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- 2021-06-09 发布
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2.3 幂函数
整体设计
教学分析
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性:当幂指数α>0时,幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1),且在第一象限内函数单调递增;当幂指数α<0时,幂函数的图象都经过点(1,1),且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.
将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数:指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.
三维目标
1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.
2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.
3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.
教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1
1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?根据函数的定义可知,这里p是w的函数.
2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.
5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边指数式,且底数都是变量).
(适当引导:从自变量所处的位置这个角度)(引入新课,书写课题:幂函数).
思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数?
问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.
问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?
问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.
函数 性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
特殊点
图象分布
问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断?
问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?
活动:考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.
讨论结果:
①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.
②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:
一般地,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.
③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;
一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.
④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.
列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…
0
1
1.41
1.73
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=x3
…
-27
-8
-1
0
1
8
27
…
y=x-1
…
-
-1
1
…
描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.
图2-3-1
让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图象,完成表格.
函数 性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
单调性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
特殊点
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
图象分布
第Ⅰ、Ⅲ象限
第Ⅰ、Ⅱ象限
第Ⅰ、Ⅲ象限
第Ⅰ象限
第Ⅰ、Ⅲ象限
⑤第一象限一定有幂函数的图象;第四象限一定没有幂函数的图象;而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.
⑥幂函数y=xα的性质.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:1x=1);
(2)当α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).
特别地,当α>1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.
当0<α<1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.
(3)当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.
在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
应用示例
思路1
例1判断下列函数哪些是幂函数.
①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x.
活动:学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.
解:①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;
②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
④y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.
点评:判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
变式训练
判别下列函数中有几个幂函数?
①y=x;②y=2x2;③y=x;④y=x2+x;⑤y=-x3.
解:①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;
④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;
⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.
例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.
(1)y=x,(2)y=x,(3)y=x-2.
活动:学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.
解:(1)要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R.所以函数y=x的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x是偶函数,它在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数.
(2)要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R+,所以函数y=x的定义域是R+,
由于函数y=x的定义域不关于原点对称,所以函数y=x是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.
(3)要使函数y=x-2有意义,只需y=有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x-2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.
点评:在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域;当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.
例3证明幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数.
活动:学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.
证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.
证明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)===,
因为x1-x2<0,x1+x2>0,所以<0.
所以f(x1)0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.
点评:指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性;底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.
知能训练
1.下列函数中,是幂函数的是( )
A.y=2x B.y=2x3 C.y= D.y=2x
2.下列结论正确的是( )
A.幂函数的图象一定过原点 B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数
C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数 D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数
3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )
A.y=x3 B.y=x2 C.y= D.y=x
4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为.
答案:1.C 2.D 3.A 4.y=x
拓展提升
分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.
①y=x-1,y=x-2,y=x-3;②y=x,y=x;
③y=x,y=x2,y=x3;④y=x,y=x.
活动:学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.
解:利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3,图2-3-4、图2-3-5.
图2-3-2 图2-3-3
图2-3-4 图2-3-5
①观察图2-3-2得到:
函数y=x-1、y=x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
②观察图2-3-3得到:
函数y=x、y=x的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
③观察图2-3-4得到:
函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间[0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离y轴近.
④观察图2-3-5得到:
函数y=x、y=x的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间[0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近.
根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.
课堂小结
1.幂函数的概念.
2.幂函数的性质.
3.幂函数的性质的应用.
作业
课本P87习题2.3 1、2、3.
设计感想
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.
习题详解
(课本第79页习题2.3)
1.函数y=是幂函数.
2.解析:设幂函数的解析式为f(x)=xα,
因为点(2,)在图象上,所以=2α.
所以α=,即幂函数的解析式为f(x)=x,x≥0.
3.(1)因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r4;
(2)把r=3,v=400代入v=k·r4中,得k==,即v=r4;
(3)把r=5代入v=r4,得v=×54≈3 086(cm3/s),即r=5 cm时,该气体的流量速率为3 086 cm3/s.