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  • 2021-06-10 发布

高考数学二轮重难点荟萃(4)

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2014 年高考数学二轮重难点荟萃(4) 重难点四 三角函数 新解高考考试大纲高考 考纲新解 1.了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算;理解任意角的正弦、余 弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义; 2.掌握三角函数的公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式) 3.能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明. 4. 掌握正弦定理、余弦定理,运用它们解三角形 1. 平方关系:sin2α+cos2α=1,1+tan2α= , 2.诱导公式:规律:奇变偶不变,符号看象限 -α π-α π+α 2π-α 2kπ+α sin cos  2  2  2 3  2 3 sin cos sin(α±β)=sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)= ; tan(α±β)= . 3.倍角公式 sin2α= ;cos2α= = = ; tan2α= . 类型一:求值 例 1. 已知 tan  =2,求下列各式的值: (1)   cos9sin4 cos3sin2   ; (2) 4sin2  -3sin  cos  -5cos2  . 变式训练 1. 已知- 02  x ,sin x+cos x= 5 1 . 典型例题 三角公式 主编:章晓峰(高考教研组组长) 副主编:林晓玲(中学优秀数学教师) 董洋洋(一线数学教师) 编委会成员:(排名不分先后) 刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌 姜 芝 胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏 (1)求 sin x-cos x 的值.(2)求 x xx tan1 sin22sin 2   的值. 类型二:化简 例 2. 化简: 140cos40cos2 )40cos21(40sin 2   变式训练 2.化简[2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°)]· 80sin2 2 类型三:角的变换 例 3. 已知 α ( 4  , 4 3  ),β (0, 4  ),cos (α- 4  )= 5 3 ,sin( 4 3  +β)= 13 5 ,求 sin(α+β)的值. 变式训练 3:设 cos( - 2  )=- 9 1 ,sin( 2  -β)= 3 2 ,且 2 π < <π,0<β< , 求 cos( +β). 类型四:求解析式 例 4:已知函数  baxxaxaxf  2cossin322cos 的定义域为     20 , ,值域为 [ - 5,1 ],则常数 a、b 的值分别是 . 变式训练 4: 如图为 y=Asin(  x+  )的图象的一段,求其解析式. 类型五:求最值 例 5:设函数 axxxxf   cossincos3)( 2 (其中 ω>0,a∈R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的 第一个最高点的横坐标为 6  . (1)求 ω 的值; (2)如果 )(xf 在区间 ]6 5,3[ x 的最小值为 3 ,求 a 的值. 变式训练 5:求下列函数的值域: (1)y= x xx cos1 sin2sin  ; (2)y=sinx+cosx+sinxcosx; (3)y=2cos )3( x +2cosx. 类型六:求单调区间 例 6:已知函数 f(x)= )0,0)(cos()sin(3   πxx 为偶函数,且函数 y= f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 .2 π (Ⅰ)求 f( 8 π )的值; (Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移 6 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原 来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 变式训练 6: 已知函数 22()sin3sincos2cos,.fxx xxxxR   (I)求函数 ()fx的最小正周期和单调增区间; (II)函数 的图象可以由函数 sin2( )y xxR的图象经过怎样的变换得到? 类型七:三角与不等式 例 7:设 ABC△ 的内角 A B C,,所对的边长分别为 a b c,,,且 3cos cos 5a B b A c. (Ⅰ)求 tancotAB的值;(Ⅱ)求 tan( )AB 的最大值. 变式训练 7:(Ⅰ)在 ABC 中,已知 ,sin2 3 2cossin2cossin 22 BACCA  (1)求证: cba ,, 成等差数列;(2)求角 B 的取值范围. 类型八:三角应用题 例 8:某观测站 C 在城 A 的南 20˚西的方向上,由 A 城出发有一条公路,走向是南 40˚东,在 C 处测得距 C 为 31 千米的公路上 B 处有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后,到达 D 处, 此时 C、D 间距离为 21 千米,问这人还需走多少千米到达 A 城? 变式训练 8:如图,某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处.AB =20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,计划在矩形区域内(含边界)且与 A,B 等距 的 O 点建污水处理厂,并铺设三条排污管道 AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为 ykm. (1)按下列要求建立函数关系式: (i)设 BAD (rad),将 y 表示成 的函数; (ii)设OP x (km),将 表示成 x 的函数; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂 O 的位置,使三条污水管道的总 长度最短. A B C D O P 三角函数章节测试题 一、选择题 1. 若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)= ( ) A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x 2. 设 a>0,对于函数 )0(sin sin)(  xx axxf ,下列结论正确的是 ( ) A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 3. 函数 f(x)= x x cos 2cos1 ( ) A.在[0, 2  ]、      ,2 上递增,在      2 3,  、      2,2 3 上递减 B.      20 , 、     2 3 , 上递增,在 、      22 3 , 上递减 C.在       , 2 、      22 3 , 上递增,在 、 上递减 D.