2020届二轮复习存在性问题学案（全国通用） 37页

2020 届二轮复习 存在性问题 学案（全国通用） 存在性问题 不等式​ 存在性问题通常转化为求函数的最大值或最小值的问题，也可以先分离变量，再转化 为求函数最大值或最小值的问题．​ ① 存在 使得 成立，转化为 ② 存在 使得 成立，转化为 ​ ③ 存在 使得 成立，转化为 ​ ④ 存在 使得 成立，转化为 ​ ​ ​ 精选例题 存在性问题 1. 不等式 对任意实数 都成立，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 不等式 ，化为 ． 因为不等式 对任意实数 都成立， 所以 ．对任意实数 都成立， 当 时，化为 ，不满足要求，舍去； 当 时，变形满足 ， 解得： ． 2. 若关于 的不等式 在 上有解，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 由题意，得 ． 由绝对值的几何意义，得 ． 因此， ． 3. 若关于 的不等式 存在实数解，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 当 时，在数轴上表示 的点到 、 表示的点的距离之和为 ， 所以当 时， ． 所以，只要 ，此时解得 或 ． 4. 若存在 ，使 成立，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 5. 设函数 ．若存在 ，使 得 成立，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 当 时， ； 当 时， ． 从而当 时，函数 的值域为 ． 由 ，得 ，则 ， 所以 ． 从而当 时，函数 的值域为 ． 因为存在 ，使 ，所以 ． 若 ，则 或 ，解得 或 ． 所以当 时， ． 综上，实数 的取值范围为 ． 6. 若命题" ，使得 "是真命题，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 7. 若存在实数 使 成立，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 要使得不等式 成立，只要 即可． 【解】 在数轴上， 表示 对应的点到 对应的点之间的距离， 表示 对应的点 到 对应的点之间的距离，而这两个距离和的最小值是 ．要使得不等式 成立，只要 ，解得 ． 8. 已知命题" ，使 "为假命题，则 的取值范围是 ． 【答案】 9. 已知函数 ， ，若对于任意的 ，总存在 ，使 得 ，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 ， ． 令 ，则 根据题意知 可以取到 之间所有的数． 令 ． 首先有 ，解得 ． 若 ，则 ， ； 当 时， ，此时 的最小值为 ； 当 时， ． 综上知， 一直可以取到 之间所有的数． 若 ，类似分析可得也都满足条件． 10. 已知 ，且方程 无实数根，下列命题： （1）方程 一定有实数根； （2）若 ，则不等式 对一切实数 都成立； （3）若 ，则必存在实数 ，使 ； （4）若 ，则不等式 对一切实数 都成立． 其中，正确命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的所有序号都填上） 【答案】 （2）（4） 【分析】 方程 无实根，所以 或 恒成立．从而有 恒成立或 恒成立，故（1）错误； 若 ，则 对一切 成立．所以 ，命题（2）正确； 同理若 ，则有 ，命题（3）错误； 若 ，则 ，从而 恒成立，必有 ，且 ，所以 命题（4）正确． 11. 已知命题 “ ： ” 与命题 “ ： ” 都是 真命题，则实数 的取值范围 ． 【答案】 12. 若对于给定的正实数 ，函数 的图象上总存在点 ，使得以 为圆心、 为半径 的圆上有两个不同的点到原点 的距离为 ，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 方法一：根据题意得：以 为圆心， 为半径的圆与原点为圆心， 为半径的圆有 两个交点，即 到原点距离小于 ，即 的图象上离原点最近的点到原点的距离小于 ．记 上的点 到原点 的距离为 ．