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- 2021-06-09 发布
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4．1圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
圆的标准方程
[提出问题]
“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高．
问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？
提示：一样．圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径．
问题2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？
提示： ＝.
问题3：以(1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系？
提示： ＝3.
[导入新知]
圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
[化解疑难]
1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．
2．几种特殊位置的圆的标准方程：
条件
圆的标准方程
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点
x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
点与圆的位置关系
[提出问题]
爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜，如图A，B，C分别是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列问题：
问题1：点与圆的位置关系有几种？
提示：三种．点在圆外、圆上、圆内．
问题2：如何判断他们的胜负？
提示：利用点与圆心的距离．
[导入新知]
点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
│MA│＝r⇔点M在圆A上
点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
│MA│r⇔点M在圆A外
点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
[化解疑难]
1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外．
2．判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．
求圆的标准方程
[例1] 过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
[解析] 法一：设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知条件知
解此方程组，得
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过A，B两点，
∴|CA|＝|CB|.
∴
＝，
解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由得
即圆心为(1,1)，圆的半径为＝
2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
[答案] C
[类题通法]
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如解法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如解法二、三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
[活学活用]
1．求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；
(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(3)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
解：(1)圆的半径长r＝ ＝，
故圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
解得b＝0或b＝－8，则圆心为(0,0)或(0，－8)．
又∵半径r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)直线CD的斜率kCD＝＝1，
线段CD中点E的坐标为(0,2)，
故线段CD的垂直平分线的方程为
y－2＝－x，即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝2，
即圆心为(2,0)．由两点间的距离公式，
得r＝ ＝.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
点与圆的位置关系
[例2] 如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．
(1)求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[解] (1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝＝5，b＝＝6.
又由两点间的距离公式得
r＝|CP1|＝ ＝，
故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.
(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：
|CM|＝ ＝；
|CN|＝ ＝＞；
|CQ|＝ ＝3＜.
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
[类题通法]
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
[活学活用]
2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1
解析：选A 由于点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1.
[典例] 已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
[解] 法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，
∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，
|OC|＝
＝ ＝3.
设点C坐标为(a,0)，
则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋
y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝
25.
∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，
∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
[易错防范]
1．若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心在x轴负半轴的情况而导致出错．
2．借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就要考虑到几何图形的各种情况．
[成功破障]
圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为________．
解析：结合题意可知，圆心在直线y＝－3上，又圆心在直线2x－y－7＝0上，故圆心坐标是(2，－3)，从而r2＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
[随堂即时演练]
1．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是( )
A．(1，) B．(－1，)
C．(1，－) D．(－1，－)
答案：C
2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
解析：选A ∵m2＋25＞24，
∴点P在圆外．
3．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
解析：∵P点在圆x2＋y2＝m2上，
∴(－1)2＋()2＝4＝m2，
∴m＝±2.
答案：±2
4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．
解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋y2＝4
5．求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
将点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)代入上式得
解此方程组，得
所以，△ABC的外接圆方程是(x－4)2＋(y－1)2＝5.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为( )
A．在圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
解析：选C ∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，
∴点P在圆内．
2．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径是( )
A．(1，－2)，4 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(－1,2)，2
答案：D
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A 法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
＝1，解得b＝2，
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
法二(数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择项，排除B、D，又由于圆心在y轴上，排除C，选A.
4．(2012·福建六校联考)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析：选D 圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
解析：选C 直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.
由得，∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
二、填空题
6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
解析：由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
7．(2012·嘉兴高一检测)点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．
解析：由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26，
即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.
答案：0≤a＜1
8．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．
解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离为＝，解得a＝－5，a＝5(舍去)，
∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x＋5)2＋y2＝5.
答案：(x＋5)2＋y2＝5
三、解答题
9．求经过A(－1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．
解：法一：设圆心坐标为(a，b)．
∵圆心在y轴上，∴a＝0.
设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆过A，B两点，
∴解得
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
法二：∵线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
由解得∴点(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间的距离公式，得圆的半径r＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
10．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．
解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，①
而r＝，
代入①，得(a－1)2＋16＝，
解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4.
故所求圆为(x－3)2＋(y－6)2＝20，或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
4．1.2 圆的一般方程
[提出问题]
已知圆心(2,3)，半径为2.
问题1：写出圆的标准方程．
提示：(x－2)2＋(y－3)2＝4.
问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？
提示：可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0.
问题3：方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？
提示：配方化为(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圆．
问题4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？
提示：不一定．
[导入新知]
(1)圆的一般方程的概念：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为 .
[化解疑难]
1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：
(1)x2、y2的系数相等且不为0；
(2)没有xy项．
2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点(－，－)
D2＋E2－4F>0
表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆
圆的一般方程的概念辨析
[例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，
求(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解] (1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，
故m的取值范围为(－∞，)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
[类题通法]
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
①由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
[活学活用]
1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程(1)不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a,0)．
(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程(3)表示圆，它的圆心为(－，)，
半径r＝ ＝|a|.
圆的一般方程的求法
[例2] 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[解] 法一：设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
[类题通法]
应用待定系数法求圆的方程时：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
[活学活用]
2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为.
∵圆与x＋3y－26＝0相切，∴·＝－1，即E－3D－36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，
∴2D＋4E－F－20＝0，②8D＋6E＋F＋100＝0.③联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
代入法求轨迹方程
[例3] 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
[解] 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴ ①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9. ②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
[类题通法]
用代入法求轨迹方程的一般步骤
[活学活用]
3．(2013·嘉峪关高一检测)过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为________________．
解析：设点P的坐标为(x，y)，点B为(x1，y1)，由题意，结合中点坐标公式可得x1＝2x－8，y1＝2y，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，化简得(x－4)2＋y2＝1，即为所求．
答案：(x－4)2＋y2＝1
[典例] (12分)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．
[解题流程]
画出图形，结合圆的弦的中点的性质，由AP⊥OP建立关系求解．
设动点P的坐标(x，y)―→由AP⊥OP―→讨论AP垂直于x轴情形―→列kAP·kOP＝－1的关系式―→检验―→得出结论
[规范解答]
设动点P的坐标为(x，y)，根据题意可知AP⊥OP.(2分)
当AP垂直于x轴时，P的坐标为(1,0)，此时x＝1；(3分)
当x＝0时，y＝0；(4分)
当x≠0，且x≠1时，有kAP·kOP＝－1，(5分)
∵kAP＝，kOP＝，(6分)
∴·＝－1，即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)．(8分)
经检验，点(1,0)，(0,0)适合上式．(10分)
综上所述，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．(12分)
[名师批注]
AP垂直于x轴时及x＝0时容易漏掉.
