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- 2021-06-09 发布
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陕西省咸阳市实验中学2019-2020学年高一下学期
第二次月考数学试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).
1.+sin30=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】+sin30,
,
.
故选:B
2.已知平行四边形中,向量,,则向量的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由平面向量加法的平行四边形法则可得.
故选:D.
3.下列各式化简正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为,故A错误;
,故B正确;
,故C错误;
,故D错误.故选:B.
4.下列命题正确的是( )
A. 单位向量都相等
B. 若与共线,与共线,则与共线
C. 若,则
D. 若与都是单位向量,则
【答案】C
【解析】A,向量有大小、方向两个属性,向量的相等指的是大小相等方向相同,故不对;
B,B选项对三个非零向量是正确的,若是零向量,是非零向量时,显然与共线, 与共线,则与共线不一定成立.故选项B错误;
C,由题得,所以,故C选项是正确的.
D,若与都是单位向量,则不一定成立,当两者垂直时,数量积为零.所以选项D错误.
故选:C.
5.若向量,,则( )
A. B. C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】由题意,向量,,
则,
所以.
故选:D.
6.在中,是的中点,,若,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】.
故选:.
7.工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为,外圆半径为,内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为( ).
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意,由扇形的面积公式可得:
制作这样一面扇面需要的布料为.
故选:B.
8.函数的图像( )
A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
【答案】B
【解析】令,得,
所以对称点为.
当,为,故B正确;
令,则对称轴为,
因此直线和均不是函数的对称轴.
故选B
9.将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数,则的单调递增区间为( )
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
【答案】C
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数:
,
令,
解得,
所以的单调递增区间为,,.
故选:C
10.函数的图象如图所示,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据图象可得,,即,
根据,,得,
∴,
又的图象过点,∴,
即,,∴,,
又因,∴,
∴,.
故选:B
11.已知函数在区间上单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数在区间上单调递增,
当时,,
当时,,
由于函数在区间上单调递增,
所以,,解得,
,所以,,因此,的取值范围是.
故选:A.
12.已知A,B是半径为的⊙O上的两个点,·=1,⊙O所在平面上有一点C满足|+|=1,则||的最大值为( )
A. +1 B. +1
C. 2+1 D. +1
【答案】A
【解析】依题意,得:,
因为,
所以,=1,得:,
以O为原点建立如下图所示的平面直角坐标系,
设A(,),则B(,)
或B(,)
设C(x,y),
当B(,)时,
则=(+-x,+-y)
由|+|=1,
得:=1,
即点C在1为半径的圆上,
A(,)到圆心的距离为:=
||的最大值为+1
当B(,)时,结论一样.
故选A
二.填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.求使得成立的的集合________.
【答案】
【解析】作出余弦函数的图象如下图所示:
由图象可知,使得不等式成立的的集合为.
故答案为:.
14.已知向量(m,3),(m,m﹣1).若//.则m=_____.
【答案】2
【解析】由于//,所以,即,.
故答案为:
15.已知,则向量在上的射影为_____________.
【答案】
【解析】因为在上的射影为(为的夹角),
又,所以,
即在上的射影为-3.故答案为:-3.
16.关于函数有下述四个结论:
①是偶函数;②在区间单调递增;
③在有4个零点;④的最大值为2;
其中所有正确结论的编号是_________.
【答案】①④
【解析】∵,定义域为R,
∴,
∴函数是偶函数,故①对;
当时,,
∴由正弦函数的单调性可知,函数在区间上单调递减,故②错;
当时,由得,,
根据偶函数的图象和性质可得,在上有1个零点 ,
∴在有3个零点,故③错;
当时,,
根据奇偶性可得函数的图象如图,
∴当时,函数有最大值,故④对;
故答案为:①④.
三.解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知角的始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆的交点为,求的值.
解:终边与单位圆的交点为,则.
原式.
18.已知,且.
求:(1);
(2).
解:(1),,故.
(2),故.
19.已知向量,,.
(1)若,求实数,的值;
(2)若,求与的夹角的余弦值.
解:(1)由,得,
即,解得.
(2),.
因为,所以,即.
令,
则.
20.已知函数.
(1)求的最大值和最小值;
(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
解:(1)∵,∴,
∴,
∴,
故的最大值为3,最小值为2;
(2)由(1)知,当时,,
要使在上恒成立,
只需,解得,
∴实数的取值范围是.
21.在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.
(Ⅰ)当时,
(i)求的值;
(ⅱ)若,求的值;
(Ⅱ)求的最小值.
解:以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)当时,
(i),,
因此;
(ⅱ)设,即点P坐标为,
则,,
当时,,即;
(Ⅱ)设、,又
则,
,当时取到等号,
因此的最小值为5
22.已知函数,(其中,,)的图象与轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最高点为.
(1)求的解析式;
(2)先把函数的图象向左平移个单位长度,然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,试写出函数的解析式.
(3)在(2)的条件下,若存在,使得不等式成立,求实数的最小值.
解:(1)∵,
∴,解得;
又函数图象上一个最高点为,
∴,,
∴,又,
∴,
∴;
(2)把函数的图象向左平移个单位长度,
得到的图象,
然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到函数的图象,
即;
(3)∵,
∴,,
依题意知,,
∴,即实数的最小值为.