因为 ，则由均值不等式知 ，当且仅当 时，等号成立．所以 ，解得 ．故 ． 方法二：首先考虑点 与点 之间的关系．记 到圆 上的最短距离为 ，最大距离为 ． 若 在圆上，如图所示， 则圆 上有一个点到 的距离为 ，所以 ． 若 在圆 内，如图所示， 显然圆上没有点到 的距离为 ，所以 ． 若 在圆外，如图所示， 则圆上有两点到 的距离为 的充分必要条件为 ． 综上， 的取值范围是 ． 记 上的点 到原点 的距离为 ．因为 ，则由均值不等式知 ，当且仅当 时，等号成立． 又因为 上存在点 ，所以必须满足 ，解得 ．故 ． 13. 定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在 满足 ，则称函数 是 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点．例如 是 上的“平均值函数”， 就是它的均值点．给出以下命题： ①函数 是 上的“平均值函数”； ②若 是 上的“平均值函数”，则它的均值点 ； ③若函数 是 上的“平均值函数”，则实数 的取值范围是 ； ④若 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点，则 ． 其中真命题有 ．（写出所有真命题的序号） 【答案】 ①③④ 【分析】 ① 由 ，可得 是它的一个均值点． ② 举一个反例．如 ， ，由题意，得 ，但 ． ③ 由 及 ，得 ，从而 ． ④ ．要证 ，即证 ，即证 ．令 ，则 ．记 ，则 ， 在 上是减函 数，从而 ，于是 成立． 14. 在平面直角坐标系 中，圆 ： ，圆 ： ．若圆 上存在一点 ，使得过点 可作一条射线与圆 依次交于 点 ， ，满足 ，则半径 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 因为 ， ． 所以 ．记 的最小值为 ，最大值为 ． 则可知当 且 时，肯定存在这样的点 ． （1）当 时，此时两圆相离，如图． 此时 ， ， 解得， ． （2）当 时，此时两圆相交或相切，如图． 因为两圆有交点，所以最小值为 ，最大值为 ，必定成立． （3）当 时，此时两圆内含，如图． 此时， ， ． 解得 ． 综上， ． 15. 存在实数 ，使得 成立，则 的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】 本小题考查二次不等式的存在性问题，结合二次函数和二次方程分析是解决本题的 关键． 【解】 由题意得，存在实数 ，使得 有负的函数值，即二次函数 的图象上存在点在 轴的下方． 因为抛物线开口向上，只须 解得 16. 由命题“存在 ，使 ”是假命题，得 的取值范围是 ，则实数 的 值是 ． 【答案】 17. 若关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 18. 已知函数 和函数 ，若对任意 ，均存 在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【解】 原命题等价于对于任意 ，存在 ，使得 ． 对于任意 ， 对于任意 ， ①当 时， ，解得 ； ②当 时， ，解得 ； ③当 时， ，解得 ． 综上所述，实数 的取值范围是 ． 19. 已知函数 与 ，若对任意的 ，都存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 若对任意的 ，都存在 ，使得 ，则有函数 的值 域是函数 值域的子集． ，有 ； ①当 时， ；有 解得 ； ②当 时， ；有 ，解得 ； ③当 时， ；有 ，解得 ； ④当 ， ；有 解得 ； 综上实数 的取值范围是 ． 20. 若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分， 则 的值为 ；若该平面区域存在点 使 成立，则实数 的取值 范围是 ． 【答案】 ； 【分析】 由已知，画出可行域如下图阴影部分 ． 联立 得 ，联立 得 ，联立 得 ．因为直线 过点 ，平面区域被直线 分为面积相等的两部 分，所以直线 过 中点 ，即 ，得 ． 