2020届二轮复习数列求通项公式学案（全国通用） 9页

培优点十一 数列求通项公式 ‎1.累加、累乘法 例1：数列满足：，且，求．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】，，，，‎ 累加可得：，‎ ‎．‎ ‎2．与的关系的应用 例2：在数列中，，，则的通项公式为_________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】∵当时，，‎ ‎，‎ 整理可得：，，‎ 为公差为2的等差数列，，‎ ‎，．‎ ‎3．构造法 例3：数列中，，，求数列的通项公式．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】设即，对比，可得，‎ ‎，是公比为3的等比数列，‎ ‎，．‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1．由，给出的数列的第34项是（ ）‎ A． B．‎100 ‎C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，，‎ 则，，，‎ ‎，，，‎ 由此可知各项分子为1，分母构成等差数列，首项，公差为，‎ ‎∴，∴，故选A．‎ ‎2．数列满足，，则等于（ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】时，，，，，‎ ‎∴数列的周期是3，∴．故选B．‎ ‎3．在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】递推关系中，令可得：，‎ 即恒成立，‎ 据此可知，该数列是一个首项，公差的等差数列，‎ 其前项和为：．故选C．‎ ‎4．数列的前项和为，若，则的值为（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎C．2017 D．3033‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A．‎ ‎5．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵是递增数列，∴，‎ ‎∵恒成立，即，‎ ‎∴对于恒成立，而在时取得最大值，‎ ‎∴，故选D．‎ ‎6．在数列中，已知，，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将等式两边取倒数得到，，‎ 是公差为的等差数列，，‎ 根据等差数列的通项公式的求法得到，故．故选B．‎ ‎7．已知数列的前项和，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，可得，．两式相减可得：，．‎ 即，．数列是从第二项起的等比数列，公比为4，‎ 又，．∴，．∴．故选B．‎ ‎8．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题已知是上的奇函数， 故，代入得：，， ∴函数关于点对称，‎ 令，则，得到， ∵，， 倒序相加可得，即，故选B．‎ ‎9．在数列中，若，，则的值（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，数列中，若，， ‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，故选A．‎ ‎10．已知数列的首项，且满足，如果存在正整数，‎ 使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意时，‎ ‎，‎ 由，即，‎ ‎∴且，，，‎ 其中最小项为，，‎ 其中最大项为，因此．故选C．‎ ‎11．已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）‎ A． B．‎ C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】数列数列满足，，‎ 当时，两式作商可得：，‎ ‎∴数列的奇数项，，，，成等比，偶数项，，，，成等比，‎ 对于A来说，，错误；‎ 对于B来说，‎ ‎，正确；‎ 对于C来说，数列是等比数列，错误；‎ 对于D来说，数列不是等比数列，错误，‎ 故选B．‎ ‎12．已知数列满足：，．设，，‎ 且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵数满足：，．‎ ‎，化为，‎ ‎∴数列是等比数列，首项为，公比为2， ∴，， ∵，且数列是单调递增数列， ∴，∴，解得，‎ 由，可得，对于任意的恒成立，‎ ‎，故答案为．故选B．‎ 二、填空题 ‎13．已知数列的前项和为，且，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】数列的前项和为，且，‎ ‎，两式想减得到．‎ 此时，检验当时，符合题意，故．故答案为．‎ ‎14．数列中，若，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，，则，‎ ‎∴．故答案为．‎ ‎15．设数列满足，，___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎，‎ ‎∴，，累加可得，‎ ‎∵，，‎ ‎∴．故答案为．‎ ‎16．已知数列满足，，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，‎ 由题意可得，‎ 即，整理可得，‎ 令，则，由题意可得，‎ 且，，故，‎ 即，，，，‎ 据此可知．‎ 三、解答题 ‎17．已知各项均为正数的数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意得，两式作差得，‎ 又数列各项均为正数，∴，即，‎ 当时，有，得，则，‎ 故数列为首项为2公差为2的等差数列，∴．‎ ‎（2），‎ ‎∴．‎ ‎18．在数列中，，．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）的两边同时除以，得，‎ ‎∴数列是首项为4，公差为2的等差数列 ‎（2）由（1），得，‎ ‎∴，故，‎ ‎∴ ‎ ‎．‎