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- 2021-06-09 发布
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第
1
页,共
13
页
温馨提示:本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共
150
分。
考试时间
120
分钟。祝同学们考试顺利!
第Ⅰ卷 选择题(共
45
分)
注意事项
:
1.
答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2.
每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3.
本卷共
9
小题,每小题
5
分,共
45
分。
如果事件 BA, 互斥,那么 如果事件 BA, 相互独立,那么
)()()( BPAPBAP )()()( BPAPABP .
锥体的体积公式 ShV 3
1
.
球体 3
3
4 RV
其中 S 表示锥体的底面积
,
其中
R
为球的半径
.
h 表示锥体的高
.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
集合
ൌ 0,
1,2,3,4,
5
,
ൌ 1,2
,
ൌ ⸲ ⸲
2
3⸲ 0
,则
晦 ൌ 晦
A. ,1,
2,
B.
,4, C.
,2,
D.
,
2.
已知 p:
⸲
,q:
3
⸲香1 1
,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 k 的取值范围
是
晦A.
2, 香 晦
B.
2, 香 晦
C.
1, 香 晦
D.
, 1
3.
函数
⸲晦 ൌ
2
⸲ 1香 ⸲
的图像大致为
晦
学
校
班
级
姓
名
考
号
和
平
区
2
0
1
9
-
2
0
2
0
学
年
度
第
二
学
期
高
三
年
级
第
三
次
质
量
调
查
数
学
学
科
试
卷
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
密
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
封
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
线
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
第
2
页,共
13
页
A. B.
C. D.
4.
三棱锥的棱长均为
4
,顶点在同一球面上,则该球的表面积为
晦A.
3
B.
2
C.
144
D.
2香香
5.
设正实数 a,b,c 分别满足
2
ൌ 1
,
㤮 2 ൌ 1
,
㤮 3 ൌ 1
,则 a,b,c 的大小
关系为
晦A.
B.
C.
D.
.
已知双曲线
⸲
2
2
2
2
ൌ 1 0, 0晦
的右焦点为 F,虚轴的上端点为 B,P 为左支上的
一个动点,若
䁨
周长的最小值等于实轴长的 3 倍,则该双曲线的离心率为
晦A.
10
2
B.
10
5
C.
10
D.
2
.
若函数
⸲晦 ൌ 㤮ൌ 2⸲ 香 晦
的图象关于点
4
3 ,0
成中心对称,且
2
2
,
则函数
ൌ ⸲ 香
3
为
晦
A. 奇函数且在
0,
4
上单调递增 B. 偶函数且在
0,
2
上单调递增
C. 偶函数且在
0,
2
上单调递减 D. 奇函数且在
0,
4
上单调递
减
第
3
页,共
13
页
香.
已知直线 l:
⸲ ൌ 1
与圆:
⸲
2
香
2
2⸲ 香 2 1 ൌ 0
相交于 A,C 两点,点 B,
D 分别在圆上运动,且位于直线 l 的两侧,则四边形 ABCD 面积的最大值为
晦A.
30
B.
2 30
C.
51
D.
2 51
9.
已知函数
⸲晦 ൌ
㤮
1
2⸲,⸲ 0
⸲ 香
1
2
15
4 ,⸲ 0
,函数
⸲晦 ൌ ⸲
3
,若方程
⸲晦 ൌ ⸲ ⸲晦
有 4
个不同实根,则实数 a 的取值范围为
晦A.
3,
15
2
B.
5,
15
2 C.
3,5晦
D.
3,5晦
第Ⅱ卷 非选择题(共
105
分)
注意事项:
1
. 用黑色水笔或签字笔直接答在答题卡上,答在本试卷上的无效。
2
. 本卷共
11
小题,共
105
分。
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷上.
10.
若复数
2 香 ൌ 1 香 晦 香 晦 , 晦,
其中 i 是虚数单位,则
ൌ
.
11.
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日
的产量数据
单位:件
晦.
若这两组数据的中位数相等,
且平均值也相等,则
⸲ 香
的值为_______.
12.
若
3
⸲
3
⸲晦
的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1024,则该展开式中的常数项
是______.
第
4
页,共
13
页
13.