若 ，则不等式 等价于 ，此时不满足已知条件； 若 ，则不等式 等价于 ，代表直线 下方，直线 过定点 ，斜率为 ，此时已知区域 都在直线 的上 方，不满足已知条件； 若 ，则不等式 等价于 ，代表直线 上方，直线 过定点 ，斜率为 ，若该平面区域存在点 使 成立，则只要满足点 或 点 满足不等式即可，此时 ，解得 ．综上， ． 21. 设函数 ． (1)若 的解集为 ，求实数 的值； 【解】 显然 ， 当 时，解集为 ， ， ，无解； 当 时，解集为 ，令 ， ， ， 综上所述， ． (2)当 时，若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的 取值范围． 【解】 当 时，令 由此可知， 在 单调减，在 和 单调增， 则当 时， 取到最小值 ， 由题意知， ，则实数 的取值范围是 ． 22. 已知二次函数 的图象过点 ． (1)记函数 在 上的最大值为 ，若 ，求 的最大值； 【答案】 ． 【解】 ①因为 过点 ， 所以 ． 所以 ， ． 因为 是开口向上的抛物线， 所以 ． 所以 两式相加得 ，即 的最大值为 ． ②由 解得 ． (2)若对任意的 ，存在 ，使得 ，求 的取值范围． 【答案】 或 ． 【解】 由题意，存在 ，使 ． 所以 ． 因为 ， 所以 ，其对称轴为 ． ①当 即 时， 在 上单调递增， 所以 ． 所以 均符合题意． ②当 即 时， 在 上递减，在 上递增且 ． 所以 ． 所以由 得： 符合题意． ③当 即 时， 在 上递减，在 上递增且 ． 所以 ． 所以由 得： ． 所以 符合题意． ④当 即 时， 在 上单调递减， 所以 ． 所以 均符合题意． 综上所述：所以 或 ． 23. 已知函数 ，若对于任意的 ， ，存在 ，使得 ，求 的取值范围． 【解】 方法一： 因为 ， 所以 ， ① 时，即 时， ， ， ， ， ② 时，即 时， ， ， ， ， 因为 恒成立，所以 ． 方法二： ， ， ， 所以 此时 ， 取等号， 所以 ． 24. 设函数 定义在 上， ，导函数 ， ． (1)求 的单调区间和最小值； 【解】 ，所以 又 ，所以 即 所以 所以 令 ，即 解得 当 时， 是减函数，故区间 是函数 的减区间； 当 时， 是增函数，故区间 是函数 的增区间； 所以 是 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以 的最小值是 (2)讨论 与 的大小关系； 【解】 设 ，则 当 时， ，即 当 时， 因此函数 在 内单调递减， 当 时， 所以 当 时， 所以 (3)是否存在 ，使得 对任意 成立？若存在，求出 的取值范 围；若不存在，请说明理由． 【解】 满足条件的 不存在．证明如下： 证法一： 假设存在 ，使 对任意 成立， 即对任意 有 但对上述的 ，取 时，有 这与①左边的不等式矛盾，因此不存在 ，使 对任意 成立． 证法二： 假设存在 ，使 对任意 成立， 由（1）知， 的最小值是 又 而 时， 的值域为 ， 当 时， 的值域为 ， 从而可以取一个值 ，使 即 所以 这与假设矛盾． 不存在 ，使 对任意 成立． 25. 已知函数 ． (1)当 时，求 在区间 上的最小值； 【解】 当 时， ， ． 因为 ， 由 ， ． 则 ， ， 关系如下 所以当 时， 有最小值为 ． (2)求证：存在实数 ，有 ． 【解】 “存在实数 ，有 ”等价于 的最大值大于 ． 因为 ， 所以当 时， ， ， 在 上单调递增， 所以 的最大值为 ． 所以当 时命题成立． 当 时，由 得 ． 则 时， ， ， 关系如下 （i）当 时， ， 在 上单调递减， 所以 的最大值 ． 所以当 时命题成立． （ii）当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调 递增． 所以 的最大值为 或 ，且 与 必有一成 立， 所以当 时命题成立． （iii）当 时， ， 在 上单调递增， 所以 的最大值为 ． 所以当 时命题成立． 综上：对任意实数 都存在 使 成立． 26. 已知函数 (1)求函数 的单调区间； 【解】 函数 的定义域是 ． 则 ． ①若 ，则 ， 在 上恒成立． 时， 的增区间为 ． ②若 ，则 ，故当 时， ， 当 时， ． 时， 的减区间为 ， 的增区间为 ． (2)试判断是否存在实数 ，使 的图象与直线 无公共点（其中自 然对数的底数 为无理数且 ）． 