检验步骤不可少
[活学活用]
一动点M到点A(－4,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹．
解：设动点M的坐标为(x，y)，
则|MA|＝2|MB|，
即＝2，
整理得x2＋y2－8x＝0，即所求动点的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.
[随堂即时演练]
1．(2011·四川高考)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：选D 圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心(2，－3)，选D.
2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－，＋∞)
解析：选A 方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．
3．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a＝________，b＝________，c＝________.
解析：∵∴
答案：－2,4,4
4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)是轨迹上任一点，
圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，
则|PA|2＋1＝|PB|2，
∴(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
5．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心相同的圆的方程．
解：设所求的圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心为(3,4)，依题意得
解此方程组，可得
∴所求圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.
[课时达标检测]
一、选择题
1．(2011·安徽高考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：选B ∵圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，
∴3x＋y＋a过点(－1,2)，
即－3＋2＋a＝0，
∴a＝1.
2．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝32
B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16
D．x2＋(y－1)2＝16
解析：选B 设M(x，y)，则M满足＝2，整理得x2＋y2＝16.
3．方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示的图形是( )
A．一个圆
B．只有当a＝0时，才能表示一个圆
C．一个点
D．a，b不全为0时，才能表示一个圆
解析：选D (2a)2＋4b2＝4(a2＋b2)，
当a＝b＝0时，方程表示一个点；
当ab≠0时方程表示一个圆．
4．如果圆x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么( )
A．a＝0，b≠0，c≠0 B．b＝c＝0，a≠0
C．a＝c＝0，b≠0 D．a＝b＝0，c≠0
解析：选B 符合条件的圆方程为(x＋)2＋y2＝，
即x2＋y2＋ax＝0.
∴b＝0，a≠0，c＝0.
5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B 设动点轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，
知 ＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.
二、填空题
6．若x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是____________________．
解析：∵(λ－1)2＋(2λ)2－4λ＞0，
即5λ2－6λ＋1＞0，
∴λ∈∪(1，＋∞)．
答案：∪(1，＋∞)
7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
解析：由题意可得圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，将代入直线方程得－1－＋2＝0，解得a＝－2.
答案：－2
8．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且│AB│＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是____________________．
解析：设圆心为M(x，y)，由│AB│＝6知，圆M的半径r＝3，则│MC│＝3，即
＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
解：圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－＜0即D＞0.
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
解：(1)已知方程可化为
(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1，
∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－＜t＜1.
即t的取值范围是
(2)r＝
＝ .
当t＝∈时，rmax＝，
此时圆的面积最大，对应的圆的方程是2＋2＝.
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋9＜0时，点P恒在圆内，化简得8t2－6t＜0，
即0＜t＜.故t的取值范围是
4.2直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
第一课时 直线与圆的位置关系(新授课)
[提出问题]
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．
问题1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？
提示：(1)相离 (2)相切 (3)相交
问题2：结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？
提示：3种，分别是相交、相切、相离．
问题3：如何判断直线与圆的位置关系？
提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系．
[导入新知]
1．直线与圆有三种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
[化解疑难]
判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．
直线与圆位置关系的判断
[例1] 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
[解] 法一：(代数法)
由方程组消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－5050.
法二：(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝＝，
①当直线和圆相交时，dr，即>10，a<－50或a>50.
[类题通法]
直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
[活学活用]
1．(2012·湛江检测)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．相交或相切 D．相切
解析：选C 直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交.
切 线 问 题
[例2] 过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
[解] ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，
∴点A在圆外．
法一：当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，
不满足题意．
设直线l的斜率为k，则方程为y－4＝k(x＋1)
即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2,3)到切线l的距离为＝1，
解得k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.
法二：由于直线l与圆相切，所以方程组只有一解．
消去y，得到关于x的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0，
则Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0，
解得8k2＋6k＝0，
即k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
[类题通法]
1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k
，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
[活学活用]
2．(2012·昆明高一检测)直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A．0或2 B．2
C. D．无解
解析：选B 由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0(舍去)或m＝2.
3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
解析：选D 点P在圆上，圆x2＋y2－4x＝0化为(x－2)2＋y2＝4，
圆心M(2,0)，半径为2.
kMP＝＝－，
切线l的斜率kl＝，
因此切线l的方程为y－＝(x－1)，
整理得x－y＋2＝0.
弦 长 问 题
[例3] 已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
[解] (1)法一：(几何法)
如图所示，过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，
∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
∵圆心为(0,0)，
∴|OC|＝＝.
∵r＝2，∴|BC|＝＝，
∴|AB|＝2|BC|＝.
法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，
得2x2－2x－7＝0.
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝＝.
(2)如图，当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，
∵kOP＝－2，∴kAB＝，
∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
[类题通法]
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．
[典例] 过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程是( )
A．y＝1 B．x＝3
C．x＝3或y＝1 D．不确定
[解析] 由题意知，点A在圆外，故过点A的切线应有两条．当所求直线斜率存在时，设其为k，则直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由于直线与圆相切，所以d＝＝1，解得k＝0，所以切线方程为y＝1.当所求直线斜率不存在时，x＝3也符合条件．综上所述，所求切线方程为x＝3或y＝1.
[答案] C
[易错防范]
1．解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况，而错误地选A；若只考虑斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而错误地选B.
2．过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的条数，经过圆外一点可以作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另一条必然斜率不存在．
[成功破障]
已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，则过点(3,5)并与圆C相切的切线方程为________．
解析：由于点(3,5)到圆心的距离为＝＞2＝r，得到点(3,5)在圆外．
当切线的斜率存在时，设方程为y－5＝k(x－3)，由圆心到切线的距离d＝＝2，
化简得12k＝5，可解得k＝，
∴切线方程为5x－12y＋45＝0.
当过(3,5)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，与圆相切．
综上可知切线方程为5x－12y＋45＝0或x＝3.
答案：5x－12y＋45＝0或x＝3
[随堂即时演练]
1．直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
解析：选C 圆心坐标为，半径长r＝，圆心到直线的距离d＝＜r
，所以直线与圆是相交的但不过圆心，故选C.
2．(2012·湛江高一检测)设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是( )
A．±1 B．±
C．± D．±
解析：选C 设l：y＝k(x＋2)即kx－y＋2k＝0.
又l与圆相切，∴＝1.∴k＝±.