已知一个袋子中装有 4 个红球和 2 个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的,
若从袋子中摸出 3 个球,记摸到的白球的个数为 ,则 的概率是__________;
随机变量 期望是__________.
14.
已知正数 x,y 满足
⸲
2
香 4⸲
2
香 ⸲ ൌ ⸲ 香 4
,则当 ______时,
⸲
⸲香4
的最大值
为________.
15. 如图,在四边形 ABCD 中,已知
ൌ 2
,CD 与以 AB
为直径的半圆 O 相切于点 D,且
,若
ൌ
1
,则 BD=__________;此时
ൌ
__________.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 14 分)
在
中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且
2 ൌ 2 㤮ൌ
.
(Ⅰ)求 sin
香
2 香 晦
的值;
(Ⅱ)若
ൌ 3
,求
的取值范围.
17.(本小题满分 14 分)
如图甲的平面五边形 PABCD 中,
ൌ
,
ൌ ൌ ൌ 5
,
ൌ 1
,
ൌ 2
,
,现将图甲中的△PAD 沿 AD 边折起,使平面
平面 ABCD 得图乙的四棱
锥
.
在图乙中
(Ⅰ)求证:
平面 PAB;
(Ⅱ)求二面角
的大小;
(Ⅲ)在棱 PA 上是否存在点 M 使得 BM
与平面 PCB 所成的角的正弦值为
1
3
?并说
明理由.
和
平
区
2
0
1
9
-
2
0
2
0
学
年
度
第
二
学
期
高
三
年
级
第
三
次
质
量
调
查
数
学
学
科
试
卷
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
密
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
封
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
线
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
y
x
1
和平区 2019-2020 学年度第二学期高三年级第三次质量调查
。
2
⸲晦 ⸲晦 香 ⸲
时,求证:
ൌ 1
求实数 a 的取值范围;(Ⅲ)当
,
1 ⸲ 2 1
,且 x
⸲1晦 ൌ ⸲2晦 ൌ 0
,使
⸲2 , 香 晦
,
⸲1 0, 香 晦
(Ⅱ)若存在
的图象相切,求实数 a 的值;
⸲晦
与函数
ൌ 2⸲
(Ⅰ)若直线
。
⸲晦
⸲
⸲晦 ൌ ⸲
,
⸲晦 ൌ ⸲ ⸲ 香 1
已知函数
20.(本小题满分 16 分)
若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由.
ൌ 2. ܯ
且
ൌ ܯ
使得
,
0,ꀀ晦
与椭圆 C 交于 M、N 两点,在 y 轴上是否存在点
ൌ ⸲ 香 ݔ 0晦
(Ⅱ)已知直线 l:
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
.
2 香 1
最大值为
的距离的
䁨1
,椭圆上的点到左焦点
2
2
ൌ
的离心率
ൌ 1 0晦
2
2
香
2
2
⸲
已知椭圆 C:
19.(本小题满分 16 分)
.
的前 n 项和
,求数列
ൌ 2 1 2
(Ⅱ)设
的通项公式;
的值及数列
,
5
,
4
,
3
(Ⅰ)求
.
,
1 ൌ 0
香2 2 香 2 1晦
3 香 1晦
,且
2
1
2 ൌ
,
1 ൌ 1
满足:
已知数列
18.(本小题满分 15 分)
页
13
页,共
5
第
第
页,共
13
页
数学学科参考答案
一、选择题:(45 分).
1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 8.A 9.B
二、填空题:(30 分)
10.
1
2
11. 8 12.
9013.
