2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3 38页

3.2.2 　奇 偶 性 第 1 课时　函数奇偶性的概念 必备知识 · 自主学习 函数的奇偶性 (1) 奇偶性： 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数 f(x) 的定义域为 I ，如果∀ x∈I ，都有 -x∈I 结论 f(-x)=_____ f(-x)= ______ 图象 特点 关于 ____ 对称 关于 _____ 对称 f(x) -f(x) y 轴 原点 (2) 本质：奇偶性是函数对称性的表示方法 . (3) 应用：奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个 x ，都有 f(-x)=-f(x)[ 或 f(-x)=f(x)] ，才能说 f(x) 是奇 ( 偶 ) 函数 . 【 思考 】 具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 　 提示： 定义域关于原点对称 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 对于函数 y=f(x) ，若存在 x ，使 f(-x)=-f(x) ，则函数 y=f(x) 一定是奇函数 . ( 　　 ) (2) 若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数 . ( 　　 ) (3) 奇函数的图象一定过 (0 ， 0). ( 　　 ) 提示： (1)×. 奇函数、偶函数的定义都要求对于定义域内的任意 x. (2)×. 函数的奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数 . (3)×. 奇函数的图象不一定过原点，例如函数 y= . 2. 下列图象表示的函数具有奇偶性的是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B.B 选项的图象关于 y 轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性 . 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 下列函数为奇函数的是 ( 　　 ) A.y=|x| B.y=3-x C.y= D.y=-x 2 +14 【 解析 】 选 C.A 、 D 两项，函数均为偶函数， B 项中函数为非奇非偶函数，而 C 项 中函数为奇函数 . 关键能力 · 合作学习 类型一　函数奇偶性的判断 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 题组训练 】 1. 函数 f(x)= 的奇偶性是 ( 　　 ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 2. 函数 f(x)= 的奇偶性是 ( 　　 ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 3. 函数 f(x)= 的奇偶性是 ( 　　 ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 【 解析 】 1. 选 D. 由 得 x 2 =1 ，即 x=±1. 因此函数的定义域为 {-1 ， 1} ， 关于原点对称 . 又 f(1)=f(-1)=-f(-1)=0 ， 所以 f(x) 既是奇函数又是偶函数 . 2. 选 A. 函数 f(x) 的定义域为 R ，关于原点对称 . f(-x)= 即 f(-x)= 于是有 f(-x)=-f(x). 所以 f(x) 为奇函数 . 3. 选 C. 由 知 x>1 ，定义域不关于原点对称，故 f(x) 为非奇非偶函数 . 【 解题策略 】 判断函数奇偶性的方法 (1) 定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断 . 步骤如下： ①判断函数 f(x) 的定义域是否关于原点对称 . 若不对称，则函数 f(x) 为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步 . ② 验证 .f(-x)=-f(x) 或 f(-x)=f(x). ③ 下结论 . 若 f(-x)=-f(x) ，则 f(x) 为奇函数； 若 f(-x)=f(x) ，则 f(x) 为偶函数； 若 f(-x)≠-f(x) ，且 f(-x)≠f(x) ，则 f(x) 为非奇非偶函数 . (2) 图象法： f(x) 是奇 ( 偶 ) 函数的等价条件是 f(x) 的图象关于原点 (y 轴 ) 对称 . 【 补偿训练 】 下列函数中是偶函数的有 _______.( 填序号 )  ①f(x)=x 3 ；② f(x)=|x|+1 ；③ f(x)= ； ④ f(x)=x+ ；⑤ f(x)=x 2 ， x∈[-1 ， 2]. 【 解析 】 对于①， f(-x)=-x 3 =-f(x) ，则为奇函数；对于②， f(-x)=|-x|+ 1=|x|+1=f(x) ，则为偶函数；对于③，定义域为 {x|x≠0} ，关于原点对称， f(-x)= =f(x) ，则为偶函数； 对于④，定义域为 {x|x≠0} ，关于原点对称， f(-x)=-x- =-f(x) ，则为奇函数； 对于⑤，定义域为 [-1 ， 2] ，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶 函数 . 答案： ②③ 类型二　奇偶函数的图象问题 ( 直观想象 ) 【 典例 】 已知函数 y=f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时， f(x)=x 2 +2x. 现已画出函数 f(x) 在 y 轴左侧的图象，如图所示 . (1) 请补出完整函数 y=f(x) 的图象 . (2) 根据图象写出函数 y=f(x) 的递增区间 . (3) 根据图象写出使 y=f(x)<0 的 x 的取值范围 . 【 思路导引 】 根据偶函数的图象关于 y 轴对称，补全函数图象，增函数的图象是上升的，求出单调递增区间， f(x)<0 是指的函数图象位于 x 轴下方的部分 . 【 解析 】 (1) 由题意作出函数图象如图： (2) 据图可知，单调递增区间为 (-1 ， 0) ， (1 ， +∞). (3) 据图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值范围为 (-2 ， 0)∪(0 ， 2). 