3．(2011·重庆高考)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为______．
解析：设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于＝0，即圆心位于直线kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.
答案：2x－y＝0
4．过点P(－1,2)且与圆C：x2＋y2＝5相切的直线方程是________．
解析：点P(－1,2)是圆x2＋y2＝5上的点，圆心为C(0,0)，
则kPC＝＝－2，
所以k＝，y－2＝(x＋1)．故所求切线方程是x－2y＋5＝0.
答案：x－2y＋5＝0
5．(2011·湖北高考改编)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，求直线l的方程．
解：由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.
设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)．
又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝＝＝.
解得k＝1或.所以直线l的方程为y＋2＝x＋1或y＋2＝(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.
[课时达标检测]
一、选择题
1．若直线ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆C的位置关系是( )
A．P在圆内 B．P在圆外
C．P在圆上 D．不确定
解析：选B ∵直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，
∴圆心到直线的距离d＝＜1，
∴a2＋b2＞1.
2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A. B．2
C. D．2
解析：选D 直线的方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0,2)到直线的距离d＝＝1，知所求弦长为d＝2＝2，故选D.
3．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．[－，] B．(－，)
C. D.
解析：选C 设直线为y＝k(x－4)，
即kx－y－4k＝0，圆心(2,0)到直线的距离
d＝＝，d应满足d≤r，
即≤1，解得k∈.
4．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2
C. D．3
解析：选C 圆C的方程可变为：(x－3)2＋y2＝1，圆心C(3,0)，半径为1.直线y＝x＋1上点P(x0，y0)到圆心C的距离|PC|与切线长d满足
d＝＝
＝＝≥.
5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
解析：选B 如下图所示，设圆的圆心为M，则M(3,4)，半径r＝5.
当过点P的直线过圆心M时，对应的弦AC是最长的，此时，|AC|＝2r＝10；当过点P的直线与MP垂直时，对应的弦BD最小，
此时在Rt△MPD中，
|MD|＝r＝5，|MP|＝1，
故|BD|＝2＝4.
此时四边形ABCD的面积为：
S＝|AC|·|BD|＝20，故选B.
二、填空题
6．过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是____________________．
解析：当所求直线的斜率存在时，
设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，则d＝＝2，
解得k＝，此时，直线方程为：4y－3x－27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知符合题意．
答案：4y－3x－27＝0或x＝－1
7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．
解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即r＝＝，
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
8．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为____________．
解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知2＋2＝(a－1)2，解得a＝3，或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m
＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
三、解答题
9．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
解：设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.
(1)求直线PA，PB的方程；
(2)过P点的圆C的切线长．
解：(1)切线的斜率存在，设切线方程为
y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
圆心到直线的距离等于，
即＝，
∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求的切线方程为
y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
(2)在Rt△PAC中，PA2＝PC2－AC2
＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8，
∴过P点的圆C的切线长为2.
第二课时 直线与圆的位置关系(习题课)
1．直线与圆的位置关系有哪几种？
2．如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系？
3．如何求过某点的圆的切线方程？
4．如何求圆的弦长？
与圆有关的切线问题
[例1] 自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上的点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线方程．
[解] 如图，作圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，由几何光学原理，知直线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切．
由于l的斜率必存在，故可设直线l：y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0.
由圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0的圆心(4，－3)到直线l的距离等于半径，知
＝＝2，解得k＝－或k＝－，
故光线l所在直线的方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0.
[类题通法]
过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法：
(1)设切线斜率，用判别式法；
(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长；
(3)设切点(x0，y0)，用切线公式法．
[活学活用]
1．已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1.求：
(1)过A(3,4)的圆C的切线方程；
(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C的切线方程．
解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过A(3,4)的直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y
＋4－3k＝0，
由＝1，得k＝.
所以切线方程为y－4＝(x－3)，即4x－3y＝0.
当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，也符合题意．
故所求直线方程为4x－3y＝0或x＝3.
(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为＋＝1或y＝kx，
于是由圆心(2,1)到切线距离为1，得＝1或＝1.
解得a＝3±，k＝0或k＝.
故所求切线方程为x＋y＝3±或y＝0或y＝x.
与圆有关的参数问题
[例2] 已知直线l：y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，求m的取值范围．
[解] ∵l：y＝－x＋m，圆x2＋y2＝1，
∴l可变形为：x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)，半径长r＝1.
当直线和该圆相切时，应满足d＝＝1，解得m＝±.在平面直角坐标系中作出图象，如图所示，其中l2：y＝－x＋，l3：y＝－x－.
过原点作直线l0：y＝－x，m0：y＝－x.
∵直线l的斜率k＝－，直线AB的斜率k＝－1，
∴只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，此时对应的直线l1：y＝－x＋1，要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1和直线l2之间运动才可，此时相应的m∈.
∴m的取值范围是.
[类题通法]
要注意结合图象，得出正确的答案，不能想当然．要注意直线之间倾斜程度的比较，像在此例题中，我们要注意比较直线l的斜率k＝－与直线AB的斜率k＝－1，如果注意到它们的关系了，就不易出错．
[活学活用]
2．已知直线l：y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有交点，求m的取值范围．
解：∵l：y＝－x＋m，圆x2＋y2＝1，
∴l可变形为：x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)，半径长r＝1.
当直线和该圆相切时，应满足d＝＝1，解得m＝±，在平面直角坐标系中作出图象，
如下图所示，其中l2：y＝－x＋，
l3：y＝－x－.
∵直线l与圆在第一象限内有交点，
∴直线l应该在过点B(1,0)的直线与切线l2之间才可以，而当B(1,0)在直线l上时，
m＝，∴m的范围是.
直线与圆的综合问题
[例3] 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
[解] 由消去y，得5x2＋10x＋4m－27＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
又OP⊥OQ，∴KOP·KOQ＝－1即x1x2＋y1y2＝0.
∴x1·x2＋(3－x1)·(3－x2)＝0，
整理得5x1x2－3(x1＋x2)＋9＝0，
∴5×－3×(－2)＋9＝0.
解得m＝3满足①
∴实数m的值为3.
[类题通法]
此题设出P，Q两点的坐标，但在求解过程中又不能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁，这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注意认真体会并掌握．
[活学活用]
3．自原点O作圆(x－1)2＋y2＝1的不重合两弦OA，OB，若|OA|·|OB|＝k(定值)，证明不论A，B两点位置怎样，直线AB恒切于一个定圆，并求出定圆的方程．
解：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则|OA|·|OB|＝·
＝·
＝＝k.
