广东省佛山市禅城区2020届高三上学期统一调研测试（二）数学（理）试题 Word版含解析 21页

www.ks5u.com 禅城区2020届高三统一调研测试（二）‎ 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12分，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的(　　)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．‎ ‎【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，‎ ‎∴，‎ 则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎2.设集合，，则(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数值域的求解可得到集合和集合，由交集定义可得到结果.‎ ‎【详解】，‎ 本题正确选项：‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎3.函数的大致图象是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性及取特殊值，进行排除即可得答案.‎ ‎【详解】由题意得，函数，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C、D，‎ 又由当时，，故排除B，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值进行排除求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎4.已知等边内接于，为线段的中点，则=(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．‎ ‎【详解】解：如图所示，‎ 设BC中点为E，则 ‎（）•．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．‎ ‎5.已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记事件该元件使用寿命超过年，记事件该元件使用寿命超过年，计算出和，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为.‎ ‎【详解】记事件该元件使用寿命超过年，记事件该元件使用寿命超过年，‎ 则，，‎ 因此，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为，故选A.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.‎ ‎6.若在上是增函数，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．‎ ‎【详解】解：若f（x）＝sinxcosx＝2（sinxcosx）＝2sin（x） 在[﹣m，m]（m＞0）上是增函数，‎ ‎∴﹣m，且m．‎ 求得 m，且 m，∴m，故m的最大值为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7.已知，是两个相互垂直的单位向量，且，，则（ ）‎ A. ． B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，结合向量数量积的定义，化简计算可得所求值．‎ ‎【详解】解：是两个相互垂直的单位向量，可得•0，||＝||＝1，‎ 因为是相互垂直的，所以得与，的夹角α，β的和或差为90°，‎ 由，，‎ - 21 -‎ 可得||cosα，||cosβ＝1，由cos2α+cos2β＝1，‎ 可得||2＝4，‎ 则2＝||2+||2+2•1+4+2＝7，‎ 即．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，以及垂直的性质和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎8.设实数，满足约束条件则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：画出约束条件所表示的可行域，如图，，由可行域知的最大值是，最小值为到直线的距离的平方为，故选A.‎ 考点:利用可行域求目标函数的最值.‎ ‎9.在中，角，，的对边分别为，，，若，则为（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 - 21 -‎ C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 余弦定理得代入原式得 解得 则形状为等腰或直角三角形,选D.‎ 点睛：判断三角形形状方法 ‎①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎10.的展开式中的常数项为（ ）.‎ A. 32 B. 90 C. 140 D. 141‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将原式写成：，再用二项式定理将该式展开，根据常数项的特征，得出常数项为：，最后求出其值即可．‎ ‎【详解】解：‎ ‎，‎ 上式共有7项，其中第一，三，五，七项存在常数项，‎ 因此，这四项的常数项之和即为原式的常数项，‎ 且各项的常数项如下：‎ - 21 -‎ ‎，‎ 即的常数项为，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理及其应用，涉及二项式系数的性质和常数项的确定，以及组合数的运算，属于中档题．‎ ‎11.设奇函数在R上存在导数，且在上，若，则实数m取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造辅助函数，由是奇函数，，可知是奇函数，求导判断的单调性，，即，解得的取值范围．‎ ‎【详解】解：令，‎ ‎，‎ 函数为奇函数，‎ 时，‎ ‎，‎ 函数在为减函数，‎ 又由题可知，，，‎ - 21 -‎ 所以函数在上为减函数，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查判断函数的奇偶性、利用导数法求函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎12.若不等式有且仅有两个正整数解，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式有且仅有两个正整数解等价于有且仅有两个正整数解，令，，则问题转化为函数 的图像有两个交点．‎ ‎【详解】由题得，，∴不等式有且仅有两个正整数解等价于有且仅有两个正整数解.记，∴函数的图象是过定点的直线.又记，∴，令，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，如图所示，‎ - 21 -‎ 要使有且仅有两个正整数解，数形结合可知，只需满足，即.故选A.‎ ‎【点睛】含参的不等式可转化为函数问题，解本题的关键是能构造函数 ， 利用导函数解决，属于难题．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.设等差数列的前项和为，且,则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：设等差数列{an}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．‎ 详解：设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．‎ 则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.‎ 点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.‎ ‎14.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设，，，，，六门选修课程，学校规定每个学生必须从这门课程中选门，且，两门课程至少要选门，则学生甲共有__________种不同的选法.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 本道题先计算总体个数，然后计算A,B都不选的个数，相减，即可．‎ ‎【详解】总体种数有，A,B都不选的个数有，所以一共有16种．‎ ‎【点睛】本道题考查了排列组合问题，难度中等．‎ ‎15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可．