3
5
;1 14.4;
1
香
15.1;
3
2三、解答题:
16.(本小题满分 14 分)
解:(Ⅰ)因为
2 ൌ 2 㤮ൌ
,所以
2ൌ ൌ ൌ 2ൌ 㤮ൌ
,
所以
2ൌ 香 晦 ൌ ൌ 2ൌ 㤮ൌ
,整理得
sin ൌ 2 㤮ൌ ൌ
.…………
3
分
因为
sin 0
,所以
cos ൌ
1
2
,
所以
ൌ
3
,从而
香
2 香 ൌ
2
3
,…………
5
分
故
sin
香
2 香 晦 ൌ ൌ
2
3 ൌ
3
2
.……………………
分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
sin ൌ
3
2
,……………………
分
所以
sin ൌ
sin ൌ
sin ൌ 2
,从而
ൌ 2ൌ
,
ൌ 2ൌ
.………………
9
分
所以
ൌ 2ൌ 2ൌ ൌ 2ൌ
2
3 晦 2ൌ
ൌ 3 㤮ൌ ൌ ൌ 2ൌ
3 晦
.………………
11
分
第
页,共
13
页
因为
香 ൌ
2
3
,所以
0
2
3
,从而
3
3
3
,………………
12
分
所以
3 2ൌ
3 晦 3
,
故
的取值范围为
3, 3晦
.……………………
14
分
17.(本小题满分 14 分)
(Ⅰ)证明:
ൌ 1
,
ൌ 2
,
ൌ 5
2
香
2
ൌ
2
,
,
平面
平面 ABCD,平面
平面
ൌ
,
平面 PAD,又
平面 PAD,
,又
,
ൌ
平面 PAB.…………
4
分
(Ⅱ)解:取 AD 的中点 O,连结 OP,OC,
由平面
平面 ABCD 知
平面 ABCD,
由
ൌ
知
,
以 O 为坐标原点,OC 所在的直线为 x 轴,OA 所在的直
线为 y 轴建立空间直角坐标系如图示,
则易得
2,
0,
0晦
,
0,
0,
1晦
,
0, 1,0晦
,
0,
1,
0晦
,
1,
1,
0晦
ൌ 1,1, 1晦
,
ൌ 2,0, 1晦
,
ൌ 0, 1, 1晦
,
设平面 PBC 的法向量为
ꀀ ൌ , , 晦
,
由
ꀀ ൌ 0
ꀀ ൌ 0
,得
香 ൌ 0
2 ൌ 0
,令
ൌ 1
得
ൌ 1
,
ൌ 2
,
ꀀ ൌ 1,1,2晦设二面角
大小为
,
则
㤮ൌ ൌ
ꀀ
ꀀ ൌ
1 2
2 ൌ
3
2
,
0
,
二面角
的大小
ൌ
2
3
.…………
9
分
(Ⅲ)解:假设点 M 存在,其坐标为
⸲,
y,
晦
,BM 与平面 PBC 所成的角为
,
则存在 ,有
ܯ ൌ
, 1,0
3
1
16
1sin 222
BMm
BMm
第
香
页,共
13
页
即
⸲, 1, 晦 ൌ 0, 1,1晦
,
ܯ 0,1 , 晦
,
则
ܯ ൌ 1, , 晦
,从而
化简得
310,1,0
在棱 PA 上满足题意的点 M 存在.…………
14
分
18.(本小题满分 15 分)
解:
Ⅰ
晦 1 ൌ 1
,
2 ൌ
1
2
,且
3 香 1晦
香2 2 香 2 1晦
1 ൌ 0
,
则
2 3 2 1 4 ൌ 0
,解得
3 ൌ 3
,…………
2
分
4 4 2 2 ൌ 0
,解得
4 ൌ
1
4
,
2 5 2 3 4 ൌ 0
,解得
5 ൌ 5
,
4 2 4 ൌ 0
,解得
ൌ
1
香
,………………
5
分
当 n 为奇数时,
香2 ൌ 香 2
,
ൌ
;
当 n 为偶数时,
香2 ൌ
1
2
,
ൌ
1
2 晦
2
.
即有
ൌ
,
为奇数
1
2 晦
2
,
为偶数
;……………
分
(Ⅱ)由于
2 1
为奇数,则
2 1 ൌ 2 1
,
由于 2n 为偶数,则
2 ൌ
1
2 晦
.
因此,
ൌ 2 1 2 ൌ 2 1晦
1
2 晦
.……………
10
分
ൌ 1
1
2 香 3
1
2 晦
2
香 5
1
2 晦
3
香
…
香 2 3晦
1
2 晦
1
香 2 1晦
1
2 晦
,
3-10,0162 解得
,
香1 ൌ 2
2
2
2 2 1香 2晦 2 2香1 ݔ2晦
2 2香1 ൌ
2ݔ2 2
×
4
2
2 2香1 晦
4 ݔ
2
ൌ 1 香
4⸲1⸲2
2
⸲1 香 ⸲2晦
2
ൌ 1 香
⸲1 ⸲2
2
ൌ 1 香 ܯ
不
分
12
①…………………
香1 .