【解】 时，由（1）可知， 在 上的最小值为 ． 设 ， 则 在 上单调递减． ． ． 存在实数 使 的最小值大于 ，故存在实数 ，使 的 图象与直线 无公共点． 27. 已知函数 （ 为常数， ）． (1)当 在 处取得极值时，若关于 的方程 在 上恰有两个不 相等的实数根，求实数 的取值范围； 【解】 ， ， 即 ， 因为 ， 所以 ． 此时 ， 所以 上减， 上增， 又 ， ， ， 所以 ． (2)若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围． 【解】 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 所以 在 上增， 所以 ， 所以只须 ． 设 ， ， 又 ， 所以 在 的右侧需先增， 所以 ， ． 设 ，对称轴 ， 又 ， ， 所以在 上， ，即 ， 所以 在 上单调递增， 所以 ， 即 ， 于是 ， 所以 ． 28. 已知函数 ． (1)当 时，求 的单调区间和极值； 【解】 当 时， ， ， 令 得 ． 由 ， 的变化情况列表如下： 的单调增区间为 ，单调减区间为 ， ，函数的极大值 为 ，极小值为 ． (2)若存在 使 成立，求实数 的取值范围． 【解】 ， ， ． ， ，当 时，此式不成立， ， ． ， ，即 ，解得 ． 因此，实数 的取值范围为 ． 29. 已知二次函数 为偶函数， ， ．关于 的方程 有且仅有一根 ． (1)求 ， ， 的值； 【解】 由 ， 由 可得： ， 代入 得： 联立方程 解得： ， ， 所以 ， ， ． (2)若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围； 【解】 由（1）知 ，对任意的 ， 恒成立， 所以当 时， 恒成立， 当 时， ， 当 时， 所以 ， ． (3)令 ，若存在 使得 ，求实数 的取值范围． 【解】 由题意可知 ， 由 ， ， ，易证明 在 上恒成立， 所以 在 上恒成立； 由（2）知 在 恒成立， 所以 在 上恒成立． 又因为当 时， ， 所以 ， 所以 ， 即 ， ， ， 所以 ，所以 ． 30. 已知函数 ， ，其中 ． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； 【解】 函数 的定义域为 ， ． 当 时， ， ． 所以曲线 在点 处的切线方程为 ． (2)当 时，求 的单调区间； 【解】 ， ． 当 时，由 ，得 ， ． 所以在区间 和 上， ；在区间 上， ． 故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ． 当 时， ． 故 的单调递增区间是 ． 当 时，由 ，得 ， ． 所以在区间 和 上， ；在区间 上， ． 故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ． (3)若存在 ，使不等式 成立，求 的取值范围． 【解】 由题意存在 使不等式 成立，即存在 ，使 成立，只需 大于或等于 在区间 上的最小值． 令 ， ． 在区间 上， ， 为增函数； 在区间 上， ， 为减函数． 所以 在 上的最小值为 与 中的较小者． ， ， 所以 在 上的最小值为 ． 所以 ． 所以 的取值范围为 ． 31. 已知函数 （ 为常数）， ． (1)当 时，求 的单调区间； 【解】 当 时， ，其定义域为 ， 则 ，令 得 ；令 得 ， 故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． (2)若函数 在区间 上无零点，求 的最小值； 【解】 因为当 时， ， 所以函数 在区间 上不可能恒成立， 故要使函数 在区间 上无零点，只要对任意的 ， 恒成立． 即对任意的 ， 恒成立． 令 ， ，则 ， 再令 ，则 ， 由 ，知 ，故函数 在区间 上单调递减， 所以 ，即 ， 所以函数 在区间 上单调递增，则 ， 故只要 ，函数 在区间 上无零点，所以 的最小值为 ． (3)若对任意给定的 ，则 上总存在两个不同的 ，使得 成立，求 的取值范围． 【解】 由 ，当 ， ，则函数 在区间 上是增函数， 所以 ． 