高考数学一轮复习精讲精练新人教A版立体几何初步 14页

‎2013高中数学精讲精练 第七章 立体几何初步 ‎【知识图解】‎ 空间几何体 构成几何体 的基本元素 柱、锥、台、球的特征 直观认识线面平行与垂直 表面积与体积 中心投影与平行投影 直观图与三视图的画法 点、线、面之间的位置关系 平面的基本性质 确定平面的位置关系 空间中的平行关系 直线与直线的平行关系 直线与平面平行的判断及性质 平面与平面平行的判断及性质 空间中的垂直关系 直线与平面垂直的判断及性质 平面与平面垂直的判断及性质 直线与直线的垂直关系 ‎【方法点拨】‎ 立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点：‎ ‎1．注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。‎ ‎2．归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。‎ ‎3．抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。‎ ‎4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。‎ 第1课 空间几何体 ‎【考点导读】‎ ‎1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；‎ ‎2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；‎ ‎3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；‎ ‎4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。‎ ‎【基础练习】‎ ‎1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 14 条棱， 8 个面；②如果它是棱柱，那么它有 12 条棱 6 个面。‎ ‎2.（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ③④ 。‎ ‎① ② ③ ④‎ ‎（2）如图，E、F分别为正方体的面ADD‎1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的 ②③ （要求：把可能的图的序号都填上）.‎ ‎【范例导析】‎ 例1．下列命题中，假命题是 （1）（3） 。（选出所有可能的答案）‎ ‎（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 ‎（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 ‎（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 ‎（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体 分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。‎ ‎（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。‎ 例2．是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么△ABC的面积为_______________。‎ 解析：。‎ 点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。‎ 例3．（1）画出下列几何体的三视图 ‎（2）‎ ‎（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状 分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。‎ 解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下：‎ ‎（2）该几何体为一个正四棱锥。‎ 点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。‎ ‎【反馈演练】‎ ‎1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是。‎ ‎2．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=。‎ 解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3=πR2r。故。答案为。‎ 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。‎ ‎3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是。‎ ‎4．空间四边形中，，，分别是边上的点，且为平行四边形，则四边形的周长的取值范围是__。‎ ‎5．三棱锥中，，其余棱长均为1。‎ P A B C M ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积的最大值。‎ 解：（1）取中点，∵与均为正三角形，‎ ‎∴，‎ ‎ ∴平面。‎ ‎ ∴ ‎ ‎(2)当平面时，三棱锥的高为，‎ 此时 ‎6．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.‎ ‎（1）求圆锥的母线与底面所成的角；‎ ‎（2）求圆锥的全面积．‎ ‎ 解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，‎ 由题意得：,‎ 即,‎ 所以母线和底面所成的角为 ‎(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON，‎ 其中O为截面与AC的交点，则OO1//AB且 在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，‎ 则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，‎ 点N的坐标为（R，－R），代入方程得：R2=－2p（－R），‎ 得：R=2p，l=2R=4p.‎ ‎∴圆锥的全面积为.‎ 说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. ‎ 第2课 平面的性质与直线的位置关系 ‎【考点导读】‎ ‎1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。‎ ‎2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。‎ ‎3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。‎ ‎【基础练习】‎ ‎1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。‎ ‎（1）∵，∴． （2）∵，∴．‎ ‎（3）∵，∴． （4）∵，∴．‎ ‎2．下列推断中，错误的是 （4） 。‎ ‎（1） ‎ ‎（2），A,B,C不共线重合 ‎（3） ‎ ‎（4） ‎3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”‎ ‎（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）‎ ‎（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）‎ ‎（3）两条直线可以确定一个平面（ ）‎ ‎（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）‎ ‎（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）‎ ‎（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）‎ ‎（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）‎ ‎（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）‎ ‎⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×‎ ‎4．如右图，点E是正方体的棱的中点，则过点E与直线和都相交的直线的条数是： 1 条 ‎5．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，AÎa，DÎa，BÎb，EÎc 求证：BD和AE是异面直线 证明：假设__ 共面于g，则点A、E、B、D都在平面_ _内 ‎ QAÎa，DÎa，∴__Ìγ. QPÎa，∴PÎ__.‎ QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc ∴_ _Ìg， __Ìg，这与____矛盾 ‎ ‎∴BD、AE__________ 答案：假设BD、AE共面于g，则点A、E、B、D都在平面 g 内。‎ ‎∵AÎa，DÎa，∴ a Ìg. ∵PÎa，PÎ g .‎ ‎∵PÎb，BÎb，PÎc，EÎc. ∴ b Ìg，c Ìg，这与a、b、c不共面矛盾 ‎∴BD、AE是异面直线 ‎ ‎【范例导析】‎ 例1．已知，从平面外一点引向量 ‎，‎ ‎（1）求证：四点共面；（2）平面平面．‎ 分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，‎ 也可以转化为直线共面的条件即几何证法。‎ 解：法一：（1）∵四边形是平行四边形，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴共面；‎ ‎（2）∵，又∵，‎ ‎∴‎ 所以，平面平面．‎ 法二：（1）‎ ‎∴‎ ‎∴ 同理 又 ∴‎ ‎∴共面；‎ ‎（2）由（1）知：，从而可证 同理可证，所以，平面平面．‎ 点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。‎ 例2．已知空间四边形ABCD.‎ ‎(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;‎ ‎(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;‎ ‎(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段. ‎ 分析：证明两条直线异面通常采用反证法。