 l . 若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β, 则 ( 　　 ) A.m∥ l 　　　 B.m∥n 　　　 C.n⊥ l 　　　 D.m⊥n 【 解析】 选 C. 由题意知 ,α∩β= l , 所以 l ⊂β, 因为 n⊥β, 所以 n⊥ l . 3.( 必修 2 P57 习题 1-2BT9 改编 ) 在 △ABC 中 ,∠ABC=90°,PA⊥ 平面 ABC, 则图中直角三角形的个数是 ________.  【解析】 因为 ∠ABC=90°, 故 △ABC 是直角三角形 ; 因为 PA⊥ 平面 ABC, 所以 PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC, 又 BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB ⊂ 平面 PAB, 所以 BC⊥ 平面 PAB, 所以 BC⊥PB, 故 △PAC,△PAB,△PBC 都是直角三角形 . 答案 : 4 4.( 必修 2 P57 习题 1-2BT8 改编 ) 在三棱锥 P-ABC 中 , 点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O. 若 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA, 则点 O 是 △ABC 的 ________ 心 .  【解析】 如图 , 延长 AO,BO,CO 分别交 BC,AC,AB 于点 H,D,G. 因为 PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂ 平面 PAB, 所以 PC⊥ 平面 PAB, 又 AB⊂ 平面 PAB, 所以 PC⊥AB, 因为 AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂ 平面 PGC, 所以 AB⊥ 平面 PGC, 又 CG⊂ 平面 PGC, 所以 AB⊥CG, 即 CG 为 △ABC 边 AB 上的高 . 同理可证 BD,AH 分别为 △ABC 边 AC,BC 上的高 , 即 O 为 △ABC 的垂心 . 答案 : 垂