∴x1x2＝.
设直线AB的方程为y＝mx＋b，代入已知圆的方程并整理，得
(1＋m2)x2＋2(mb－1)x＋b2＝0，
由韦达定理，得x1x2＝.
∴＝.
∵原点O到直线mx－y＋b＝0的距离为，
∴所求定圆的半径r满足
r2＝＝(定值)．
∴直线AB恒切于定圆x2＋y2＝.
[典例] 设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，求的最值．
[解] 的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．
因为圆心(0,1)与定点的距离是＝，圆的半径是1，
所以，的最小值是－1，最大值是＋1.
[多维探究]
1．化为求斜率问题
求的最小值．
解：法一：令＝t，则方程组一定有解．消去y，整理得(1＋t2)x2＋2(t2－3t)x＋(t2－6t＋8)＝0有解．
所以，Δ＝4(t2－3t)2－4(1＋t2)(t2－6t＋8)≥0，
即6t－8≥0，解得t≥.
故的最小值是.
法二：令＝k，
则k表示圆上任一点与(－1，－2)点连线的斜率，
∴kx－y＋k－2＝0，
由≤1，
得k≥.
∴的最小值为.
2．化为求圆心到直线距离问题
求直线x－y－2＝0上的点到圆的距离的最值．
解：圆心为(0,1)，到直线x－y－2＝0的距离为＝
，
因此直线上的点和圆上的点的最大距离为＋1，最小距离为－1.
3．化为求圆心到直线距离问题
若圆上有且只有四个点到直线3x－4y＋C＝0的距离为，求C取值范围．
解：由题意，圆心(0,1)到直线的距离小于即可，
则＜，
解得＜C＜.所以C的取值范围为
[方法感悟]
解与圆有关的最值问题，要明确其几何意义：
(1)k＝表示圆上的点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率，直线方程可与圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用Δ≥0求k的最值；也可用圆心到直线的距离d≤r，求k的最值．
(2)直线与圆相离时，直线上的点到圆的距离的最大值为d＋r，最小值为d－r.
[随堂即时演练]
1．直线x＋y＝0绕原点按顺时针方向旋转30˚ 所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是( )
A．直线与圆相切 B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离 D．直线过圆心
解析：选A 直线按顺时针方向旋转30˚后，所得直线方程为x＋y＝0，由圆的方程可知圆心坐标为(2,0)，半径长为.圆心到直线x＋y＝0的距离d＝＝r，所以直线与圆相切．
2．若直线＋＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则( )
A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1
C.＋≤1 D.＋≥1
解析：选D 圆的圆心(0,0)到直线bx＋ay－ab＝0的距离小于或等于圆的半径1，
即≤1，
即≥1，则＋≥1.
3．如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是________．
解析：设＝k，则y＝kx，(x－2)2＋k2x2＝3，整理得(1＋k2)x2－4x＋1＝0.
∵Δ＝16－4(1＋k2)≥0，
∴－≤k≤.
答案：
4．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引的切线方程为________．
解析：显然x＝2为所求切线之一．另设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0.
而＝2，得k＝，所以切线方程为3x－4y＋10＝0，
故所求切线为x＝2，或3x－4y＋10＝0.
答案：x＝2或3x－4y＋10＝0
5．已知以点P为圆心的圆过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)∵kAB＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①
又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得a＝－3，b＝6或a＝5，b＝－2.
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
[课时达标检测]
一、选择题
1．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A．0或2 B．0或4
C．2 D．4
解析：选C 法一：圆x2＋y2＝m的圆心坐标为(0,0)，半径长r＝(m＞0)，由题意得＝，即m2＝2m，
又m＞0，所以m＝2.
法二：由消去y并整理，
得2x2＋2mx＋m2－m＝0.
因为直线与圆相切，所以上述方程有唯一实数解，
因此Δ＝(2m)2－8(m2－m)＝0，即m2－2m＝0，
又m＞0，所以m＝2.
2．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．4
C．2 D．5
解析：选B 当圆心和点(1,1)的连线与AB垂直时，弦心距最大，|AB|最小；易知弦心距的最大值为＝，故|AB|的最小值为2＝4.
3．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a等于( )
A. B．2－
C.－1 D.＋1
解析：选C 圆心C(a,2)到直线l的距离d＝＝，
所以2＋2＝4，
解得a＝－1－(舍去)，或a＝－1.
故选C.
4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析：选B 设点(x，y)与圆C1的圆心(－1,1)关于直线x－y－1＝0对称，则解得从而可知圆C2的圆心坐标为(2，－2)，又知其半径为1，故所求圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，故选B.
5．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么( )
A．m∥l且l与圆相交 B．m⊥l且l与圆相切
C．m∥l且l与圆相离 D．m⊥l且l与圆相离
解析：选C ∵点P(a，b)在圆内，
∴a2＋b2＜r2.
又∵kOP＝，
∴km＝－.
直线l的方程为ax＋by＝r2，
∴kl＝－，
∴l∥m.设圆心到直线l的距离为d，
则d＝＞＝r，故直线l与圆相离．
二、填空题
6．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为________．
解析：设圆心为(a,0)(a＞0)，则＝2，∴a＝2，故所求方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.
答案：x2＋y2－4x＝0
7．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是____________．
解析：直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝，
所以，圆上的点到直线AB的最小距离为－1，
S△ABC＝×│AB│×(－1)＝×2×(－1)＝3－.
答案：3－
8．已知圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为________．
解析：方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0可化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，它表示圆心为A(－2,1)，半径为3的圆，如右图所示．x2＋y2＝()2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然，连接OA并延长交圆于点B，则|OB|2即x2＋y2的最大值，为||OA|＋3|2＝(＋3)2＝14＋6.
答案：14＋6
三、解答题
9．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求l的倾斜角；
(3)求弦AB的中点M的轨迹方程．
解：(1)证明：由已知直线l：y－1＝m(x－1)，知直线l恒过定点P(1,1)．
∵12＝1＜5，∴P点在圆C内，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
消去y得
(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，x1，x2是一元二次方程的两个实根，
∵|AB|＝|x1－x2|，
∴＝·，∴m2＝3，m＝±，
∴l的倾斜角为或.
(3)设M(x，y)，∵C(0,1)，P(1,1)，当M与P不重合时，|CM|2＋|PM|2＝|CP|2，
∴x2＋(y－1)2＋(x－1)2＋(y－1)2＝1.整理得轨迹方程为x2＋y2－x－2y＋1＝0(x≠1)．
当M与P重合时，M(1,1)满足上式，
故M的轨迹方程为x2＋y2－x－2y＋1＝0.