当 时， ，不符题意； 当 时， ； 当 时， ； 由题意有 在 上不单调，故 ，即 当 变化时， ， 变化情况如下： 又因为 时， ， ， ， 所以，对于给定的 ，在 上总存在两个不同的 ， 使得 成立，当且仅当满足下列条件 即 令 ， ， 令 ，则 ， 故 时， ，函数 单调递增； 时， ，函数 单调递减； 所以对任意的 ， ． 由 得 由 当 时，在 上总存在两个不同的 ，使得 成立． 32. 函数 在 内只取到一个最大值和一个最小 值，且当 时， ；当 时， ． (1)求出此函数的解析式； 【解】 由题意得 ， ， 所以 ．所以 ，由于点 在此函数图象上，则有 ， 因为 ，所以 ． 所以 ． (2)求该函数的单调递增区间； 【解】 当 时，即 时，原函数单调递 增． 所以原函数的单调递增区间为 ． (3)是否存在实数 ，满足不等式 ？ 若存在，求出 的范围（或值），若不存在，请说明理由． 【解】 满足 解得 ． 因为 ， 所以 ， 同理 ．由（2）知函数在 上递增，若有 只需要 ，即 成立即可，所以存在 ，使 成立． 33. 设函数 ， (1)若 与 具有完全相同的单调区间，求 的值； 【解】 因为 ，所以 当 时， ，所以 在 内单调递减； 当 时， ，所以 在 内单调递增． 又 ，由 ，得 ， 此时 ， 显然 在 内单调递减，在 内单调递增，故 ． (2)若当 时恒有 ，求 的取值范围． 【解】 当 时恒有 ，即 恒成立． 故只需 恒成立， 对 求导数可得 ． 因为 ，所以 ， 若 ，则当 时， ， 为增函数， 从而当 时， ，即 ； 若 ，则当 时， ， 为减函数， 从而当 时， ，即 ，故 不恒成立． 故 的取值范围为： ． 34. 已知：函数 （其中常数 ）． (1)求函数 的定义域及单调区间； 【解】 函数 的定义域为 ． 由 ，解得 由 ，解得 所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ． (2)若存在实数 ，使得不等式 成立，求 的取值范围． 【解】 由题意可知， ，且 在 上的最小值不大于 时，存在实数 ，使得不等式 成立． 当 ，即 时， 和 随着 的变化而变化的情况如下表： 所以 在 上的最小值为 由 ，得 当 ，即 时， 在 上单调递减，则 在 上的最小值为 由 ，得 综上所述， ． 35. 已知函数 ． (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； 【解】 当 时，由已知得 曲线 在点 处的切线的斜率为 从而曲线 在点 处的切线方程为 即所求切线方程为 ． (2)若函数 在其定义域内为增函数，求正实数 的取值范围； 【解】 由已知得 令 ，若满足题意，则只需 在 内恒成立． 当 时， 的图象为开口向上的抛物线，因为其对称轴方程为 所以 由题意得 解得 故正实数 的取值范围是 ． (3)设函数 ，若在 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数 的 取值范围． 【解】 构造函数 于是本题转化为：当 时， ． 则有 当 时，由 ，得 ，则 在 上是增函数，从而 于是 解得 当 时，由 得 所以 ，因此不符合题意． 综上，实数 的取值范围是 ． 36. 已知函数 ， ，其中 为大于零的常数， ，函数 的图象与坐标轴交点处的切线为 ，函数 的图象与直线 交点处的切线为 ，且 ． (1)若在闭区间 上存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围； 【解】 由题意，得 的图象与坐标轴的交点为 ，且 则切线 的斜率为 ． 由题意，得 的图象与直线 的交点为 ，且 则切线 的斜率为 ． 由 ，得 结合 ，解得 ． 不等式 可化为 令 ，则 由 及均值不等式，得 又 时， 由此， 时， 从而 所以 在 上是减函数，故 在 上是减函数，则 因此，实数 的取值范围是 ． (2)对于函数 和 公共定义域内的任意实数 ，我们把 的值 称为两函数在 处的偏差．求证：函数 和 在其公共定义域内的所有偏差都 大于 ． 【解】 和 公共定义域为 ． 由（1），得 令 ，则 从而 在 上是增函数，所以 即 式两边取对数，得 再用 代 ，得 由 ，得 即 从而 因此， 和 在其公共定义域内的所有偏差都大于 ． 