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- 2021-06-10 发布
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2014 年高考数学二轮重难点荟萃(4)
重难点四 三角函数
新解高考考试大纲高考
考纲新解
1.了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算;理解任意角的正弦、余
弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;
2.掌握三角函数的公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)
3.能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明.
4. 掌握正弦定理、余弦定理,运用它们解三角形
1. 平方关系:sin2α+cos2α=1,1+tan2α= ,
2.诱导公式:规律:奇变偶不变,符号看象限
-α π-α π+α 2π-α 2kπ+α
sin
cos
2 2 2
3 2
3
sin
cos
sin(α±β)=sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)= ;
tan(α±β)= .
3.倍角公式
sin2α= ;cos2α= = = ;
tan2α= .
类型一:求值
例 1. 已知 tan =2,求下列各式的值:
(1)
cos9sin4
cos3sin2
; (2) 4sin2 -3sin cos -5cos2 .
变式训练 1. 已知- 02 x ,sin x+cos x= 5
1 .
典型例题
三角公式
主编:章晓峰(高考教研组组长)
副主编:林晓玲(中学优秀数学教师)
董洋洋(一线数学教师)
编委会成员:(排名不分先后)
刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌
姜 芝 胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏
(1)求 sin x-cos x 的值.(2)求
x
xx
tan1
sin22sin 2
的值.
类型二:化简
例 2. 化简: 140cos40cos2
)40cos21(40sin
2
变式训练 2.化简[2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°)]· 80sin2 2
类型三:角的变换
例 3. 已知 α ( 4
, 4
3 ),β (0,
4
),cos (α-
4
)=
5
3 ,sin( 4
3 +β)=
13
5 ,求 sin(α+β)的值.
变式训练 3:设 cos( -
2
)=-
9
1 ,sin(
2
-β)=
3
2 ,且
2
π < <π,0<β< ,
求 cos( +β).
类型四:求解析式
例 4:已知函数 baxxaxaxf 2cossin322cos 的定义域为
20 , ,值域为 [ -
5,1 ],则常数 a、b 的值分别是 .
变式训练 4: 如图为 y=Asin( x+ )的图象的一段,求其解析式.
类型五:求最值
例 5:设函数 axxxxf cossincos3)( 2 (其中 ω>0,a∈R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的
第一个最高点的横坐标为
6
.
(1)求 ω 的值;
(2)如果 )(xf 在区间 ]6
5,3[ x 的最小值为 3 ,求 a 的值.
变式训练 5:求下列函数的值域:
(1)y= x
xx
cos1
sin2sin
;
(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;
(3)y=2cos )3( x +2cosx.
类型六:求单调区间
例 6:已知函数 f(x)= )0,0)(cos()sin(3 πxx 为偶函数,且函数 y=
f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 .2
π
(Ⅰ)求 f(
8
π )的值;
(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移
6
π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原
来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.
变式训练 6:
已知函数 22()sin3sincos2cos,.fxx xxxxR
(I)求函数 ()fx的最小正周期和单调增区间;
(II)函数 的图象可以由函数 sin2( )y xxR的图象经过怎样的变换得到?
类型七:三角与不等式
例 7:设 ABC△ 的内角 A B C,,所对的边长分别为 a b c,,,且 3cos cos 5a B b A c.
(Ⅰ)求 tancotAB的值;(Ⅱ)求 tan( )AB 的最大值.
变式训练 7:(Ⅰ)在 ABC 中,已知 ,sin2
3
2cossin2cossin 22 BACCA
(1)求证: cba ,, 成等差数列;(2)求角 B 的取值范围.
类型八:三角应用题
例 8:某观测站 C 在城 A 的南 20˚西的方向上,由 A 城出发有一条公路,走向是南 40˚东,在 C
处测得距 C 为 31 千米的公路上 B 处有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后,到达 D 处,
此时 C、D 间距离为 21 千米,问这人还需走多少千米到达 A 城?
变式训练 8:如图,某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处.AB
=20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,计划在矩形区域内(含边界)且与 A,B 等距
的 O 点建污水处理厂,并铺设三条排污管道 AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为 ykm.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设 BAD (rad),将 y 表示成 的函数;
(ii)设OP x (km),将 表示成 x 的函数;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂 O 的位置,使三条污水管道的总
长度最短.
A B
C D
O
P
三角函数章节测试题
一、选择题
1. 若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)= ( )
A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x
2. 设 a>0,对于函数 )0(sin
sin)( xx
axxf ,下列结论正确的是 ( )
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
3. 函数 f(x)=
x
x
cos
2cos1 ( )
A.在[0,
2
]、
,2
上递增,在
2
3, 、
2,2
3 上递减
B.
20 , 、
2
3 , 上递增,在 、
22
3 , 上递减
C.在
,
2
、
22
3 , 上递增,在 、 上递减
D.在
2
3, 、 上递增,在 、 上递减
4. y=sin(x- 12
)·cos(x- 12
),正确的是 ( )
A.T=2π,对称中心为( ,0) B.T=π,对称中心为( ,0)
C.T=2π,对称中心为( 6
,0) D.T=π,对称中心为( 6
,0)
5. 把曲线 y cosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 ,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到的曲线
方程为 ( )
A.(1-y)sinx+2y-3=0 B.(y-1)sinx+2y-3=0
C.(y+1)sinx+2y+1=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0
6.已知,函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π) 其图象与直线 y=2 的交点的横坐标为 x1,
x2,若| x1-x2|的最小值为 π,则 ( )
A.ω=2,θ= B.ω=
2
1 ,θ=
C.ω=
2
1 ,θ=
4
D.ω=2,θ=
4
二、填空题
7. 已 sin( 4
-x)= 5
3
,则 sin2x 的值为 。
8. ]2,0[,sin2sin)( xxxxf 与 y=k 有且仅有两个不同交点,则 k 的取值范围是 .