10．已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.
(1)求实数a，b间满足的等量关系；
(2)求线段PQ的最小值．
解：(1)连接OP，
∵Q为切点，
∴PQ⊥OQ，
由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.
又∵|PQ|＝|PA|，
∴|PQ|2＝|PA|2，
即a2＋b2－1＝(a－2)2＋(b－1)2，
整理，得2a＋b－3＝0.
(2)由2a＋b－3＝0得b＝－2a＋3，
∴|PQ|＝＝
＝＝ ，
∴当a＝时，|PQ|min＝，
即线段PQ的最小值为.
4．2.2 & 4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用
[提出问题]
上图为1973年12月24日在哥斯答黎加拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．
问题1：根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？
提示：5种，即内含、内切、相交、外切、相离．
问题2：能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？
提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断．
问题3：直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？
提示：可以．
[导入新知]
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含．
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
[化解疑难]
几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题．
判断两圆的位置关系
[例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
[解] 将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|＜5＜1＋，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当1＋＜5或|－1|＞5，
即k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．
[类题通法]
1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
(2)计算两圆圆心的距离d；
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2
|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
[活学活用]
1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．内含
解析：选C 法一：(几何法)
把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则连心线的长|C1C2|＝＝，
r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交．
法二：(代数法)
联立方程
解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交.
与两圆相交有关的问题
[例2] 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[解] 法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)、B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则有＝，
解得a＝，故圆心为，
半径为 ＝.
故圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二： ∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
[类题通法]
1．圆系方程
一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[活学活用]
2．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．
解：由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理，得方程3x－4y＋6＝0，又由于方程3x－4y＋6＝0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x－4y＋6＝0的解．因为两点确定一条直线，故3x－4y＋6＝0是两圆公共弦AB所在的直线方程．
∵圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，
∴圆心为C1(－1,3)，半径r＝3，
∴圆心C1到直线AB的距离d
＝＝，
∴│AB│＝2＝2＝.
∴AB所在的直线方程为3x－4y＋6＝0，公共弦AB的长为.
直线与圆的方程的实际应用
[例3] 有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
[解] 以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，
y)，设从A运货到P地的运费为2a元/km，则从B运货到P地运费为a 元/km.
若P地居民选择在A地购买此商品，
则2a＜a，
整理得(x＋)2＋y2＜()2.
即点P在圆C：(x＋)2＋y2＝()2的内部．
也就是说，圆C内的居民应在A地购物．
同理可推得圆C外的居民应在B地购物．
圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．
[类题通法]
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤．
(1)认真审题，明确题意；
(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；
(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；
(4)把代数结果还原为实际问题的解．
[活学活用]
3．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和2 km，且A、B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？
解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A、B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系．
由题意，得A(，)，B(0,2)，
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由A、B两点在圆上，得或由实际意义知a＝0，b＝，
∴圆的方程为x2＋(y－)2＝2，切点为(0,0)，
∴观景点应设在B景点在小路的投影处.
直线与圆的方程在平面几何中的应用
[例4] 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H.求证：EF
平分CD.
[证明] 以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系．如图所示，设|AB|＝2r，D(a,0)，则|CD|＝，
∴C(a，)，
∴圆O：x2＋y2＝r2，
圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2.
两方程作差得直线EF的方程为
2ax＋2y＝r2＋a2.
令x＝a，得y＝，
∴H，即H为CD中点，
∴EF平分CD.
[类题通法]
直线与圆的方程在平面几何中的应用
通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：
(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题．
(2)通过代数运算，解决代数问题．
(3)把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论．
[活学活用]
4．在平行四边形ABCD中，用坐标法证明：|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＋|BD|2.
证明：以CA所在的直线为x轴，线段CA的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
设A(a,0)，B(b，c)，则C(－a,0)，D(－b，－c)．
|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2
＝2(|AB|2＋|BC|2)
＝2[(b－a)2＋c2＋(－a－b)2＋(－c)2]
＝4a2＋4b2＋4c2，
|BD|2＋|AC|2＝(－b－b)2＋(－c－c)2＋(－a－a)2
＝4a2＋4b2＋4c2.
|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2
＝|AC|2＋|BD|2.
[典例] 求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[解题流程]
设出圆的方程―→根据两圆内切或外切列等式―→根据和直线y＝0相切求圆心横坐标―→得出结论.
[规范解答]
由题意，设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16.因为圆C与直线y＝0相切，且半径为4，故b＝±4，所以圆心坐标为C(a，4)或C(a，－4).又已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，设圆心坐标为A(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.(2分)
(1)当取C(a，4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2，此时圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16.(6分)
(2)当取C(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2，此时圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.(10分)
综上，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.(12分)
[名师批注]
解题过程中由于思维定势，想当然认为两圆外切只考虑|CA|＝4＋3＝7遗漏了|CA
|＝4－3＝1的情况．
求解中只考虑C(a，4)或C(a，－4)，即只考虑圆在x轴上方或下方的情况而导致出错.
[活学活用]
与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
圆心C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题意可知解得
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
[随堂即时演练]
1．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：选C ⊙O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，
O1(3，－8)，r＝11，
⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝＝13，
∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，
∴两圆相交．∴公切线有2条．
2．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0公共弦长为( )
A. B.
C．2 D．2
解析：选C x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，
圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此，公共弦长为2＝2.
3．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．
解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，
|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，
因此两圆外切．
答案：外切
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，
两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
答案：x＋3y＝0
5．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)m＝1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？
(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？
解：(1)∵m＝1，∴两圆的方程分别可化为：
C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，
C2：(x＋1)2＋y2＝1.
两圆的圆心距d＝＝2.
又∵r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，
∴r1－r2＜d＜r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相交．
(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，
则d＝＜3－1，
即(m＋1)2＜0，显然不等式无解．
故不存在m使得圆C1与圆C2内含．
[课时达标检测]
一、选择题
1．(2012·郑州高二检测)已知0＜r＜＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( )
A．外切 B．相交
C．外离 D．内含
解析：选B 设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，
则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，两圆的圆心距离dOO′＝＝.显然有|r－|＜＜＋r.所以两圆相交．
2．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：选D ∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1
C．3－5 D．3＋5
解析：选C 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.
4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )
A．1.4米 B．3.0米
C．3.6米 D．4.5米
解析：选C 可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD＝＝3.6(米)，故选C.
