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- 2021-06-09 发布
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1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
学习目标 1.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.
知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质
(a+b)n的展开式的二项式系数,当n取正整数时可以表示成如下形式:
思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律?
答案 在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
思考2 计算每一行的系数和,你又能看出什么规律?
答案 2,4,8,16,32,64,…,其系数和为2n.
思考3 二项式系数的最大值有何规律?
答案 当n=2,4,6时,中间一项最大,当n=3,5时中间两项最大.
梳理 (1)杨辉三角的特点
①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.
14
②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即C=C+C.
(2)二项式系数的性质
性质
内容
对称性
C=C,即二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
增减性与最大值
如果二项式的幂指数n是偶数,那么展开式中间一项的二项式系数最大
如果n为奇数,那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值
各二项式
系数的和
二项展开式中各二项式系数的和等于2n,即C+C+C+…+C=2n
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,都等于2n-1,即C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1
1.杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.( × )
2.二项式展开式的二项式系数和为C+C+…+C.( × )
3.二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( × )
类型一 与杨辉三角有关的问题
例1 (1)杨辉三角如图所示,杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外,均能被5整除,则具有类似性质的行是( )
A.第6行 B.第7行 C.第8行 D.第9行
(2)如图,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为S(n),则S(16)等于( )
14
A.144 B.146 C.164 D.461
考点 二项式系数的性质
题点 与杨辉三角有关的问题
答案 (1)B (2)C
解析 (1)由题意,第6行为1,6,15,20,15,6,1,第7行为1,7,21,35,35,21,7,1,故第7行除去两端数字1以外,均能被7整除.
(2)由题干图知,数列中的首项是C,第2项是C,第3项是C,第4项是C,…,第15项是C,第16项是C,所以S(16)=C+C+C+C+…+C+C=(C+C+…+C)+(C+C+…+C)
=(C+C+C+…+C-C)+(C+C+…+C)
=C+C-1=164.
反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
跟踪训练1 如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
考点 二项式系数的性质
题点 与杨辉三角有关的问题
答案 34
解析 由题意设第n
14
行的第14个数与第15个数的比为2∶3,它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比,所以C∶C=2∶3,即=,解得n=34,所以在第34行中,从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.
类型二 二项式系数和问题
例2 已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.
求下列各式的值:
(1)a0+a1+a2+…+a5;
(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;
(3)a1+a3+a5.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
解 (1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.
(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.
由(2x-1)5的通项Tk+1=C(-1)k·25-k·x5-k知a1,a3,a5为负值,
所|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|
=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.
(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,
-a0+a1-a2+…+a5=-35,
得2(a1+a3+a5)=1-35.
所以a1+a3+a5==-121.
引申探究
在本例条件下,求下列各式的值:
(1)a0+a2+a4;
(2)a1+a2+a3+a4+a5;
(3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.
解 (1)因为a0+a1+a2+…+a5=1,
-a0+a1-a2+…+a5=-35.
所以a0+a2+a4==122.
(2)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,
所以a0=25=32.
又a0+a1+a2+…+a5=1,
所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.
(3)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.
14
所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.
令x=1得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.
反思与感悟 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
跟踪训练2 在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
解 设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为C+C+C+…+C=29.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,
令x=1,y=1,
所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)令x=1,y=-1,可得
a0-a1+a2-…-a9=59,
又a0+a1+a2+…+a9=-1,
将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=,
即所有奇数项系数之和为.
类型三 二项式系数性质的应用
例3 已知f(x)=(+3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中系数最大(小)的项
14
解 令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知,4n-2n=992.
∴(2n)2-2n-992=0,
∴(2n+31)(2n-32)=0,
∴2n=-31(舍去)或2n=32,∴n=5.
(1)由于n=5为奇数,∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项,它们分别为T3=C·(3x2)2=90x6,T4=C·(3x2)3=270.
(2)展开式的通项公式为Tk+1=C·3k·,
假设Tk+1项系数最大,
则有
∴
即∴≤k≤,∵k∈N,∴k=4,
∴展开式中系数最大的项为T5=C(3x2)4=405.
