高考文科数学复习备课课件：第二节　同角三角函数基本关系式与诱导公式 24页

文数 课标版 第二节　同角三角函数基本关系式与诱导公式   1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:①    sin2α+cos2α=1    . (2)商数关系:②     =tan α    . sin cos α α 教材研读 2.三角函数的诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=③    cos α    ,tan(α+2kπ)=tan α,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)=④　-sin α    ,cos(π+α)=⑤　-cos α    ,tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=⑥　-sin α    ,cos(-α)=⑦    cos α    ,tan(-α)=-tan α. 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=⑧　-cos α    ,tan(π-α)=-tan α. 公式五:sin  =⑨    cos α    ,cos  =⑩    sin α    . 公式六:sin  =      cos α    ,cos  =  　-sin α    .   2 α    2 α    2 α    2 α    判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.  (×) (2)若α∈R,则tan α=  恒成立.  (×) (3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.  (×) (4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶 是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化情况.  (√)     sin cos α α 2  1.sin(-600°)的值为  (　　) A. 　    B. 　    C.1　    D.  答案   A    sin(-600°)=sin(-720°+120°)=sin 120°= . 3 2 2 2 3 3 3 2 2.若cos α= ,α∈  ,则tan α等于  (　　) A.- 　    B. 　    C.-2  　    D.2  答案    C　由已知得sin α=-  =-  =-  ,∴tan α=  =-2  ,选C. 1 3 ,02     2 4 2 4 2 2 21 cos α 11 9  2 2 3 sin cos α α 2 3.已知tan α=- ,且α为第二象限角,则sin α的值为  (　　) A. 　    B.- 　    C. 　    D.-  答案    C　∵tan α=  =- , ∴cos α=- sin α, 又sin2α+cos2α=1, ∴sin2α+  sin2α=  sin2α=1, 又由α为第二象限角知sin α>0, ∴sin α= ,故选C. 5 12 1 5 1 15 5 13 5 13 sin cos α α 5 12 12 5 144 25 169 25 5 13 4.已知tan α=2,则  的值为　　　    . 答案     解析　∵tan α=2, ∴  =  =  = . sin cos sin cos α α α α   1 3 sin cos sin cos α α α α   sin cos cos cos sin cos cos cos α α α α α α α α   tan 1 tan 1 α α   1 3 5.已知sin θ+cos θ= ,θ∈  ,则sin θ-cos θ的值为　　　    . 答案　-  解析　由题意知(sin θ+cos θ)2= ,∴1+2sin θcos θ= , 4 3 0, 4      2 3 16 9 16 9 ∴2sin θcos θ= ,∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1- = ,可得sin θ-cos θ=±  .又∵θ∈  ,∴sin θ0,cos α<0,∴sin α-cos α>0. ∴sin α-cos α= . 24 25 49 25 12 25 7 5 ∵tan α=- , ∴  =  =  =- . 4 3 2 2 1 cos sinα α 2 2 tan 1 1 tan α α   2 2 4 13 41 3           25 7 由  得  ∴tan α=- . (2)  =  =  =  . 1sin cos ,5 7sin cos ,5 α α α α       4sin ,5 3cos ,5 α α      4 3 2 2 1 cos sinα α 2 2 2 2 sin cos cos sin α α α α   2 2 2 2 2 2 sin cos cos cos sin cos α α α α α α   2 2 tan 1 1 tan α α   规律总结 (1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用  =tan α 可以实现角α的弦切互化. (2)对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2= 1±2sin αcos α,可以知一求二. (3)注意对sin2α+cos2α=1的逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α, cos2α=1-sin2α. sin cos α α 变式1-1　保持本例条件不变,求: (1)  的值; (2)sin2α+2sin αcos α的值. 解析    tan α=- ,则: (1)  =  =  = . (2)sin2α+2sin αcos α=  =  =  =- . sin 4cos 5sin 2cos α α α α   4 3 sin 4cos 5sin 2cos α α α α   tan 4 5tan 2 α α   4 43 45 23         8 7 2 2 2 sin 2sin cos sin cos α α α α α   2 2 tan 2tan tan 1 α α α   16 8 9 3 16 19   8 25 1-2   (2016江苏南京模拟)已知α为第二象限角,则cos α  + sin α =　　　    . 答案　0 解析　原式=cos α  +sin α  =cos α·  +sin α·   , 因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0, 所以cos α·  +sin α·  =-1+1=0,即原式等于0. 21 tan α 2 11 tan α  2 2 2 sin cos cos α α α  2 2 2 sin cos sin α α α  1 | cos |α 1 | sin |α 1 | cos |α 1 | sin |α 考点二　三角函数的诱导公式 典例2　(1)若sin α是方程5x2-7x-6=0的根,则   =  (　　) A. 　    