5．过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为( )
A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0
解析：选B 弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为：(x－1)2＋2－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0，故选B.
二、填空题
6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1，解得a＝1.
答案：1
7．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
解析：AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2，又C1(3,0)，C2(0,3)，C1C2的方程为x＋y－3＝0，即线段AB的中垂线方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
8．已知实数x、y满足x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________．
解析：由x2＋y2－4x＋1＝0得(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，半径为的圆．设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时有＝，解得k＝±，故的最大值为，最小值为－.
答案： －
三、解答题
9．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)由两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，
故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0.
(2)设圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r.
∵圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r－8＝0.①
作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝，
|O1H|＝
＝＝.又圆心(0，－1)到直线①的距离为＝，
得r＝4或r＝20，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
10.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D
通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
解：以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为－1＝(4－1)km.
4.3空间直角坐标系
空间直角坐标系的建立及坐标表示
[提出问题]
(1)如图数轴上A点、B点．
(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q点的位置．
(3)下图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？
问题1：上述(1)中如何确定A、B两点的位置？
提示：利用A、B两点的坐标2和－2.
问题2：上述(2)中如何确定P、Q两点的位置？
提示：利用P、Q两点的坐标(a，b)和(m，n)．
问题3：对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？
提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示．
[导入新知]
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz.
(2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
3．空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．
[化解疑难]
1．空间直角坐标系的建立
建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
2．空间直角坐标系的画法
(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．
(2)y轴垂直于z轴、y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的.
3．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下
点的位置
x轴
y轴
z轴
xOy平面
yOz平面
xOz平面
坐标表示
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)
空间两点间的距离公式
[提出问题]
(1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标－2.
(2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)．
问题1：如何求数轴上两点间的距离？
提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|.
问题2：如何求平面直角坐标系中P、Q两点间距离？
提示：d＝|PQ|＝ .
问题3：若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)如何求|P1P2|?
提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似．
[导入新知]
1．点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离
|OP|＝.
2．任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离
|P1P2|＝ .
[化解疑难]
1．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．
2．空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P.
空间中点的坐标的确定
[例1] 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．
[解] 以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，
则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝|AB|＝，
所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－＝.
所以点E的坐标为(1，，0)，点F的坐标为(1,2,1)．
[类题通法]
空间中点P坐标的确定方法
(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px、Py、Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．
(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
[活学活用]
1.如图所示，VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
解：∵底面是边长为2的正方形，
∴|CE|＝|CF|＝1.
∵O点是坐标原点，
∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．
∵V在z轴上，∴V(0,0,3).
空间中点的对称
[例2] (1)点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是________．
(2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
[解析] (1)如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)．
∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；
A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．
(2)点P(2,3－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．
[答案] (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)
[类题通法]
1．求空间对称点的规律方法
空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
2．空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：
①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；
②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；
③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；
④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；
⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；
⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；
⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．
[活学活用]
2．(2012·西安高一检测)在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为( )
A．(－3,1,5) B．(－3，－1,5)
C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)
解析：选A 由于点关于平面yOz对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为相反数，即对称点坐标是(－3,1,5)．
3．点P(－3,2，－1)关于平面xOy的对称点是________，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________．
答案：(－3,2,1) (3,2，－1) (－3，－2,1) (3,2,1)
空间中两点间的距离
[例3] 如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．
[解] 由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M，O′.因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.根据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝
＝a.
[类题通法]
求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
[活学活用]
4．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
A.a B.a
C．a D.a
解析：选B 由题意可知A1(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，则由中点坐标公式可得：
E(，，)，F(a，，0)，
故由空间两点间的距离公式可得
|EF|＝ ＝a.
[典例] 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．
[解析] 取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB、OC、OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝，可得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．
[易错防范]
1．解答此题不是以OB、OC、OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，而是以AB、AC、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，进而错误地求出A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．
2．求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系，这也是正确利用坐标求解此类问题的前提．建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂直，且符合右手法则．
[成功破障]
如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；
(2)在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．
解：(1)由题意知P的坐标为，P关于y轴的对称点P′的坐标为.
(2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，则有|MP|＝ ＝
＝ .当m＝时|MP|取得最小值，所以点M为.
[随堂即时演练]
1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
解析：选A 点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．
2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是( )
A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)
解析：选A 过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.
3．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
解析：设点P(0,0，z)，
则由|PA|＝|PB|，
得
＝ ，
解得z＝6，即点P的坐标是(0,0,6)．
答案：(0,0,6)
4．在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．
解析：由A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)，
所以C1(－3,3,2)．正方体体对角线长为|AC1|＝＝2，
所以正方体的棱长为＝.
答案：
5．如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
∴|DE|＝ ＝ ，
|EF|＝ ＝ .
[课时达标检测]
一、选择题
1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C 对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.
2．(2012·吉林高一检测)若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7 B．－7
C．－1 D．1
解析：选D 点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.
3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，
则Q的坐标为( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
解析：选D 点P(1，，)关于平面xOy的对称点是P1(1，，－)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，，0)，故选D.
4．点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
解析：选B 点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，
故|BC|＝ ＝4.
5．(2012·长春高一检测)已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
解析：选D ∵|AB|＝
＝ ＝2，
∴x＝6或－2.
二、填空题
6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是________三角形．(填三角形的形状)
解析：|AB|＝ ＝.
|AC|＝ ＝ ，
|BC|＝ ＝ ，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，
所以△ABC是等腰三角形．
答案：等腰
7．(2012·沈阳高一检测)已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为________．
解析：由两点间的距离公式可得
|AB|＝
＝ ≥.
答案：
8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝|CD|，E为C1G的中点，则EF的长为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D为坐标原点，由题意，得
F(，，0)，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，
G(0，，0)，则E(0，，)．所以
|EF|＝ ＝.
答案：
三、解答题
9．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin 30°＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60°＝1－＝，
∴点D的坐标为.
10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．
解：如图所示，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z
轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．
∵N为CD1的中点，
∴N(，3,1)．
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得
|MN|＝ ＝.
圆与方程
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．(2011·上海春季高考)直线l：y＝k与圆C：x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相交或相切 B．相交或相离
C．相切 D．相交
解析：选D 圆C的圆心(0,0)到直线y＝k的距离为d＝.因为d2＝＜＜1，所以直线与圆相交，或由直线经过定点在圆内，故相交．
2．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )．
A．m>－ B．m<－
C．m≤－ D．m≥－
解析：选A 由题意得1＋1＋4m>0.解得m>－.