37. 已知函数 ． (1)求函数在点 处的切线方程； 【解】 因为 ， 所以 在函数的图象上， 又 ， 所以 ， ， 所以所求切线的方程为 ，即 ． (2)当 时，求函数的单调区间与函数在 上的最值； 【解】 当 时， ， ， 令 ，则 或 ， 令 ，则 ， 所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ． 当 时，可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以最小值为 ． 又 ， ，且 ， 所以 ． 所以函数 在 上的最小值为 ，最大值为 ． (3)设 ， ，若对于任意的 ，存在 ，使得 成立，试确定 的取值范围． 【解】 若对于任意的 ， 存在 ，使 ， 则 ， 又 ，则 ， ， 所以 在 上单调递减， ． 所以 ， 设函数 ， 则 在 上单调递减， 所以 ，即 ． 所以 的取值范围为 ． 38. 设函数 ． (1)当 时，求 的极值； 【解】 解：函数 的定义域为 ， （1）当 时， 令 ，解得： 或 ．所以，当 变化时， ， 变化情况如下表： 由上表可知， ， ． (2)设 、 是曲线 上的两个不同点，且曲线在 、 两点处的切线均与 轴平 行，直线 的斜率为 ，是否存在 ，使得 ？ 若存在，请求出 的值，若不存 在，请说明理由． 【解】 设 ， ， ，由题意可得： ，又 ，所以 ， 为方程 的两个正根，故 ，且 ，即 ， 若存在实数 使得 ．则 所以 ，所以 ，即 ，又 ， ，所以 令 所以 在 上单调递增，所以 ，即 ， 与 矛盾，故不存在这样的 使 ． 39. 定义 ， ． (1)令函数 的图象为曲线 ，曲线 与 轴交于点 ， 过坐标原点 向曲线 作切线，切点为 ，设曲线 在 ， 之间的曲线段与线 段 ， 所围成的图形的面积为 ，求 的值； 【解】 ， （如图所示）， 故 ． 又过坐标原点 向曲线 作切线，切点为 ， ． 解得 ． ． (2)令函数 的图象为曲线 ，若存在实数 使得曲线 在 处有斜率为 的切线，求实数 的取值范围． 【解】 ， 设曲线 在 处有斜率为 的切线，由题设 ， ， 存在实数 ，使得 有解， 由 得 ，代入 得 ， 由 有解，得 或 ， 两者都得出 ， ． 40. 已知函数 ． (1)求函数 的单调递增区间； 【答案】 ． 【分析】 本题考查利用导数研究函数单调性． 【解】 ， ． 由 ，得 解得 ． 故 的单调递增区间是 ． (2)证明：当 时， ； 【答案】 略 【分析】 移项后研究新函数的最值问题． 【解】 令 ， ，则有 ． 当 时， , 所以 在 上单调递减,故当 时， ,即当 时， ． (3)确定实数 的所有可能取值，使得存在 ，当 ，恒有 ． 【答案】 【分析】 通过研究函数单调性解决问题． 【解】 由（2）知，当 时，不存在 满足题意． 当 时，对于 ，有 ，则 ,从而不存在 满足题意． 当 时，今 ， ，则有 ． 由 ，得 ，解得 当 时， ，故 在 内单调递增． 从而当 时， ，即 ． 综上， 的取值范围是 ． 课后练习 1. 已知 ， ，若对 ， ， ，则实数 的取值范围是 ． 2. 已知函数 （ ）， （ 为自然对数的底），当 时， ，且 ． (1)求 ； (2)求函数 可能的最大值和最小值； (3)若 ，当 ， 成立（ 是 的导函数），求最大整数 ． 3. 已知曲线 在点 处的切线与 轴垂直， ． (1)求 的值和 的单调区间； (2)已知函数 （ 为正实数），若对于任意 ，总存在 ， 使得 ，求实数 的取值范围． 4. 已知函数 ， ． (1)当 时，求函数 的单调减区间； (2)证明：对于任意正数 ，存在正数 ，使得当 时，有 ； (3)设（2）中的 的最大值为 ，求 的最大值． 5. 设函数 ． (1)求 的单调区间和极值； (2)是否存在实数 ，使得关于 的不等式 的解集为 ？若存在，求 的取值 范围；若不存在，试说明理由． 6. 已知函数 ． (1)若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ，求 的值； (2)设 的导函数是 ．在（1）的条件下，若 ，求 的最小 值； (3)若存在 ，使 ，求 的取值范围． 