【数学】2020届一轮复习人教B版（文）2-8函数与方程作业 7页

课时作业 11 函数与方程 [基础达标] 一、选择题 1．[2019·河南濮阳模拟]函数 f(x)＝ln2x－1 的零点所在区间为 ( ) A．(2,3) B．(3,4) C．(0,1) D．(1,2) 解析：由 f(x)＝ln2x－1，得函数是增函数，并且是连续函数，f(1) ＝ln2－1<0，f(2)＝ln4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数 f(x) 的零点位于区间(1,2)上，故选 D. 答案：D 2．[2019·福州市高三模拟]已知函数 f(x)＝ x2－2x，x≤0， 1＋1 x ，x>0， 则 函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：令 f(x)＋3x＝0，则 x≤0， x2－2x＋3x＝0 或 x>0， 1＋1 x ＋3x＝0， 解得 x＝0 或 x＝－1，所以函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是 2.故选 C. 答案：C 3.根据下面表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个根 所在的区间为( ) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 A.(1,2) B．(0,1) C．(－1,0) D．(2,3) 解析：本题考查二分法的应用．令 f(x)＝ex－x－2，则由表中数 据可得 f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，所以函数 f(x)的一个零点 在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上． 答案：A 4．[2019·安徽安庆模拟]定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝ x2＋2，x∈[0，1， 2－x2，x∈[－1，0， 且 f(x＋1)＝f(x－1)，若 g(x)＝3－log2x，则 函数 F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：由 f(x＋1)＝f(x－1)，知 f(x)的周期是 2，画出函数 f(x)和 g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知 f(x)与 g(x)的图象有 2 个交点， 故 F(x)有 2 个零点．故选 B. 答案：B 5．[2019·河南安阳模拟]设函数 f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，若 f(x) 在区间(0，＋∞)上无零点，则实数 a 的取值范围是( ) A．[0,1] B．[－1,0] C．[0,2] D．[－1,1] 解析：令 f(x)＝0，可得 ln(x＋1)＝－a(x2－x)，令 g(x)＝ln(x＋1)， h(x)＝－a(x2－x)．∵f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，∴g(x)＝ln(x＋1) 与 h(x)＝－a(x2－x)的图象在 y 轴右侧无交点． 显然当 a＝0 时符合题意； 当 a<0 时，作出 g(x)＝ln(x＋1)与 h(x)＝－a(x2－x)的图象如图 1 所示， 显然两函数图象在 y 轴右侧必有一交点，不符合题意； 当 a>0 时，作出 g(x)＝ln(x＋1)与 h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如 图 2 所示， 若两函数图象在 y 轴右侧无交点，则 h′(0)≤g′(0)，即 a≤1. 综上，0≤a≤1.故选 A. 答案：A 二、填空题 6．[2018·全国卷Ⅲ]函数 f(x)＝cos 3x＋π 6 在[0，π]的零点个数为 ________． 解析：由题意可知，当 3x＋π 6 ＝kπ＋π 2(k∈Z)时，f(x)＝cos 3x＋π 6 ＝0. ∵x∈[0，π]， ∴3x＋π 6 ∈ π 6 ，19 6 π ， ∴当 3x＋π 6 取值为π 2 ，3π 2 ，5π 2 时，f(x)＝0， 即函数 f(x)＝cos 3x＋π 6 在[0，π]的零点个数为 3. 答案：3 7．已知函数 f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则 a 的范 围为________． 解析：由题意 f(1)·f(0)<0.∴a(2＋a)<0. ∴－21 2 ，当 x≥1 时，log2x≥0，依题意函数 y ＝f(x)的图象和直线 y＝k 的交点有两个， ∴k>1 2. 答案： 1 2 ，＋∞ 三、解答题 9．设函数 f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当 a＝1，b＝－2 时，求函数 f(x)的零点； (2)若对任意 b∈R，函数 f(x)恒有两个不同零点，求实数 a 的取 值范围． 解析：(1)当 a＝1，b＝－2 时，f(x)＝x2－2x－3， 令 f(x)＝0，得 x＝3 或 x＝－1. ∴函数 f(x)的零点为 3 或－1. (2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0 有两个不同实根， ∴b2－4a(b－1)>0 恒成立， 即对于任意 b∈R，b2－4ab＋4a>0 恒成立， 所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得 00， 所以 f(－x)＝x2＋2x.又因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以 f(x)＝ x2－2x，x≥0， －x2－2x，x<0. (2)方程 f(x)＝a 恰有 3 个不同的解． 即 y＝f(x)与 y＝a 的图象有 3 个不同的交点． 作出 y＝f(x)与 y＝a 的图象如图所示，故若方程 f(x)＝a 恰有 3 个 不同的解只需－10，函数 f(x)＝ x2＋2ax＋a，x≤0， －x2＋2ax－2a，x>0. 若关于 x 的方程 f(x)＝ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ________． 解析：本题主要考查函数零点的应用． 设 g(x)＝f(x)－ax＝ x2＋ax＋a，x≤0， －x2＋ax－2a，x>0， 方程 f(x)＝ax 恰有 2 个互异的实数解即函数 y＝g(x)有两个零点， 即 y＝g(x)的图象与 x 轴有 2 个交点，满足条件的 y＝g(x)的图象有以 下两种情况： 情况一： 则 Δ1＝a2－4a>0， Δ2＝a2－8a<0， ∴40， 不等式组无解． 综上，满足条件的 a 的取值范围是(4,8)． 答案：(4,8)