3．(2012·南安高一检测)空间直角坐标系中，已知A(2,3,5)，B(3,1,4)，则A，B两点间的距离为( )
A．6 B.
C. D.
解析：选B |AB|＝＝.
4．以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：C
5．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：选B 化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1，
圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，
|O1O2|＝ ＝＜r1＋r2，又r2－r1＜，所以两圆相交．
6．自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长为( )
A. B．3
C. D．5
解析：选B 点A到圆心距离为，切线长为l＝＝3.
7．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( )
A.或－ B．－或3
C．－3或 D．－3或3
解析：选C 圆的方程变形为(x－1)2＋y2＝3，圆心(1,0)到直线的距离等于半径⇒＝⇒|＋m|＝2⇒m＝或m＝－3，故选C.
8．圆心在x轴上，半径长为 ，且过点(－2,1)的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝2
B．x2＋(y＋2)2＝2
C．(x＋3)2＋y2＝2
D．(x＋1)2＋y2＝2或(x＋3)2＋y2＝2
解析：选D 设圆心坐标为(a,0)，则由题意知＝，解得a＝－1或a＝－3，
故圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2或(x＋3)2＋y2＝2.
9．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
解析：选C 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.依题意有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.
10．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2.则实数a的值为( )
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
解析：选D 圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝，则()2＋()2＝22，
解得a＝0或4.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．
解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴B1(a，b，c)．
答案：(a，b，c)
12．(2012·北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．
解析：如图所示，|CO|＝2，圆心C(0,2)到直线y＝x的距离|CM|＝＝，所以弦长为2|OM|＝2＝2.
答案：2
13．设A为圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上一动点，则A到直线x－y－5＝0的最大距离为________．
解析：圆心到直线的距离d＝＝，则A到直线x－y－5＝0的最大距离为＋1.
答案：＋1
14．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P
的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kPM·kPN＝－1，
即·＝－1，x2＋y2＝4.
又当P、M、N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，
即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案：x2＋y2＝4(x≠±2)
三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)求圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，在x轴上截得的弦长为4的圆的方程．
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意可得解得或所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
16．(本小题满分12分)已知正方体的棱长为a，过B1作B1E⊥BD1于点E，求A、E两点之间的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意，可得A(a,0,0)、B(a，a,0)、D1(0,0，a)、B1(a，a，a)．
过点E作EF⊥BD于F，如图所示，
则在Rt△BB1D1中，
|BB1|＝a，|BD1|＝a，|B1D1|＝a，
所以|B1E|＝＝，
所以在Rt△BEB1中，|BE|＝a.
由Rt△BEF∽Rt△BD1D，
得|BF|＝a，|EF|＝，
所以点F的坐标为(，，0)，
则点E的坐标为(，，)．
由两点间的距离公式，得
|AE|＝ ＝a，
所以A、E两点之间的距离是a.
17．(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得2x0＝2，即当水面下降1米后，水面宽2米．
18．(本小题满分14分)(2012·淮安高二检测)已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；
(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程．
解：(1)设P(2m，m)，由题可知MP＝2，所以(2m)2＋(m－2)2＝4，解得m＝0或m＝，故所求点P的坐标为P(0,0)或P.
(2)由题意易知k存在，设直线CD的方程为y－1＝k(x－2)，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以＝，解得k＝－1或k＝－，故所求直线CD的方程为：x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.
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二、高频考点聚焦
——锁定备考范围 高考题型全盘突破
空间几何体的结构与特征
空间几何体的结构与特征考查方向有两个方面：一是在选择、填空题中直接考查结构特征，二是作为载体在解答题中考查位置关系的判定证明，多与三视图相结合．要充分掌握柱、锥、台、球的定义及结构特征，解题时要注意识别几何体的性质．
[例1] 某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱台 D．三棱台
[解析] 由所给三视图与直观图的关系，可以判定对应的几何体为如图所示的四棱锥，且PA⊥面ABCD，AB⊥BC，BC∥AD.
[答案] B
1．根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称：
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；
(2)一个圆面绕其一条直径所在的直线旋转180°所围成的几何体．
解：(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，满足每相邻两个面的公共边都相互平行这一条件，故该几何体是六棱柱，如图(1)．
(2)该几何体为球，如图(2)．
2．下列各立体图形表示的是柱体或由柱体构成的几何体是( )
A．①②③⑤ B．③④⑤
C．①④⑤ D．②③④
解析：选C ①是三棱柱，②是圆台中挖去一个圆柱形成的几何体，③是正方体去掉一个角后形成的几何体，④是五棱柱，⑤是正方体.
空间几何体的三视图、直观图与表面积、体积
空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图、二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力．
在解决三视图问题时一定要遵循“长对正、高平齐、宽相等”，看清三视图的实虚线，还原几何体时，几何体的摆放位置，求表面积时注意组合体中衔接面的处理，求体积时要注意体积分割、转化求法的应用，对于三棱锥的体积还要注意等积转换法的应用．
[例2] (2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 B．30＋6
C．56＋12 D．60＋12
[解析] 由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示．
S△ACD＝×AC×DM＝×5×4＝10.
S△ABC＝×AC×BC＝×5×4＝10.
在△CMB中，∠C＝90°，∴BM＝5.
∵DM⊥平面ABC，∴∠DMB＝90°，
∴DB＝ ＝，∴△BCD为直角三角形，∠DCB＝90°，∴S△BCD＝×5×4＝10.
在△ABD中，如图(2)，S△ABD＝×2×6＝6，
∴S表＝10＋10＋10＋6＝30＋6.
[例3] (2011·广东高考)如图，某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为( )
A．4 B．4
C．2 D．2
[解析] 由题得该几何体是如图所示的四棱锥P－ABCD，
AO＝ ＝，
∴棱锥的高h＝PO＝ ＝＝3，
∴V＝××2××2×3＝2.
[答案] C
3．如图，四边形ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝2，则原平面图形的实际面积是________．
解析：由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是梯形，且AB，CD的长度不变，仍为6和4，高BC＝4，
故所求面积S＝×(4＋6)×4＝20.
答案：20
4．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
解析：如图所示：
该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个圆柱．
∴S表＝2×(4×3－π)＋2×(3×1)＋2×(4×1)＋2π＝24－2π＋6＋8＋2π＝38.
5．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.