‎ ‎【详解】，‎ 所以 ‎【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等．‎ ‎16.已知是函数在内的两个零点，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：由于函数f(x)的两点零点是，，所以，由和差化积公式，可得，再由，可解．‎ 详解：由，是函数在内的两个零点，可得：‎ ‎，即为：，‎ - 21 -‎ 即有，‎ 由，可得，可得，‎ 又，可得，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 点睛：本题考查三角函数零点和的三角函数值问题，关键在于转化零点问题与怎么化简方程问题．‎ 三、解答题：第17~22题为解答题，共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图所示，在平面四边形中，与为其对角线，已知，且．‎ ‎（1）若平分，且，求的长；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【答案】（1）（2）5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由对角线平分，求得，进而得到，‎ 在中，利用余弦定理，即可求得的长.‎ ‎（2）根据三角恒等变换的公式，求得，再在中，由正弦定理，即可求解．‎ - 21 -‎ ‎【详解】（1）若对角线平分，即，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵在中，，，‎ ‎∴由余弦定理可得：‎ ‎，解得，或（舍去），‎ ‎∴的长为.‎ ‎（2）∵，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ ‎∴在中，由正弦定理，‎ 可得，即的长为5.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.‎ ‎18.在公差d的等差数列中，，，，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，，成等比数列，求数列的前n项和.‎ - 21 -‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，或，，再由等差数列的通项公式可得所求；‎ ‎（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求，求得，再由裂项相消求和即可得解．‎ ‎【详解】解：（1）∵，，，且，∴或 当时，；当时，. ‎ ‎（2）∵，，成等比数列，∴‎ 即，化为或，‎ 由（1）可得，，‎ ‎∴，‎ 则，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎19.设函数，其中.已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) .‎ - 21 -‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到 由题设知及可得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 从而 根据得到，进一步求最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以 由题设知，‎ 所以，.‎ 故，，又，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以.‎ 因为，‎ 所以，‎ 当，‎ - 21 -‎ 即时，取得最小值.‎ ‎【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.‎ ‎20.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于不同的两点A，B.‎ ‎（1）求曲线C的参数方程；‎ ‎（2）若点P为直线与x轴的交点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系和三角函数关系式的恒等变变换的应用求出结果．‎ ‎【详解】解：（1）等价于，‎ 将，代入上式，‎ 可得曲线C的直角坐标方程为，即，‎ 所以曲线C参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）将代入曲线C的直角坐标方程，整理得；，‎ 由题意得，故，又，∴，‎ - 21 -‎ 设方程的两个实根分别为，，则，，‎ 所以与同号，由参数的几何意义，可得 ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎21.为发挥体育咋核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学生已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生抽取了100人进行调查.‎ 班 级 一（1） ‎ 一（2） ‎ 一（3） ‎ 一（4） ‎ 一（5） ‎ 一（6） ‎ 一（7） ‎ 一（8） ‎ 一（9） ‎ 一（10） ‎ 市级比赛 获奖人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ 市级以上比 赛获奖人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（1）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中最忌抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率；‎ - 21 -‎ ‎（2）该研究性学习小组在调查发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级以上游泳比赛中获奖，如上表所示，若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查.记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用互斥事件的概率公式计算所求事件的概率值；‎ ‎（2）由题意知随机变量的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．‎ ‎【详解】解：（1）记事件从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有i人有兴趣，，‎ 则从这6名学生中随机抽取的3人中至少有2人有兴趣，且与互斥.‎ ‎∴所求概率 ‎（2）由题意，可知所有可能取值有0， 1，2，3.‎ ‎，，，.‎ 所以的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，属于中档题．‎ ‎22.已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，证明：对；‎ ‎（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；‎ ‎（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值．‎ ‎【详解】(1)当时，，于是，.‎ 又因为，当时，且.‎ 故当时，，即. ‎ 所以，函数为上的增函数，于是，.‎ 因此，对，；‎ ‎(2) 方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点，‎ ‎①当时，为上的增函数，‎ 注意到，，‎ 所以，存在唯一实数，使得成立. ‎ 于是，当时，，为上的减函数；‎ - 21 -‎ 当时，，为上的增函数；‎ 所以为函数的极小值点； ‎ ‎②当时，在上成立，‎ 所以在上单调递增，所以在上没有极值；‎ ‎③当时，在上成立，‎ 所以在上单调递减，所以在上没有极值， ‎ 综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.‎ 方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点.‎ 即在上存在零点. ‎ 设，，则由单调性的性质可得为上的减函数.‎ 即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点.‎ 下面证明，当时，函数在上存在极值.‎ 事实上，当时，为上的增函数，‎ 注意到，，所以，存在唯一实数，‎ - 21 -‎ 使得成立.于是，当时，，为上的减函数；‎ 当时，，为上的增函数；‎ 即为函数的极小值点.‎ 综上所述，当时，函数在上存在极值.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题．‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