7. 数列 各项均为正数， ，且对任意的 ，有 ． (1)求 的值； (2)若 ，是否存在 ，使得 ，若存在，试求出 的最小值，若不存在，请 说明理由． 8. 设 ， ，其中 ． (1)求 的极大值； (2)设 ， ，若 对任意的 恒成 立，求 的最大值； (3)设 ，若对任意给定的 ，在区间 上总存在 ，使 成立，求 的取值范围． 9. 已知曲线 ． (1)求曲线在点 处的切线； (2)若存在实数 ，使得 ，求 的取值范围． 10. 已知函数 ． (1)若 ，且不等式 在 上有解，试求 的最小值； (2)若 ， 是方程 的两实根，且满足 ，试求 的范围． 11. 已知函数 ， ． (1)解不等式 ； (2)若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围． 12. 已知函数 ，其中 ． (1)求 的单调区间； (2)若对任意的 ，总存在 ，使得 ，求实数 的值． 13. 若存在实数 使 成立，求常数 的取值范围． 14. 已知数列 和 满足： ， ， ，其中 为实数， 为正整数． (1)对任意实数 ，证明数列 不是等比数列； (2)试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论； (3)设 ， 为数列 的前 项和．是否存在实数 ，使得对任意正整数 ，都有 ？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由． 15. 数列 满足 ， （ ）， 是常数． (1)当 时，求 及 的值； (2)数列 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； (3)求 的取值范围，使得存在正整数 ，当 时总有 ． 16. 设函数 ， ． (1)讨论函数 的单调性； (2)若存在 ，使得 成立，求满足条件的最大整数 ； (3)若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围． 17. 已知函数 ， 为一定点，直线 （ ）分别与 的图象和 轴交于 点 ， ，记 的面积为 ． (1)当 时，求函数 的单调区间； (2)当 时，若 ，使得 ，求 的取值范围． 18. 已知函数 ， (1)若 在 处的切线与直线 垂直，求 的值； (2)若 存在单调递减区间，求 的取值范围． 19. 如图，有一个长方形地块 ，边 为 ， 为 ．地块的一角是湿地（图中阴 影部分），其边缘线 是以直线 为对称轴，以 为定点的抛物线的一部分，现要铺设一 条过边缘线 上一点 的直线隔离带 ， ， 分别在边 ， 上（隔离带不能穿越湿 地，且占地面积忽略不计）．设点 到边 的距离为 （单位： ）， 的面积为 （单位： ）． (1)求 关于 的函数 (2)是否存在点 ，使隔离出来的 的面积 超过 ？并说明理由． 20. 设函数 ， （ 是实数， 为自然对数的底数）． (1)若 在其定义域内为单调函数，求 的取值范围； (2)若在 上至少存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围． 21. 已知函数 ． (1)当 时，试判断函数 在 上的单调性； (2)若函数 在 处取得极小值， 求实数 的取值集合 ； 问是否存在整数 ，使得 对于任意 恒成立．若存在，求出整 数 的值；若不存在，请说明理由． 存在性问题-出门考 姓名 成绩 1. 设函数 ． (1)当 时，过原点的直线与函数 的图象相切于点 ，求点 的坐标； (2)当 时，求函数 的单调区间； (3)当 时，设函数 ，若对于 ， 使 成立，求实数 的取值范围（ 是自然对数的底数， ）． 2. 设函数 ，其中 ． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)当 时，求函数 的极大值和极小值； (3)当 时，证明存在 ，使得不等式 对任意的 恒成立． 3. 已知函数 ． (1)当 时，讨论 的单调性； (2)设 ，当 时，若对任意 ，存在 ，使 ，求实数 的取值范围． 4. 已知函数 ． (1)记函数 ，求函数 的最大值； (2)记函数 若对任意实数 ，总存在实数 ，使得 成立， 求实数 的取值集合． 5. 