解析：法一：∵VA－A1B1D1＝××3×3×2＝3，
VABD－A1B1D1＝×3×3×2＝9，
∴VA－BB1D1D＝VABD－A1B1D1－VA－A1B1D1＝6(cm3)．
法二：连接AC交BD于O，则有AC⊥BD，AC⊥BB1，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∴AO即为四棱锥A－BB1D1D的高，
∴VA－BB1D1D＝×3×2×＝6(cm3)．
答案：6
与球有关的问题
与球有关的组合体是命题的热点，多为选择、填空题，有时也与三视图相结合，主要考查球的表面积与体积的求法．
对于此类问题的关键是求出球的半径，在解决时要充分借助于图形(空间图或截面图)化空间问题为平面问题．
[例4] (2011·新课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
[解析] 设圆锥的底面半径为r，球面半径为R，
则πr2＝×4πR2，解得r＝R，
所以对应球心距为R，故小圆锥的高为R－R＝R，大圆锥的高为R，所以之比为.
[答案]
6.如图，半径为2的球O中有一内接圆柱，当圆柱的轴截面为正方形时球的表面积与圆柱的侧面积之差为________．
解析：若圆柱的轴截面为正方形，则圆柱的高与底面圆直径相等，且截面正方形的对角线长为球的直径，设圆柱高为h，底面圆半径为r，则h＝2，r＝，圆柱的侧面积S＝h·2πr＝2·2π＝8π.球的表面积为S＝4πR2＝16π，∴球的表面积与侧面积之差为8π.
答案：8π
7．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积．
解：由AB＝BC＝CA＝3知△ABC为边长为3的正三角形，设其中心为O′，连接OO′，AO′，则OO′⊥AO′，AO′＝.设球半径为R，则OO′＝.在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2即R2＝()2＋2，∴R＝2.∴球的体积V＝π23＝π (cm3)．
空间点、线、面位置关系的判断与证明
[例5] (2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
[证明] (1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
8．(2012·北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE⊄平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.
而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，
所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP，即A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
9．(2011·福建高考)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．
解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，
所以PA⊥CE，
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.
又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.
(2)由(1)可知CE⊥AD.在直角三角形ECD中，
DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.
又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，
所以四边形ABCE为矩形，
所以SABCD＝SABCE＋S△ECD＝AB·AE＋CE·DE＝1×2＋×1×1＝.
又PA⊥平面ABCD，PA＝1，
所以V四棱锥P－ABCD的体积等于
SABCD·PA＝××1＝.
直线方程与两直线的位置关系
主要以选择、填空题的形式考查直线方程的求法，及由直线方程研究两直线的位置关系，在解答题中常与其他曲线结合考查直线与曲线的位置关系．
掌握直线方程的各种形式及转化关系，能根据直线方程求斜率、截距，并会判断两直线的平行、垂直关系．
[例6] 根据下列条件，求直线方程：
(1)已知直线过点P(－2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1；
(2)过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0.
[解] (1)设所求直线的方程为＋＝1.
依题意，得解得或
故所求直线方程是＋y＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.
(2)设所求直线的方程为
(3x－2y＋1)＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0.
由所求直线垂直于直线x＋3y＋4＝0，得
－·＝－1，解得λ＝.
故所求直线的方程是3x－y＋2＝0.
10．已知直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．
解：当直线l1和l2都有斜率时，
即m≠0且m≠3时，由＝≠，
解得m＝－4，经验证可知两直线平行．
当直线l1和l2都无斜率时，l1：x＝－，l2：x＝，
显然l1∥l2，此时m＝3.
综上所述m＝－4或m＝3.
11．求经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且与原点的距离为1的直线方程．
解：由方程组
解得两条直线的交点A(1,3)．
当斜率存在时，
设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0.
∵原点到直线的距离为1，
即＝1，即|3－k|＝，
两边平方，整理，得k＝.
故直线方程为y－3＝(x－1)，
即4x－3y＋5＝0.
当斜率不存在时，直线方程为x＝1，符合题意．
故所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
圆的方程
主要以选择、填空题的形式考查圆的方程的求法，或利用圆的几何性质、数形结合求函数式的最值．也可与其他曲线结合综合考查圆的方程的应用．
求圆的方程的主要方法是待定系数法，确定圆的方程需要三个独立的条件，求解时要注意结合图形，观察几何特征，简化运算．
[例7] 有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．
[解] 法一：设圆的标准方程，寻找三个方程构成方程组求解．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得
解得
所以圆的方程为(x－5)2＋2＝.
法二：设圆的一般方程求解．
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CA⊥l，
A(3,6)，B(5,2)在圆上，得
解得
所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
12．圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．
解：设所求圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r>0)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0－y0＝0或x0＋y0＝0.
又圆心在直线5x－3y＝8上， 所以5x0－3y0＝8.
由得
由得
所以圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，相应的半径为r＝4或r＝1，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
13．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
解：(1)原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，半径为的圆．
设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时有＝，解得
k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±.故(y－x)max＝－＋，(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知其在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又知圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
直线、圆的位置关系
多在选择题、填空题考查直线方程与圆的方程的求法，涉及直线与圆有关的基本问题，对于直线中内容很少单独考查．
在解决直线与圆的问题时，充分发挥数形结合思想的运用，尤其是涉及弦长问题，多用几何法．
[例8] 圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为( )
A．2＋ B．2－
C. D．0
[解析] 因为圆x2＋y2＝4的圆心O到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以圆上的点到直线距离的最大值为d＋r＝＋2.
[答案] A
[例9] 已知2a2＋2b2＝c2，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．相交但不过圆心 B．过圆心
C．相切 D．相离
[解析] 由已知圆：x2＋y2＝4的圆心到直线ax＋by＋c＝0距离是d＝，又2a2＋2b2＝c2，
∴|c|＝·，即＝|c|，
∴d＝＝.
又圆x2＋y2＝4的半径r＝2，
∴d＜r，故直线与圆x2＋y2＝4相交．
又圆心(0,0)代入直线ax＋by＋c＝0得c＝0，
∴a＝b＝0，不合题意，故此直线不过圆心．
[答案] A
[例10] (2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )
A．3 B．2
C. D．1
[解析] 圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝1，圆的半径为2，所以弦长|AB|＝2＝2.
[答案] B
14．(2012·福建高考)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )
A．2 B．2
C. D．1
解析：选B 圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为1，所以|AB|＝2＝2.
15．(2011·江西高考)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A．(－，) B．(－，0)∪(0，)
C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：选B 整理曲线C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1为以点C1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交点，知直线l与x轴相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝
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