【数学】2020届一轮复习人教版（理）第11章第3讲合情推理与演绎推理作业 9页

A组　基础关 ‎1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：‎ ‎①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；‎ ‎②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；‎ ‎③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)c＝a(b·c)”；‎ ‎④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；‎ ‎⑤“|m·n|＝|m||n|”类比得到“|a·b|＝|a||b|”；‎ ‎⑥“＝”类比得到“＝”．‎ 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　∵向量的数量积满足交换律，∴①正确；‎ ‎∵向量的数量积满足分配律，∴②正确；‎ ‎∵向量的数量积不满足结合律，∴③不正确；‎ ‎∵向量的数量积不满足消去律，∴④不正确；‎ 由向量的数量积公式，可知⑤不正确；‎ ‎∵向量的数量积不满足消去律，∴⑥不正确；‎ 综上知，正确的个数为2个，故B正确．‎ ‎2．在用演绎推理证明通项公式为an＝cqn(cq≠0)的数列{an}是等比数列的过程中，大前提是(　　)‎ A．an＝cqn B.＝q(n≥2)‎ C．若数列{an}满足(n∈N*)是常数，则{an}是等比数列 D．若数列{an}满足(n≥2)是常数，则{an}是等比数列 答案　C 解析　证明一个数列是等比数列的依据是等比数列的定义，其公式表示为(n∈N*)或(n≥2)是常数．‎ ‎3．(2018·江西南昌模拟)已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋4‎ ‎3＝2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝(　　)‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ 答案　C 解析　观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n3时，等号右边的数为2，因此，令2＝3025，则＝55，n＝10或n＝－11(舍去)．‎ ‎4.(2018·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为(　　)‎ A．3 B．5 C. D．3 答案　B 解析　利用类比的方法，在空间中，点(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离d′＝，所以点(2,4,1)到平面x＋2y＋2z＋3＝0的距离d＝＝＝5.‎ ‎5．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：‎ 根据以上规律判定，从2017到2019的箭头方向是(　　)‎ 答案　B 解析　看作一个循环体，又因为2016＝504×4.所以从2017到2019的箭头方向是.‎ ‎6．(2018·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中 ‎“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，故选C.‎ ‎7．(2018·陕西一模)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知，四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，由平面图形中r的求解过程类比空间图形中R的求解过程可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为 V＝V四面体S－ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝.故选C.‎ ‎8．(2018·湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr ‎，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝________.‎ 答案　2πr4‎ 解析　在二维空间中，圆的二维测度(面积)S＝πr2，则其导数S′＝2πr，即为圆的一维测度(周长)l＝2πr；在三维空间中，球的三维测度(体积)V＝πr3，则其导数V′＝4πr2，即为球的二维测度(表面积)S＝4πr2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝2πr4.‎ ‎9．(2018·重庆调研)甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书．‎ 答案　丙 解析　因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．‎ ‎10．已知点A(x1，ax1)，B(x2，a x2)是函数y＝ax的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上任意不同的两点，则类似地有______________成立．‎ 答案　1，n∈N*)，若fm(x)＝(m∈N*)，则m＝(　　)‎ A．9 B．10 C．11 D．126‎ 答案　B 解析　由题意可得f2(x)＝f1[f1(x)]＝f1＝＝，‎ 同理可得，f3(x)＝，f4(x)＝，‎ f5(x)＝，…，fn(x)＝，‎ 由fm(x)＝(m∈N*)恒成立，可得2m－2＝256＝28，即有m－2＝8，即m＝10.‎ ‎3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*‎ ‎)，试归纳猜想出Sn的表达式为(　　)‎ A．Sn＝ B．Sn＝ C．Sn＝ D．Sn＝ 答案　A 解析　∵Sn＝n2an＝n2(Sn－Sn－1)，∴Sn＝·Sn－1，又S1＝a1＝1，则S2＝，S3＝＝，S4＝.∴猜想得Sn＝，故选A.‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 答案　D 解析　由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.‎ ‎5．(2018·黑龙江检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则________________成等比数列．‎ 答案　T4，，， 解析　设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，‎ 则T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28，‎ T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66，‎ T16＝bq1＋2＋…＋15＝bq120，‎ ‎∴＝bq22，＝bq38，＝bq54，‎ 故T4，，，成等比数列．‎ ‎6．如图，平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有＝(其中S△PAB，S△PCD分别为△PAB，△PCD的面积)；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有＝________(其中VP－ABE，VP－CDF分别为四面体P－ABE，P－CDF的体积)．‎ 答案　 解析　设PM与平面PDF所成的角为α，‎ 则A到平面PDF的距离h1＝PAsinα，C到平面PDF的距离h2＝PCsinα，∴VP－ABE＝VA－PBE＝S△PBE·h1，‎ VP－CDF＝VC－PDF＝S△PDF·h2，‎ ‎∴＝＝ ‎＝.‎ ‎7．如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是________．‎ 答案　341‎ 解析　边长为1,2,3，…，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，…，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×8＋…＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－＝341，故所求总数为341.‎ ‎8．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为20192的格点的坐标为________．‎ 答案　(1010,1009)‎ 解析　观察已知图形可知，‎ 点(1,0)处标1，即12，‎ 点(2,1)处标9，即32，‎ 点(3,2)处标25，即52，‎ ‎……‎ 由此推断，‎ 点(n＋1，n)处标(2n＋1)2.‎ 当2n＋1＝2019时，n＝1009，‎ 故标签为20192的格点的坐标为(1010,1009)．‎