‎ 证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，‎ 所以A、B、C、D四点共面 这与空间四边形ABCD的定义矛盾 所以对角线AC与BD是异面直线 ‎ (2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.‎ 同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.‎ 又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.‎ ‎∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.‎ ‎(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.‎ 点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。‎ 例3．如图，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形 简证：由可以证得≌‎ 所以 又可以由正方体的性质证明 所以四边形是平行四边形 例4：如图，已知平面，且是垂足．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．‎ 解：（Ⅰ）因为，所以．‎ 同理．‎ 又，故平面．‎ ‎（Ⅱ）平面平面。证明如下：设与平面的交点为，‎ 连结、．因为平面，所以，‎ 所以是二面角的平面角．‎ 又，所以，即．‎ 在平面四边形中，，‎ 所以．故平面平面．‎ ‎【反馈演练】‎ ‎1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）‎ ‎ （1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）‎ ‎ （2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ） ‎ ‎ （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º （ ）‎ ‎ （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）‎ 答案：（1）× （2）× （3）√ （4）× ‎ ‎2．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 4 个。 ‎ ‎3．给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平面外，则该直线在平面外；（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。‎ α β D B C A ‎4．如图，已知（A,B不重合）‎ 过A在平面α内作直线AC，过B在平面β内作直线BD。‎ 求证：AC和BD是异面直线。‎ 证明：（反证法）若AC和BD不是异面直线，‎ 设确定平面γ，则由题意可知：平面α和γ都过AC和AC外一点B，所以两平面重合。‎ 同理可证平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。‎ 这与已知条件平面α和β相交矛盾。‎ 所以AC和BD是异面直线。‎ 第3课 空间中的平行关系 ‎【考点导读】‎ ‎1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。‎ ‎2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。‎ ‎3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。‎ ‎【基础练习】‎ ‎1．若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 异面或相交 。 ‎ ‎2．给出下列四个命题:‎ ‎①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.‎ ‎③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.‎ ‎④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.‎ 其中假命题的个数是 4 个。‎ ‎3．对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l 垂直 。‎ ‎4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：‎ ‎①a∥c，b∥ca∥b；②a∥r，b∥ra∥b；③α∥c，β∥cα∥β；‎ ‎④α∥r，β∥rα∥β；⑤a∥c，α∥ca∥α；⑥a∥r，α∥ra∥α．‎ 其中正确的命题是 ①④ 。 ‎ ‎【范例导析】‎ 例1．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形．‎ 求证：AB∥平面EFG．‎ 证明 ：∵面EFGH是截面．‎ ‎∴点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上．‎ ‎∴EH 面ABC，GF 面ABD，‎ 由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．‎ 又 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB ‎∴EH∥AB．‎ ‎∴AB∥面EFG．‎ 例2． 如图，在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，点N在BD上，点M在B‎1C上，并且CM=DN.‎ 求证:MN∥平面AA1B1B.‎ 分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。‎ 简证：法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。‎ 即在平面ABB‎1A1内找一条直线与MN平行，如图所示作平行线即可。‎ A B C D N F E M A11‎ B11‎ D11‎ C11‎ 法2：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连CN并延长交直线BA于点P，‎ 连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.‎ 法3：把证“线面平行”转化为证“面面平行”。‎ 过M作MQ//BB1交BC于B1，连NQ,则平面MNQ与平面ABB‎1A1平行，‎ 从而证得MN∥平面ABB‎1A1.‎ 点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。‎ ‎【反馈演练】‎ ‎1．对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（3）。‎ ‎（1）若则　　　 　（2）若则 ‎（3）若则　　 　　 （4）若、与所成的角相等，则 ‎2. 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 （2） 。‎ ‎（1）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b ‎（2）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b ‎（3）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面 ‎（4）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面 ‎3．关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（4） 。‎ ‎（1）若a∥M，b∥M，则a∥b （2）若a∥M，b⊥a，则b⊥M ‎（3）若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，则M⊥N ‎4．“任意的，均有”是“任意，均有”的 充要条件 。‎ ‎5.在正方体AC1中，过A‎1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD .‎ ‎6．在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,CC1相交于E,F两点，则四边形EBFD!的形状为 平行四边形 。‎ ‎7. 已知Ｐ为平行四边形ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，‎ 求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．‎ 证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，‎ 则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，‎ ‎∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，‎ ‎∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ． ‎ ‎8．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）若，， 求异面直线与所成的角的大小 略证：（1）取PD的中点H，连接AH，‎ ‎ ‎ 为平行四边形 ‎ (2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是异面直线与所成的角，由，得，OM=2，ON= 所以，即异面直线与成的角 ‎9．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。‎ 证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，‎ 则MP∥AB，NQ∥AB。