2
2
ݔ
ꀀ ൌ
,得
1
2 2香1 ൌ
2 ݔ
2 2香1
ݔ
ꀀ
ൌ
直线 PQ 的斜率为
,
ܯ
,则
ൌ ܯ
由于
分
10
.…………………
香1 晦
2
2
ݔ
香1 ,
2
2
2 ݔ
所以,点 Q 的坐标为
,
香1
2
2
ݔ
2 香 ݔ ൌ
⸲1香⸲2
2 ൌ
1香 2
,
香1
2
2
2 ݔ
2 ൌ
⸲1香⸲2
则
设线段 MN 的中点为 Q,
分
香
…………………
,
香1
2
2
2
2
2ݔ
⸲1⸲2 ൌ
香1
2
2
4 ݔ
⸲1 香 ⸲2 ൌ
由韦达定理得
,
香 1
2
2
2
ݔ
,得
晦 0
2
香 1 ݔ
2
2晦 ൌ 香 2
2
香 1晦 2ݔ
2
4 2
2
ݔ
2
ൌ 1
.
2 ൌ 0
2
香 4 ݔ⸲ 香 2ݔ
2
香 1晦⸲
2
2
ൌ 1 ,消去 y 并整理得
2
2 香
2
ൌ ⸲ 香 ݔ⸲
将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立
,
⸲2, 2晦
、
⸲1, 1晦 ܯ
(Ⅱ)设点
分
5
;…………………
ൌ 1
2
2 香
2
⸲
因此,椭圆 C 的标准方程为
,
ൌ 1
2
2
ൌ
,则
ൌ 1
ൌ 2
所以,
分
2
,…………………
香 ൌ 2 香 1
椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为
,
2
2
ൌ
ൌ
,则
2 0晦
解:(Ⅰ)设椭圆 C 的焦距为
19.(本小题满分 16 分)
分
15
.………………
2
2香3
ൌ 3
化简可得,
分
13
,…………………
香1
2 晦
1
2 2 1晦
1
1
2 1晦
1
4 1
1
2 香 2
1
ൌ
,
香1
2 晦
1
2 1晦
2 晦
1
香
…
香
4
2 晦
1
香
3
2 晦
1
香
2
2 晦
1
2 香 2
1
2 ൌ 1
1
两式相减得
,
香1
2 晦
1
香 2 1晦
2 晦
1
香 2 3晦
…
香
4
2 晦
1
香 5
3
2 晦
1
香 3
2
2 晦
1
2 ൌ 1
1
页
13
页,共
9
第
,上单调递减
晦
∞
, 香
1
⸲
上单调递增,在
晦
1
⸲ 1,
在
⸲晦
,可得函数
1
⸲ ൌ
得
,解
쳌 ⸲晦 ൌ 0
时,由
0 1
,即
1
1
无零点,舍去.当
⸲晦
,此时函数
1 0
⸲晦 1晦 ൌ
上单调递减,
晦
∞
⸲ 1, 香
在
⸲晦
,函数
쳌 ⸲晦 0
,
1
1
0
时,
1
当
分
,…………………
⸲
1
⸲
쳌 ⸲晦 ൌ
时,
0
当
无零点,舍去.
⸲晦
此时函数
,
⸲晦 1晦 ൌ 1 0
上单调递增,
晦
∞
⸲ 1, 香
在
⸲晦
,函数
쳌 ⸲晦 0
时,
0
当
.
⸲
1 ⸲
⸲ ൌ
1
쳌 ⸲晦 ൌ
由
上有零点.
晦
∞
⸲ 1, 香
在
⸲晦 ൌ ⸲ ⸲ 香 1
由题意可得:函数
分
5
.…………………
⸲1 1
即
,
⸲1 ⸲2 1
.由
⸲2 ൌ 0
,解得
⸲2晦 ൌ 0
⸲2
⸲2晦 ൌ ⸲2
由
.