反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.
①当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.
②当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
(2)展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数的最大项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第k+1项最大,应用解出k,即得出系数的最大项.
跟踪训练3 写出(x-y)11的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)项的系数绝对值最大的项;
(3)项的系数最大的项和系数最小的项;
(4)二项式系数的和;
(5)各项系数的和.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
解 (1)二项式系数最大的项为中间两项:
14
T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.
(2)(x-y)11展开式的通项为
Tk+1=Cx11-k(-y)k=C(-1)kx11-kyk,
∴项的系数的绝对值为|C·(-1)k|=C,
∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数,其最大的项也是中间两项,T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.
(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等,
又∵第6项系数为负,第7项系数为正,
故项的系数最大的项为T7=Cx5y6,项的系数最小的项为T6=-Cx6y5.
(4)展开式中,二项式系数的和为C+C+C+…+C=211.
(5)令x=y=1,得展开式中各项的系数和为C-C+C-…-C=(1-1)11=0.
1.观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
考点 二项式系数的性质
题点 与杨辉三角有关的问题
答案 B
解析 由题图知,下一行的数是其肩上两数的和,所以4+a=10,得a=6.
2.(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是( )
A.n,n+1 B.n-1,n
C.n+1,n+2 D.n+2,n+3
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项
答案 C
解析 2n+1为奇数,展开式中中间两项的二项式系数最大,分别为第项,第项,即第n+1项与第n+2项,故选C.
14
3.已知n展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于( )
A.4 B.5
C.6 D.7
考点 二项式系数的性质
题点 二项式系数与项的系数问题
答案 C
解析 令x=1,各项系数和为4n,二项式系数和为2n,故有=64,所以n=6.
4.设(-3+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3的值为________.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 -15
解析 令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=1.①
又Tk+1=C(-3)4-k(2x)k,
∴当k=4时,x4的系数a4=16.②
由①-②得a0+a1+a2+a3=-15.
5.已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为________.
考点 展开式中系数的和问题
题点 多项展开式中系数的和问题
答案
解析 由C+C+C=37,得1+n+n(n-1)=37,解得n=8(负值舍去),则第5项的二项式系数最大,T5=C××(2x)4=x4,该项的系数为.
1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.
2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0,1或-1,但在解决具体问题时要灵活掌握.
3.注意以下两点:(1)区分开二项式系数与项的系数.
(2)求解有关系数最大时的不等式组时,注意其中k∈{0,1,2,…,n}.
14
一、选择题
1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,a,b是某行的前两个数,当a=7时,b等于( )
A.20 B.21 C.22 D.23
考点 二项式系数的性质
题点 与杨辉三角有关的问题
答案 C
解析 根据观察可知,每一行除开始和末尾的数外,中间的数分别是上一行相邻两个数的和,当a=7时,上面一行的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.
2.若n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大,则该展开式中的常数项为( )
A.210 B.252
C.462 D.10
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式的特定项
答案 A
解析 由于展开式中只有第6项的系数最大,且其系数等于其二项式系数,所以展开式项数为11,从而n=10,于是得其常数项为C=210.
3.已知关于x的二项式n展开式的二项系数之和为32,常数项为80,则a的值为( )
A.1 B.±1 C.2 D.±2
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 C
解析 由条件知2n=32,即n=5,在通项公式Tk+1=C()5-kk=Cak中,令15-5k=0,得k=3.所以Ca3=80,解得a=2.
14
4.(x-1)11的展开式中,x的奇次幂的系数之和是( )
A.2 048 B.-1 023 C.-1 024 D.1 024
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 D
解析 (x-1)11=a0x11+a1x10+a2x9+…+a11,
令x=-1,则-a0+a1-a2+…+a11=-211,①
令x=1,则a0+a1+a2+…+a11=0,②
=a0+a2+a4+…+a10=210=1 024.
5.若x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a8的值为( )
A.10 B.45
C.-9 D.-45
考点 二项式定理
题点 逆用二项式定理求和、化简
答案 B
解析 x10=[1+(x-1)]10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,∴a8=C=C=45.
