【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-4合情推理与演绎推理作业 7页

课时跟踪检测(四十)　合情推理与演绎推理 一、题点全面练 ‎1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)‎ A．121　　　　　 　　　　 B．123‎ C．231 D．211‎ 解析：选B　令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.‎ ‎2．(2019·柳州模拟)给出以下数对序列：‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)(2,1)‎ ‎(1,3)(2,2)(3,1)‎ ‎(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)‎ ‎……‎ 记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝(　　)‎ A．(m，n－m) B．(m－1，n－m)‎ C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m＋1)‎ 解析：选D　由前4行的特点，归纳可得，若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．故选D.‎ ‎3．(2018·莆田质检)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸这十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥这十二符号叫地支．如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为(　　)‎ A．乙丑年 B．丙寅年 C．丁卯年 D．戊辰年 解析：选C　记公元1984年为第一年，则公元2047年为第64年，即天干循环了六次，第四个为“丁”．地支循环了五次，第四个为“卯”，所以公元2047年农历为丁卯年，故选C.‎ ‎4．若a，b，c∈R，下列使用类比推理得到的结论正确的是(　　)‎ A．“若a·2＝b·2，则a＝b”类比推出“若a·c＝b·c，则a＝b”‎ B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”‎ C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”‎ D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn(n∈N*)”‎ 解析：选C　对于A，“若a·2＝b·2，则a＝b”类比推出“若a·c＝b·c，则a＝b”，不正确，比如c＝0，则a，b不一定相等，故A错；‎ 对于B，“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”，而(a·b)c＝ac·b＝a·bc，故B错；‎ 对于C，“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”，故C正确；‎ 对于D，由“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn(n∈N*)”，当n＝2时，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，故D错．‎ ‎5．(2018·南充二模)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是(　　)‎ A．今天是周六 B．今天是周四 C．A车周三限行 D．C车周五限行 解析：选B　因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二，也不是周六，所以今天是周四，故选B.‎ ‎6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照图中的规律，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为________．‎ 解析：由题意知，第1个图中有8根火柴棒，第2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，……，依此类推，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2.‎ 答案：6n＋2‎ ‎7．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．‎ 解析：由题意知，凸函数满足 ≤f，‎ 又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，‎ 则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.‎ 答案： ‎8．(2019·襄阳优质高中联考)将三项式(x2＋x＋1)n展开，当n＝0,1,2,3，…时，得到以下等式：‎ ‎(x2＋x＋1)0＝1，‎ ‎(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，‎ ‎(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，‎ ‎(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，‎ ‎……‎ 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，第k行共有2k＋1个数，若(x2＋x＋1)5(1＋ax)的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为________．‎ 广义杨辉三角 ‎　第0行　　　　　　　1‎ ‎　第1行　　　　　 1 1　1‎ ‎　第2行　　　　1　2 3　2　1‎ ‎　第3行　　 1　3　6 7　6　3　1‎ ‎　第4行　1　4 10 16 19 1610 4　1‎ ‎　　　　　　　　　　 ……‎ 解析：根据题意可得广义杨辉三角第5行为：‎ ‎1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1，‎ 故(1＋ax)(x2＋x＋1)5的展开式中，x7项的系数为30＋45a＝75，解得a＝1.‎ 答案：1‎ ‎9．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．‎ 解：f(0)＋f(1)＝＋ ‎＝＋＝＋＝，‎ 同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝，‎ 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.‎ 归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝.‎ 证明：设x1＋x2＝1，‎ f(x1)＋f(x2)＝＋ ‎＝＝ ‎＝＝＝.‎ ‎10．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：‎ ＋＋＝＋＋＝＝1.‎ 请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．‎ 解：在四面体ABCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．‎ 则＋＋＋＝1.‎ 证明：在四面体OBCD与ABCD中，＝＝＝.‎ 同理有＝；＝；＝.‎ 故＋＋＋ ‎＝＝＝1.‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．(2019·安徽“江淮十校”联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”‎ 即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　设1＋＝x，则1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x1＝，x2＝(舍去)．故1＋＝，故选C.‎ ‎2．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相同，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6 613用算筹表示就是，则9 117用算筹可表示为(　　)‎ 解析：选A　由定义知：千位“9”为横式；百位“1”为纵式；十位“1”为横式；个位“7”为纵式.故选A.‎ ‎3．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)‎ A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 解析：选B　分析可知每次取出的两个球有4种情况，“红红”“红黑”“黑红”“‎ 黑黑”，由于红球个数等于黑球个数，所以取“红红”的次数等于取“黑黑”的次数，取“红红”时乙盒放入一个红球，取“黑黑”时丙盒放入一个黑球，取“红黑”或“黑红”时乙盒中红球与丙盒中黑球数量不变，所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．‎ ‎4．(2019·沈阳模拟)“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是________．‎ 解析：从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，…，即第n行从右到左的公差为2n－1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21，20＝5×22,48＝6×23，…，所以从右到左第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2.显然第2 019行只有一个数，其值为(2 019＋1)×22 019－2＝2 020×22 017.‎ 答案：2 020×22 017‎ ‎(二)素养专练——学会更学通 ‎5．[直观想象]我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为(　　)‎ A．f(n)＝2n－1 B．f(n)＝2n2‎ C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1‎ 解析：选D　因为f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.‎ ‎6．[逻辑推理]对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，‎ ‎(1)求函数f(x)的对称中心；‎ ‎(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f.‎ 解：(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，‎ 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.‎ f＝×3－×2＋3×－＝1.‎ 由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.‎ ‎(2)由(1)知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，‎ 所以f＋f＝2，‎ 即f(x)＋f(1－x)＝2.‎ 故f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ ‎…，‎ f＋f＝2.‎ 所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 018＝2 018.‎