0晦 ൌ 1 0
⸲晦
的极小值点,可得
⸲晦
,可得 0是函数
1
⸲
⸲ . 쳌 ⸲晦 ൌ
,
⸲
⸲
⸲晦 ൌ
(Ⅱ)设
分
4
. …………………
ൌ 1
,
⸲0 ൌ 1
解得
.
⸲0 ൌ 0
,
⸲0 ൌ 2
1
的图象相切,
⸲晦
与函数
ൌ 2⸲
直线
分
2
.…………………
⸲0 晦⸲ 香 ⸲0
1
ൌ
即
,
⸲0 晦 ⸲ ⸲0晦
1
⸲0 ⸲0 香 1晦 ൌ
切线方程为:
.
⸲0
1
쳌 ⸲0晦 ൌ
.
⸲
1
쳌 ⸲晦 ൌ
,由
⸲0, ⸲0晦晦
解:(Ⅰ)设切点为
20.(本小题满分 16 分)
分
1
.…………………
2 晦
2
2 ,0晦 0,
2
因此,实数 m 的取值范围为
分
15
.…………………
2 晦
1
香1晦 0,
2
香2晦 2
2
2
1
ൌ
2
香1晦
2
2
2
ݔ
ൌ
2
ꀀ
,由①式得
香1晦
2
2
香1
2
2
ൌ
2
ݔ
得
页
13
页,共
10
第
第
11
页,共
13
页
⸲ ൌ
1
时,函数
⸲晦
取得极大值即最大值, ,
函数
⸲晦
在
⸲ 1,
1
晦
上无零点.…………………
9
分
由 .
令
ൌ ln4 2ln
4
香 1
,则
쳌 ൌ
2
香
4
2
ൌ
2 2
2
0
,
函数
晦
在
⸲ 0,1晦
上单调递增,
晦 1晦 ൌ 3 0
,
4
2 0
.
函数
⸲晦
在
⸲
1
, 香
∞
晦
上连续不断,存在唯一的零点.
⸲晦
在
⸲
1
, 香
∞
晦
上有零点.
综上可得:
0,1晦
.…………………
11
分
(Ⅲ)证明:当
ൌ 1
时,
⸲晦 ൌ ⸲ 香 ⸲ 香 1
,
令
䁨 ⸲晦 ൌ ⸲
2
香 ⸲晦 ⸲晦 ൌ ⸲
⸲
⸲ ⸲ 1
,
䁨쳌 ⸲晦 ൌ ⸲ 香 1晦
⸲
1
⸲ 1 ൌ
⸲香1
⸲ ⸲
⸲
1晦
.…………………
12
分
令
⸲晦 ൌ ⸲
⸲
1
,
⸲ 0
,则
쳌 ⸲晦 ൌ ⸲ 香 1晦
⸲
0
.
函数
⸲晦
在
⸲ 0, 香
∞
晦
上单调递增.
0晦 ൌ 1
,
1晦 ൌ 1 0
.
函数
⸲晦
在区间
0,1晦
上存在一个零点,即函数
⸲晦
在区间
0, 香
∞
晦
上存在唯一零点
⸲0 0,1晦
.
当
⸲ 0,⸲0晦
时,
⸲晦 0
,即
䁨쳌 ⸲晦 0
,此时函数
䁨 ⸲晦
单调递减;
当
⸲ ⸲0, 香
∞
晦
时,
⸲晦 0
,即
䁨쳌 ⸲晦 0
,此时函数
䁨 ⸲晦
单调递增.…………
14
分
䁨 ⸲晦ꀀ ൌ 䁨 ⸲0晦 ൌ ⸲0
⸲0
⸲0 ⸲0 1
,
由
⸲0晦 ൌ 0
可得:
⸲0
⸲0
ൌ 1
.
两边取对数可得:
⸲0 香 ⸲0 ൌ 0
.
故 F
⸲0晦 ൌ 1 ⸲0 香 ⸲0晦 1 ൌ 0
,
⸲
2
香 ⸲晦 ⸲晦 0
,即
⸲晦 ⸲晦 香 ⸲
2
.…………………
1
分
第
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