在      2 3,  、 上递增,在 、 上递减 4. y=sin(x- 12  )·cos(x- 12  ),正确的是 ( ) A.T=2π,对称中心为( ,0) B.T=π,对称中心为( ,0) C.T=2π,对称中心为( 6  ,0) D.T=π,对称中心为( 6  ,0) 5. 把曲线 y cosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 ,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到的曲线 方程为 ( ) A.(1-y)sinx+2y-3=0 B.(y-1)sinx+2y-3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0 6.已知,函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π) 其图象与直线 y=2 的交点的横坐标为 x1, x2,若| x1-x2|的最小值为 π,则 ( ) A.ω=2,θ= B.ω= 2 1 ,θ= C.ω= 2 1 ,θ= 4  D.ω=2,θ= 4  二、填空题 7. 已 sin( 4  -x)= 5 3 ,则 sin2x 的值为 。 8. ]2,0[,sin2sin)(  xxxxf 与 y=k 有且仅有两个不同交点,则 k 的取值范围是 . 9.已知   sin1 cot2 2   =1,则(1+sinθ)(2+cosθ)= 。 10.平移 f (x)=sin(ωx+  )(ω>0,- 2  < < ),给出下列 4 个论断: ⑴ 图象关于 x= 12  对称 ⑵图象关于点( 3  ,0)对称 ⑶ 周期是 π ⑷ 在[- 6  ,0]上是增函数 以其中两个论断作为条件,余下论断为结论,写出你认为正确的两个命题: (1) .(2) . 三、解答题 11.已知 2 1)4tan(  ,( 1)求 tan 的值;(2)求   2 22 cos1 cossin   的值. 12. 已知 tan(α-β)= 2 1 , tan β=- 7 1 ,且 α、β∈(0,  ),求 2α-β 的值. 13.已知函数 2 3cossin3)( 2  xxxcoxxf  ),( RxR 的最小正周期为 π 且图象关于 6 x 对 称; (1) 求 f(x)的解析式; (2) 若函数 y=1-f(x)的图象与直线 y=a 在 ]2,0[  上中有一个交点,求实数 a 的范围. 14.已知函数 )(xf =2cos2x+2 3 sinx cosx+1. (1) 若 x∈[0,π]时, =a 有两异根,求两根之和; (2) 函数 y= ,x∈[ 6  , 6 7  ]的图象与直线 y=4 围成图形的面积是多少? 第 3 讲参考答案: 例 1. (1)原式= 1 924 322 9tan4 3tan2        .(2)1 变式训练 1. ( 1 ) - 5 7 ,( 2 ) - 175 24 例 2. 3 变式训练 2. 原式= .62 322  例 3. ∴sin(α+β)=-cos[ 2  +(α+β)]=-cos[(α- 4  )+(  4 3 )]= 65 56 变式训练 3:.∴cos 2   =cos[(  - 2  )-( 2  -β)] 75 27 ∴cos( +β)=2cos2 -1= 2 752 27   -1=- 729 239 . 例 4:a、b 的值为      5 2 b a 或      1 2 b a 变式训练 4: 所求解析式为 y= 3 sin )3 22( x . 例 5:(1)  = 2 1 (2) 由题设知- + 2 3 +a= 3 故 a= 2 13  变式训练 5:(1)函数值域为       4,2 1 .(2)令 t=sinx+cosx, 函数的值域为      2 12,1 . (3)y=3cosx- 3 sinx 函数值域为[-2 3 ,2 3 ]. 例 6:解:(Ⅰ) f(x)=2cos2x. .24cos2)8(  f (Ⅱ) g(x)的单调递减区间为      3 84,3 24  kk (k∈Z) 变式训练 6:(I) 2 .2T   ()fx 的单调增区间为 , , .36k k k Z   (II) 先把 sin2yx 图象上所有点向左平移 12  个单位长度,得到 sin(2 )6yx的图象, 再把所得图象上所有的点向上平移 3 2 个单位长度,就得到 3sin(2 )62yx   的图象. 例 7:(Ⅰ)即sincos4cossinABAB ,则 tancot 4AB; (Ⅱ)由 得 tan4tan0AB 2 tantan3tan 3tan()1tantan14tancot4tan AB BAB AB BBB      ≤3 4 故当 1tan 2,tan 2AB时, tan( )AB 的最大值为 3 4 . 变式训练 7:(2) ,2 1 8 26 8 2)(3 2 )2( cos 22 222    ac acac ac acca ac caca B ∵B∈(0,π ),∴0<B≤60°,∴角 B 的取值范围是 .3,0      例 8:解:根据题意得图 02,其中 BC=31 千米,BD=20 千米,CD=21 千米, ∠CAB=60˚.设∠ACD = α ,∠CDB = β . 高 考 资 在△CDB 中,由余弦定理得: 7 1 20212 312021 2cos 222222    BDCD BCBDCD , 7 34cos1sin 2   . 在△ACD 中,由正弦定理得: 1514 35 2 3 21 14 35 60sin 21sinsin  A CDAD . 此人还得走 15 千米到达 A 城. 变式训练 8: (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= (rad) ,则 10 cos cos AQOA , 故 10 cosOB  ,又 OP=1010tan 10-10ta , 所以 10101010tancoscosyOAOBOP    , 所求函数关系式为 2010sin 10cosy   0 4  ②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=  2 2210 10 20200x x x  所求函数关系式为  22 20200010yx x x x  (Ⅱ)选择函数模型①,     ' 22 10coscos2010sin102sin1 cos cos siny          令 'y  0 得 sin 1 2  ,因为0 4  ,所以 = 6  , 当 0, 6    时, ' 0y  , y 是 的减函数;当 ,64    时, ' 0y  , 是 的增函数, 所以当 = 时, min 10103y  。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上 三角函数章节测试题参考答案 1.C 2. B 3. A 4. B 5.C 6.A 7. . 25 7 8. 1<k<3 9. 4 10. (1) ②③  ①④ (2) ①③  ②④ 11.解:(1) tan  =- 3 1 (2) 1cos21 coscossin2 2cos1 cos2sin 2 22        = 6 5 2 1tancos2 cossin2    12.2α-β=- 4 3  13.(1 )62sin(11)62sin()(   xxxf (2) 2 1 2 1  a 或 a=1 14. )(xf =2sin(2x+ 6  )+2 由五点法作出 y= 的图象(略) (1) 由图表知:0<a<4,且 a≠3 当 0<a<3 时,x1+x2= 3 4  当 3<a<4 时,x1+x2= 3  (2) 由对称性知,面积为 2 1 ( 6 7  - )×4=2π.