【 解题策略 】 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1) 确定函数的奇偶性 . (2) 作出函数在 [0 ， +∞)( 或 (-∞ ， 0]) 上对应的图象 . (3) 根据奇 ( 偶 ) 函数关于原点 (y 轴 ) 对称得出在 (-∞ ， 0]( 或 [0 ， +∞)) 上对应的函数图象 . 【 跟踪训练 】 已知奇函数 f(x) 的定义域为 [-5 ， 5] ，且在区间 [0 ， 5] 上的图象如图所示 . (1) 画出在区间 [-5 ， 0] 上的图象 . (2) 写出使 f(x)<0 的 x 的取值范围 . 【 解析 】 (1) 因为函数 f(x) 是奇函数，所以 y=f(x) 在 [-5 ， 5] 上的图象关于原 点对称 . 由 y=f(x) 在 [0 ， 5] 上的图象，可知它在 [-5 ， 0] 上的图象，如图所示 . (2) 由图象知，使 f(x)<0 的 x 的取值范围为 (-2 ， 0)∪(2 ， 5). 类型三　利用函数奇偶性求值 ( 数学运算、逻辑推理 ) 　角度 1 　利用函数的奇偶性求参数  【 典例 】 若函数 f(x)=ax 2 +bx+3a+b 是偶函数，定义域为 [a-1 ， 2a] ，则 a=_______ ， b=_______.  【 思路导引 】 根据 f(x) 是偶函数，得到定义域关于原点对称，求出 a 的值，再根据函数图象关于 y 轴对称，求出 b 的值 . 【 解析 】 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a-1=-2a ，解得 a= . 又函 数 f(x)= x 2 +bx+b+1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b=0. 答案： 　 0 　角度 2 　利用函数的奇偶性求函数值  【 典例 】 已知 f(x)=x 7 -ax 5 +bx 3 +cx+2 ，若 f(-3)=-3 ，则 f(3)=_______.  【 思路导引 】 根据 f(x) 的解析式发现 f(x) 为非奇非偶函数，设一个新函数 g(x) ，根据新函数的奇偶性求出 f(3) 的值 . 【 解析 】 令 g(x)=x 7 -ax 5 +bx 3 +cx ，则 g(x) 是奇函数， 所以 f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2 ， 又 f(-3)=-3 ，所以 g(3)=5. 又 f(3)=g(3)+2 ，所以 f(3)=5+2=7. 答案： 7 【 解题策略 】 已知函数的某一个值，求对应的函数值时，常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值 . 【 题组训练 】 1. 已知函数 f(x)=x 2 +(2-m)x+m 2 +12 为偶函数，则 m 的值是 ( 　　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 【 解析 】 选 C. 因为函数 f(x)=x 2 +(2-m)x+m 2 +12 为偶函数，所以 f(x)=f(-x) ，即 x 2 +(2-m)x+m 2 +12=(-x) 2 -(2-m)x+m 2 +12 ，即 4-2m=0 ，所以 m=2. 2. 若 f(x)=(x+a)(x-4) 为偶函数，则实数 a=_______.  【 解析 】 方法一： f(x)=(x+a)(x-4)=x 2 +(a-4)x-4a ， f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x 2 -(a-4)x-4a ，两式恒相等，则 a-4=0 ，即 a=4. 方法二： f(x)=(x+a)(x-4)=x 2 +(a-4)x-4a ，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为 0 ，即 a-4=0 ，则 a=4. 答案： 4 3. 已知 y=f(x) 是奇函数，当 x<0 时， f(x)=x 2 +ax ，且 f(3)=6 ，则 a 的值为 _______.  【 解析 】 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(-3)=-f(3)=-6 ，所以 (-3) 2 +a×(-3)=-6 ，解得 a=5. 答案： 5 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 既奇又偶函数 奇函数 偶函数 定义 定义域特征 非奇非偶函数 图象特征 函数奇偶性的几个结论 : (1) 若奇函数在原点处有定义，则必有 f(0)=0, 有时可用这个结论来否定个函数为奇函数 (2) 若函数 (x) 为偶函数，则 f(x)=f(|x|)=f(-x) (3) 偶 ± 偶 = 偶，奇 ± 奇 = 奇，偶 × 偶 = 奇 × 奇 = 偶，奇 × 偶 = 奇 （ 1 ）判断函数奇偶性第一步， 先判断函数定义域是否关于原点对称 （ 2 ）注意函数的奇偶性与单调性关系在比较大小中的应用 直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养 课堂检测 · 素养达标 1. 设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x≤0 时， f(x)=x 2 - x ，则 f(1)=( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(1)=-f(-1)= . 2. 设 f(x) 是定义在 R 上的一个函数，则函数 F(x)=f(x)-f(-x) 在 R 上一定 ( 　　 ) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 【 解析 】 选 A.F(-x)=f(-x)-f(x) =-[f(x)-f(-x)]=-F(x) ，符合奇函数的定义 . 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 如图，给出奇函数 y=f(x) 的局部图象，则 f(-2)+f(-1) 的值为 ( 　　 ) A.1 B.0 C.-2 D.2 【 解析 】 选 C. 由题图知 f(1)= ， f(2)= ， 又 f(x) 为奇函数，所以 f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)= =-2. 4. 定义在 R 上的偶函数 f(x) 在 (0 ， +∞) 上单调递增，则 ( 　　 ) A.f(3)