6.设n的展开式的各项系数和为M,二项式系数和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为( )
A.-150 B.150 C.300 D.-300
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
答案 B
解析 由已知条件4n-2n=240,解得n=4,
Tk+1=C(5x)4-k·k=(-1)k54-kC,
令4-=1,得k=2,
所以展开式中x的系数为(-1)2×52C=150.
7.已知(2x-1)n二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则C+C+C+…+C的值为( )
A.28 B.28-1
C.27 D.27-1
考点 展开式中系数的和问题
14
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 B
解析 设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B.
则A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+a6+….
由已知可知,B-A=38.令x=-1,
得,a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,
即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,
即B-A=(-3)n.∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.
由二项式系数性质可得,
C+C+C+…+C=2n-C=28-1.
8.关于下列(a-b)10的说法,错误的是( )
A.展开式中的二项式系数之和是1 024
B.展开式的第6项的二项式系数最大
C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
考点 二项式系数的性质
题点 二项式系数与项的系数问题
答案 C
解析 由二项式系数的性质知C+C+C+…+C=210=1 024,故A正确.二项式系数最大的项为C,是展开式的第6项,故B正确.由展开式的通项为Tk+1=Ca10-k(-b)k=(-1)kCa10-kbk知,第6项的系数-C最小,故D正确.
二、填空题
9.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是________.
考点 二项式系数的性质
题点 利用二项式系数的性质进行计算
答案 6
解析 (1+x)n展开式的各项系数为其二项式系数,当n=10时,展开式的中间项第六项的二项式系数最大,故k的最大值为6.
10.在n的展开式中,所有奇数项系数之和为1 024,则中间项系数是________.
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
14
答案 462
解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n,而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等,故由题意得2n-1=1 024,∴n=11,∴展开式共12项,中间项为第六项、第七项,其系数为C=C=462.
11.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+…+a11)=_____.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 7
解析 令x=-1,∴28=a0+a1+a2+…+a11+a12.
令x=-3,∴0=a0-a1+a2-…-a11+a12,
∴28=2(a1+a3+…+a11),∴a1+a3+…+a11=27,
∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7.
三、解答题
12.设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100·x100,求下列各式的值.
(1)求a0;
(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;
(3)a1+a3+a5+…+a99;
(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;
(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
解 (1)令x=0,则展开式为a0=2100.
(2)令x=1,
可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100,①
所以a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.
(3)令x=-1,
可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100.②
与①式联立相减得
a1+a3+…+a99=.
(4)由①②可得,(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-…+a100)=(2-)100·(2+)100=1.
(5)|a0|+|a1|+…+|a100|,即(2+x)100的展开式中各项系数的和,在(2+x)100
14
的展开式中,令x=1,可得各项系数的和为(2+)100.
13.已知n展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n;
(2)若展开式中常数项为,求m的值;
(3)若(x+m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项,求m的取值情况.
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
解 (1)二项式系数之和为2n=256,可得n=8.
(2)设常数项为第k+1项,则
Tk+1=Cx8-kk=Cmkx8-2k,
故8-2k=0,即k=4,则Cm4=,解得m=±.
(3)易知m>0,设第k+1项系数最大.
则化简可得≤k≤.
由于只有第6项和第7项系数最大,
所以即
所以m只能等于2.
四、探究与拓展
14.设(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6,则=________.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 -
解析 令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,令x=0,得a0-a1+a2-…+a6=64,两式相减得2(a1+a3+a5)=-63,两式相加得2(a0+a2+a4+a6)=65,故=-.
15.已知(+x2)2n的展开式的系数和比(3x-1)n的展开式的系数和大992,求2n的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
14
题点 求展开式中系数最大(小)的项
解 由题意得22n-2n=992,解得n=5.
(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大,
即T6=C·(2x)5·5=-8 064.
(2)设第k+1项的系数的绝对值最大,
则Tk+1=C·(2x)10-k·k
=(-1)k·C·210-k·x10-2k.
∴得
即
∴≤k≤,k∈N,∴k=3,
故系数的绝对值最大的是第4项
T4=(-1)3C·27·x4=-15 360x4.
14
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