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- 2021-06-10 发布
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第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数
考点测试33 不等关系与不等式
高考概览
考纲研读
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系
2．了解不等式(组)的实际背景
3．掌握不等式的性质及应用
一、基础小题
1．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A，B的大小关系为( )
A．AB D．不确定
答案 A
解析 因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)
＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，
故Am－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 显然①②正确；对③，m≤0时不成立；对④，m≤0时不成立．故选B．
3．设a，b∈R，若p：a B．>
C．ac>bc D．a20，故A正确；由a0时，由a|b|，即a2>b2，故D错误．故选A．
5．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB
答案 B
解析 由题意，得B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B．故选B．
6．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A．ac＞bd B．ac＜bd
C．ad＜bc D．ad＞bc
答案 B
解析 根据c＜d＜0，有－c＞－d＞0，由于a＞b＞0，故－ac＞－bd，ac＜bd．故选B．
7．已知a0，b的符号不定，对于aac B．c(b－a)>0
C．cb20，由c0知A一定正确；由b0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)<0，故ay＋bz＋cxb，c>0，则<；②若ac2>bc2，则a>b；③若a>b，c≠0，则ac2>bc2；④若a0，b<0，
∴ab<0即ab4，x－ay≤2}，则( )
A．对任意实数a，(2，1)∈A
B．对任意实数a，(2，1)∉A
C．当且仅当a<0时，(2，1)∉A
D．当且仅当a≤时，(2，1)∉A
答案 D
解析 若(2，1)∈A，则有解得a>．结合四个选项，只有D说法正确．故选D．
15．(2017·山东高考)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋＜＜log2(a＋b)
B．＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜
D．log2(a＋b)＜a＋＜
答案 B
解析 (特殊值法)令a＝2，b＝，可排除A，C，D．故选B．
16．(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A．－>0 B．sinx－siny>0
C．x－y<0 D．ln x＋ln y>0
答案 C
解析 函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，xy>0⇒<⇒－<0，故A错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sinx与siny的大小，故B错误；x>y>0xy>1ln (xy)>0ln x＋ln y>0，故D错误．
17．(2016·浙江高考)已知实数a，b，c．( )
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2<100
D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
答案 D
解析 利用特殊值法验证．令a＝3，b＝3，c＝－11．5，排除A；令a＝4，b＝－15．5，c＝0，排除B；令a＝11，b＝－10．5，c＝0，排除C．由1≥|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≥|a2＋a＋b2＋b|得－1≤a2＋a＋b2＋b≤1，即－≤a＋2＋b＋2≤，所以a＋2≤，－2<－－|c|－2－4，
得|c|<7．
所以a2＋b2＋c2<4＋4＋49＝57<100．故选D．
18．(2015·湖北高考)设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 若n＝3，则即
得9≤t6<16，即当≤t<时，有[t]＝1，[t2]＝2，[t3]＝3，∴n＝3符合题意．
若n＝4，则即
得34≤t12<53，即当≤t<时，有[t]＝1，[t2]＝2，[t3]＝3，[t4]＝4，故n＝4符合题意．
若n＝5，则即 ①
∵63<35，∴<，故①式无解，即n＝5不符合题意，则正整数n的最大值为4．
三、模拟小题
19．(2019·河南百校联盟模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由(a－b)a2≥0，解得a≥b，或a＝0，b∈R，因为a2≥0，a≥b，所以(a－b)a2≥0，故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的必要不充分条件．
20．(2018·河南六市模拟)若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2|a＋b|
答案 D
解析 ∵<<0，∴ba2，aby的一个充分不必要条件是( )
A．|x|>|y| B．x2>y2
C．> D．x3>y3
答案 C
解析 由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C．
22．(2018·山东烟台模拟)下列四个命题中，为真命题的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，c>d，则a－c>b－d
C．若a>|b|，则a2>b2
D．若a>b，则<
答案 C
解析 当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故选C．
23．(2018·安徽淮北一中模拟)若ab2；②|1
－a|>|b－1|；③>>．其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 由于a|b|>0，a2>b2，故a2＋1>b2，①正确；－a>－b>0，－a＋1>－b＋1>1，故|1－a|>|b－1|，②正确；a＋b>，③正确，故选D．
24．(2018·安徽合肥质检)下列三个不等式：①x＋≥2(x≠0)；②<(a>b>c>0)；③>(a，b，m>0且ab>c>0得<，所以<成立，所以②恒成立；－＝，由a，b，m>0且a0恒成立，故③恒成立，故选B．
25．(2018·山东德州月考)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a0，所以b＝1＋a2>a，所以ab>1，则下列不等式成立的是( )
A．aln b>bln a B．aln bbea
答案 C
解析 观察A，B两项，实际上是在比较和的大小，引入函数y＝，x>1．则y′＝，可见函数y＝在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．函数y＝在(1，＋∞)上不单调，所以函数在x＝a和x＝b处的函数值无法比较大小．对于C，D两项，引入函数f(x)＝，x>1，则f′(x)＝＝>0，所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，又因为a>b>1，所以f(a)>f(b)，即>，所以aebb>0，试比较与的大小．
解 解法一(作差法)：
－＝
＝＝．
因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．
所以>0，所以>．
解法二(作商法)：
因为a>b>0，所以>0，>0．
所以＝＝＝1＋>1．
所以>．
2．(2018·四川绵阳检测)设00且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
解 解法一：当a>1时，由00，
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，
∵0<1－x2<1，
∴loga(1－x2)<0，从而－loga(1－x2)>0，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．
当0|loga(1＋x)|．
解法二(平方作差)：
|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2
＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2
＝loga(1－x2)·loga
＝loga(1－x2)·loga>0．
∴|loga(1－x)|2>|loga(1＋x)|2，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．
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