9.已知
sin1
cot2 2
=1,则(1+sinθ)(2+cosθ)= 。
10.平移 f (x)=sin(ωx+ )(ω>0,-
2
< < ),给出下列 4 个论断:
⑴ 图象关于 x=
12
对称 ⑵图象关于点( 3
,0)对称
⑶ 周期是 π ⑷ 在[-
6
,0]上是增函数
以其中两个论断作为条件,余下论断为结论,写出你认为正确的两个命题:
(1) .(2) .
三、解答题
11.已知
2
1)4tan( ,( 1)求 tan 的值;(2)求
2
22
cos1
cossin
的值.
12. 已知 tan(α-β)= 2
1 , tan β=- 7
1 ,且 α、β∈(0, ),求 2α-β 的值.
13.已知函数
2
3cossin3)( 2 xxxcoxxf ),( RxR 的最小正周期为 π 且图象关于
6
x 对
称;
(1) 求 f(x)的解析式;
(2) 若函数 y=1-f(x)的图象与直线 y=a 在 ]2,0[ 上中有一个交点,求实数 a 的范围.
14.已知函数 )(xf =2cos2x+2 3 sinx cosx+1.
(1) 若 x∈[0,π]时, =a 有两异根,求两根之和;
(2) 函数 y= ,x∈[ 6
, 6
7 ]的图象与直线 y=4 围成图形的面积是多少?
第 3 讲参考答案:
例 1. (1)原式= 1
924
322
9tan4
3tan2
.(2)1 变式训练 1. ( 1 ) -
5
7 ,( 2 ) -
175
24
例 2. 3 变式训练 2. 原式= .62
322
例 3. ∴sin(α+β)=-cos[ 2
+(α+β)]=-cos[(α-
4
)+( 4
3 )]=
65
56
变式训练 3:.∴cos
2
=cos[( -
2
)-(
2
-β)] 75
27
∴cos( +β)=2cos2 -1=
2
752 27
-1=-
729
239 .
例 4:a、b 的值为
5
2
b
a 或
1
2
b
a 变式训练 4: 所求解析式为 y= 3 sin )3
22( x .
例 5:(1) =
2
1 (2) 由题设知- +
2
3 +a= 3 故 a=
2
13
变式训练 5:(1)函数值域为
4,2
1 .(2)令 t=sinx+cosx, 函数的值域为
2
12,1 .
(3)y=3cosx- 3 sinx 函数值域为[-2 3 ,2 3 ].
例 6:解:(Ⅰ) f(x)=2cos2x. .24cos2)8( f
(Ⅱ) g(x)的单调递减区间为
3
84,3
24 kk (k∈Z)
变式训练 6:(I) 2 .2T ()fx 的单调增区间为 , , .36k k k Z
(II) 先把 sin2yx 图象上所有点向左平移
12
个单位长度,得到 sin(2 )6yx的图象,
再把所得图象上所有的点向上平移 3
2
个单位长度,就得到 3sin(2 )62yx 的图象.
例 7:(Ⅰ)即sincos4cossinABAB ,则 tancot 4AB;
(Ⅱ)由 得 tan4tan0AB
2
tantan3tan 3tan()1tantan14tancot4tan
AB BAB AB BBB
≤3
4
故当 1tan 2,tan 2AB时, tan( )AB 的最大值为 3
4 .
变式训练 7:(2) ,2
1
8
26
8
2)(3
2
)2(
cos
22
222
ac
acac
ac
acca
ac
caca
B
∵B∈(0,π ),∴0<B≤60°,∴角 B 的取值范围是 .3,0
例 8:解:根据题意得图 02,其中 BC=31 千米,BD=20 千米,CD=21 千米,
∠CAB=60˚.设∠ACD = α ,∠CDB = β .
高
考
资
在△CDB 中,由余弦定理得:
7
1
20212
312021
2cos
222222
BDCD
BCBDCD ,
7
34cos1sin 2 .
在△ACD 中,由正弦定理得: 1514
35
2
3
21
14
35
60sin
21sinsin A
CDAD .
此人还得走 15 千米到达 A 城.
变式训练 8: (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= (rad) ,则 10
cos cos
AQOA ,
故 10
cosOB ,又 OP=1010tan 10-10ta ,
所以 10101010tancoscosyOAOBOP ,
所求函数关系式为 2010sin 10cosy
0 4
②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB= 2 2210 10 20200x x x
所求函数关系式为 22 20200010yx x x x
(Ⅱ)选择函数模型①, '
22
10coscos2010sin102sin1
cos cos
siny
令 'y 0 得 sin 1
2 ,因为0 4
,所以 = 6
,
当 0, 6
时, ' 0y , y 是 的减函数;当 ,64
时, ' 0y , 是 的增函数,
所以当 = 时, min 10103y 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上
三角函数章节测试题参考答案
1.C 2. B 3. A 4. B 5.C 6.A 7. . 25
7 8. 1<k<3 9. 4
10. (1) ②③ ①④ (2) ①③ ②④
11.解:(1) tan =-
3
1 (2) 1cos21
coscossin2
2cos1
cos2sin
2
22
=
6
5
2
1tancos2
cossin2
12.2α-β=- 4
3 13.(1 )62sin(11)62sin()( xxxf (2) 2
1
2
1 a 或 a=1
14. )(xf =2sin(2x+
6
)+2 由五点法作出 y= 的图象(略)
(1) 由图表知:0<a<4,且 a≠3 当 0<a<3 时,x1+x2=
3
4
当 3<a<4 时,x1+x2=
3
(2) 由对称性知,面积为
2
1 ( 6
7 - )×4=2π.