已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数． (1)已知 ，利用上述性质，求函数 的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数 和函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的值． 6. 已知函数 ， ，其中 ． (1)若 在区间 上有零点，求实数 的取值范围； (2)设函数 是否存在实数 ，对任意给定的非零实数 ，存在唯一的非零 实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由． 7. 已知函数 ， ． (1)求函数 的零点个数，并说明理由； (2)设数列 满足 ， ，证明：存在常数 ，使得对 于任意的 ，都有 ． 8. 已知椭圆 （ ）的离心率为 ，点 和点 （ ）都在椭 圆 上，直线 交 轴于点 ． (1)求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示）． (2)设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ，问： 轴上是否存在 点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由． 9. 已知函数 ． (1)当 时，求函数 的单调区间； (2)若关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围； (3)若曲线 存在两条互相垂直的切线，求实数 的取值范围；（只需直接写出结 果） 10. 已知函数 ． (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)求函数 的单调区间； (3)设函数 ．若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值 范围． 11. 设 是函数 的一个极值点． (1)求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间； (2)设 ， ．若存在 ， 使得 成立，求 的取值范围． 12. 已知函数 ， ． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)当 时，求函数 的单调区间； (3)当 时，函数 在 上的最大值为 ，若存在 ，使得 成立， 求实数 的取值范围． 13. 已知函数 ，其中 是自然对数的底数． (1)证明： 是 上的偶函数； (2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围； (3)已知正数 满足：存在 ，使得 成立．试比较 与 的大小，并证明你的结论． 14. 已知函数 在区间 上有最大值 和最小值 ．设 ． (1)求 ， 的值； (2)证明：函数 在 上是增函数； (3)若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围． 15. 已知函数 ． (1)视 讨论函数 的单调区间； (2)若 ，对于 ，不等式 都成立，求实数 的取值范围． 16. 已知函数 （ 为自然对数的底数）． (1)求函数 的最大值； (2)设函数 ，存在实数 ， ，使得 成 立，求实数 的取值范围． 17. 已知函数 ， ，其中 ， 为自然对数 的底数． (1)若函数 的图象在点 处的切线过坐标原点，求实数 的值； (2)若 在 上为单调递增函数，求实数 的取值范围； (3)当 时，对于满足 的两个实数 ，若存在 ， 使得 成立，试比较 与 的大小． 18. 已知 ， ，定义域为 ． (1)当 ， 时，求证： ； (2)当 时，是否存在 ，使得 ? 19. 已知定义在 上的偶函数 ，当 时， ． (1)当 时，求过原点与函数 图象相切的直线的方程； (2)求最大的整数 ，使得存在 ，只要 ，就有 ． 20. 已知函数 ． (1)求 的单调区间； (2)若在 上存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围．