B. 　    C. 　    D.  (2)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)sin(-1 050°)=　　　    . 23 3sin sin tan (2 )2 2 cos cos sin( )2 2 α α α α α α                                3 5 5 3 4 5 5 4 解析　(1)方程5x2-7x-6=0的两根为x1=- ,x2=2, 则sin α=- , 所以原式=  =-  = . (2)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050° =-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+ 330°) =-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330° =-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30° = × + × =1. 3 5 3 5 2cos ( cos )tan sin ( sin )( sin ) α α α α α α    1 sin α 5 3 3 2 3 2 1 2 1 2 答案　(1)B　(2)1 1.巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的具有互余关系的角有 -α 与 +α, +α与 -α, +α与 -α等,常见的具有互补关系的角有 +θ与  -θ, +θ与 -θ等. 3  6  3  6  4  4  3  2 3  4  3 4  规律总结 2.用诱导公式化简求值,应遵循: (1)“负化正”,运用诱导公式将负角的三角函数化为正角的三角函数. (2)“大化小”,利用诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360° 的角的三角函数. (3)“小化锐”,将大于90°的角的三角函数化为0°到90°的角的三角函 数. (4)“锐求值”,得到0°到90°的角的三角函数后,若是特殊角,则可直接求 得,若是非特殊角,则可由计算器求得. 2-1　若cos  =- ,则sin  =　　　    . 答案      解析　∵cos  =- ,  -  = ,即α- =  - , ∴sin  =sin  =-sin  =-cos  = . 3 α    1 3 6α     1 3 3 α    1 3 3 α    6α     2  6  3 α    2  6α     3 2α         2 3 α         3 α    1 3 2-2　已知cos  = ,则cos  -sin2  的值为　　　    . 答案　-  解析　因为cos  =cos  =-cos  =- , sin2  =sin2  =sin2  =1-cos2  =1-  = , 所以cos  -sin2  =- - =-  . 6 α    3 3 5 6 α    6α     2 3 3  5 6 α    6 α        6 α    3 3 6α     6 α        6 α    6 α    2 3 3       2 3 5 6 α    6α     3 3 2 3 2 3 3  考点三　三角函数式的化简与求值 典例3　(1)已知A=  +  (k∈Z),则A的值构成的集合是   (　　) A.{1,-1,2,-2}　    B.{-1,1} C.{2,-2}　            D.{1,-1,0,2,-2} (2)  =　　　    . 答案　(1)C　(2)-1 解析　(1)当k为偶数时,A=  +  =2; 当k为奇数时,A=  -  =-2. sin( ) sin k α α   cos( ) cos k α α   3tan( )cos(2 )sin 2 cos( 3 )sin( 3 ) α α α α α               sin sin α α cos cos α α sin sin α α  cos cos α α ∴A的值构成的集合是{2,-2}. (2)原式=  =  =  =-  =-  ·  =-1. tan cos sin 2 2 cos(3 )[ sin(3 )] α α α α α                tan cos sin 2 ( cos )sin α α α α α      tan cos cos ( cos )sin α α α α α tan cos sin α α α sin cos α α cos sin α α 方法技巧 1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 任意负角的三角函数  任意正角的三角函数  0°到360° 的角的三角函数  锐角三角函数 也就是:“负化正,大化小,化到锐角就好了”. 2.利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形; (2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要 求出值. 3-1　若f(α)=  (k∈Z),则f(2 017)=　　　    . 答案　-1 解析　①当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),原式=   =  =-1; ②当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),原式=  =  =-1. 综上所述,当k∈Z时, f(α)=-1,故f(2 017)=-1. sin[( 1) ] cos[( 1) ] sin( ) cos( ) k α k α k α k α             sin(2 ) cos(2 ) sin( ) cos n α n α α α           sin( ) cos( ) sin cos α α α α       sin[(2 2) ] cos[(2 2) ] sin[(2 1) ] cos[(2 1) ] n α n α n α n α               sin cos( ) sin( ) cos( ) α α α α       3-2　已知α为第三象限角, f(α)=  . (1)化简f(α); (2)若cos  = ,求f(α)的值. 解析　(1)f(α)=  =  =-cos α. (2)∵cos  = ,∴-sin α= ,从而sin α=- . 又α为第三象限角,∴cos α=-  =-  , 3sin cos tan( )2 2 tan( ) sin( ) α α α α α                         3 2α     1 5 3sin cos tan( )2 2 tan( ) sin( ) α α α α α                         ( cos ) sin ( tan ) ( tan ) sin α α α α α       3 2α     1 5 1 5 1 5 21 sin α 2 6 5 ∴f(α)=  .2 6 5