‎ ‎∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，‎ ‎∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°‎ ‎∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ‎∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形 ‎∴MN∥PQ ‎∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，‎ ‎∴MN∥平面BCE。‎ 证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，‎ ‎∴‎ 连结NH，由BF=AC，FN=AM，得 ‎∴ NH//AF//BE 由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ‎∴MN∥平面BCE。‎ 第4课 空间中的垂直关系 ‎【考点导读】‎ ‎1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。‎ ‎2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。‎ ‎【基础练习】‎ ‎1．“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的 必要 条件。‎ ‎2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。‎ ‎3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。‎ ‎4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。‎ ‎5．在正方体中，写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。‎ ‎【范例导析】‎ 例1．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.‎ ‎（1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD.‎ 解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.‎ 证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO.‎ ‎∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点 在中,EO是中位线,∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB,‎ 所以,PA // 平面EDB ‎（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴‎ ‎∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,‎ ‎∴. ①‎ 同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.‎ ‎∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.‎ 而平面PDC,∴. ②‎ 由①和②推得平面PBC. 而平面PBC,∴‎ 又且,所以PB⊥平面EFD.‎ 例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，‎ 求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；‎ ‎（3）平面DEA ⊥平面ECA。‎ 分析：（1）证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM ⊥平面ECA。‎ 证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。‎ ‎∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。‎ ‎∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。‎ ‎∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，‎ 则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。‎ 又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。‎ ‎（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ，‎ ‎∵ M 是EA 的中点，∴ MN EC。‎ 由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。‎ ‎∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，‎ ‎∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。‎ ‎（3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，‎ ‎∴ 平面DEA ⊥平面ECA。‎ 点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。‎ 例3．如图，直三棱柱ABC—A1B‎1C1 中，AC ＝BC ＝1，‎ ‎∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是A1B1 中点．‎ （1） 求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，‎ 会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。‎ 分析：（1）由于C1D 所在平面A1B‎1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。‎ 证明：（1）如图，∵ ABC—A1B‎1C1 是直三棱柱，‎ ‎∴ A‎1C1 ＝B‎1C1 ＝1，且∠A‎1C1B1 ＝90°。又 D 是A1B1 的中点，‎ ‎∴ C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面A1B‎1C1 ，C1D 平面A1B‎1C1 ，‎ ‎∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。‎ ‎（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C‎1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求。‎ ‎∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，‎ ‎∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面C1DF 。‎ 点评：本题（1）的证明中，证得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B‎1C1 是直三棱柱知平面C‎1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。‎ ‎【反馈演练】‎ ‎1．下列命题中错误的是 （3） 。‎ ‎ （1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线 ‎ （2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直 ‎ （3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面 ‎ （4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 ‎2．设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若 ‎，且”为真命题的是 ①③④ （填所有正确条件的代号）‎ ‎①x为直线，y，z为平面 ②x，y，z为平面 ‎③x，y为直线，z为平面 ④x，y为平面，z为直线 ‎⑤x，y，z为直线 ‎ ‎3．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有___4__个。‎ ‎4．若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面 的距离为_2或14________。‎ ‎5．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。‎ 命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。‎ 答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等……）‎ ‎6．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：‎ ‎①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α ‎ 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 。‎ 答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β ‎7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。‎ ‎（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；‎ ‎（2）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明.‎ 解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB 面EFCD∩面SAB=EF，‎ ‎∴CD∥EF ∵‎ 又面 ‎ ‎∴ 平面SAD，∴又 ‎ 为直角梯形 ‎ ‎ (2)当时，为直角三角形 .‎ ‎ ,‎ 平面平面.‎ 在中，为SB中点，.‎ 平面平面 为直角三角形。‎