2019届二轮复习平面向量的概念及线性运算学案（江苏专用） 7页

【考纲解读】 要 求 备注 内 容 A 　　 B 　　 C 　　 ] 平面向量的概念 　 　 √ 　　 　 　 平 面向量 平面向量的加法、 减法及数乘运算 　 　 √ 　　 　 　 1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 2．理解向量的几何表示． 3．掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义． 4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含 义． 5．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 【直击考点】 题组一 常识题 1． 化简( 的结果是 ． [解析] 原式＝ 2． 若 2(x－1 3a)－1 2(b＋c－3x)＋b＝0，其中 a，b，c 为已知向量，则 x＝ ． 3． a 表示向东走 1 km，b 表示向南走 1 km，则 a＋b 表示向 方向走 km. [解析] 易知 a＋b 表示向东南方向走 2 km. 4．已知 M 是△ABC 的边 BC 上的中点， ＝a， ＝b，则＝ ． [解析] 1 2 ( ) ( )AB BM BO CB OM− + − +     ( ) ( )AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC+ + + + = + + + + =          AB AC 1 1, ( ) ( )2 2AB BM AM AC CM AM AM AB BM AC CM AB AC+ = + = ∴ = + + + = + = (a＋b)． 题组二　常错题 5．若四边形 ABCD 满足 ，则四边形 ABCD 的形状是 ． [解析] ，所以四边形 ABCD 是梯形． 6．若 a 与 b 是共线向量，b 与 c 是共线向量，且 b 是非零向量，则 a 与 c 的关系是 ． [解析] 由共线向量的概念知，向量 a 与向量 c 共线．注意：若 b 是零向量，则向量 a 与向量 c 的关系 不确定． 7．已知两向量 a，b，若|a|＝1，|b|＝3，则|a＋b|的取值范围是 ． [解析] 当 a 与 b 的方向相同时，|a＋b|＝4；当 a 与 b 的方向相反时，|a＋b|＝2；当 a 与 b 不共线时，2<|a ＋b|<4.综上可知，|a＋b|∈[2，4]． 题组三　常考题 8． 设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 . [解析] 因为 D，E，F 分别是 BC，CA，AB 的中点，所以 . 9． 设向量 a，b 不平行，向量λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝ ． [解析] 因为 λa＋b 与 a＋2b 平行，所以存在唯一实数 t，使得 λa＋b＝t(a＋2b)，所以{λ＝t， 1＝2t，解得 λ＝t＝ 1 2. 【知识清单】 考点 1 向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于 1 个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点 2 平面向量的线性运算 一．向量的线性运算 1 2AD BC=  / / ,| | | |AD BC AD BC≠    ED EF+ =  BE 1 1 1, , ( )2 2 2ED BA EF BC ED EF BA BC BE= − = − ∴ + = − + = −         向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： ； (2)结合律： 减法 求 a 与 b 的相反向量 －b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 二．向量的数乘运算及其几何意义 1．定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ a|； ②当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0. 2．运算律：设 λ，μ 是两个实数，则： 学, , ] ① ；② ；③ . 考点 3 共线向量 共线向量定理：向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.. 【考点深度剖析】 本节内容是平面向量的基础，向量的加法和减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要条件是本节的重 点内容．但由于本章内容不会出现高难度的题目，所以复习时应以基本内容为主． 【重点难点突破】 考点 1 向量的有关概念 【1-1】给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若 是不共线的四点，则 ＝ 是四边形 为平行四边形的充要条件； ③若 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中假命题的个数为 . 【答案】3 a b b a＋ ＝ ＋ ( +( )a b c a b c＋ ) + ＝ ＋ ( ) ( )a aλ µ λµ＝ ( )a a aλ µ λ µ＋ ＝ ＋ ( )a b a bλ λ λ＋ ＝ ＋ A B C D， ， ， AB DC ABCD 【1-2】给出下列命题： ① 的充要条件是 且 ； ②若向量 与 同向，且 ，则 ； ③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量 与向量 平行，则向量 与 的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是 ． 【答案】⑤ 学, , ] 【解析】①当 与 是相反向量时，满足 且 ，但 ≠ ，故①假； ②向量不能比较大小，故②假； ③ 与任意向量平行，故③假； ④当 与 中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假； ⑤由相等向量定义知，⑤真； ⑥ 的相反向量仍是 ，故⑥假． 【思想方法】 (1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理 解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法． (2)几个重要结论 ①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； a b＝ | |a b| ＝| a b/ / a b | |a b| >| a b> a b a b a b | |a b| ＝| a b/ / a b 0 a b 0 0 ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 【温馨提醒】忽略 与 0 的区别，把零向量 误写成 0 而致误． ] 考点 2 平面向量的线性运算 在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 ＝ ， ＝ ＋λ ，则 λ 等于 . 【答案】 【2-2】平行四边形 OADB 的对角线交点为 C，＝ ，＝ ，＝a，＝b，用 a、b 表示、、. 【答案】 = a＋ b, a＋ b， ＝ a－ b. 【解析】 ＝a－b， ＝ ＝ a－ b， ＝ a＋ b， ＝a＋b， ＝ ＋ ＝ ＝ a＋ b， ＝ a－ b. 0 0 AD 2 DB CD 1 3 CA CB 2 3 1 3 1 3 OM 1 6 5 6 ON = 2 3 2 3 MN 1 2 1 6 BA BM 1 6 BA 1 6 1 6 OM OB BM= + 1 6 5 6 OD ON OC CN= + 1 2 OD 1 6 OD 2 3 OD 2 3 2 3 MN ON OM= − 1 2 1 6 【思想方法】 1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法 则，求首尾相连向量的和用三角形法则． 2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 【温馨提醒】注意向量运算的几何意义 考点 3 共线向量 【3-1】在 中， 分别为 的中点， 相交于 点，设 ，试用 表示 . 【答案】 【3-2】已知 是△ABC 所在平面内的一点，若 ，其中 λ∈R，则点 一定在 . 【答案】AC 边所在直线上 【解析】由 得 ，∴ .则 为共线向量，又 有一个 公共点 三点共线，即点 在直线 上． 【思想方法】 1．应用共线向量定理，可以证明向量共线，也可以由向量共线确定参数的值； 2.若 不共线，则 的充要条件是 ；这一结论是解决求参数问题的重要依据； 3.若 ，则 三点共线. 【温馨提醒】向量共线的充要条件中要注意“a≠0”这一条件 ABC△ E F、 AC AB、 ,BE CF G a b， 1 1 3 3a b+ P CB PA PBλ= + P CB PA PBλ= + CB PB PAλ− = CP PAλ= ,CP PA ,CP PA P C P A∴， 、 、 P AC a b, 0a bλ µ =+ 0λ µ= = AB ACλ= , ,A B C 【易错试题常警惕】 向量线性运算应注意的问题 (1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。 (2)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个。 (3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线 且有公共点时，才能得出三点共线。 (4)利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合。 学 ]