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- 2021-06-10 发布
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对应学生用书[练案75理][练案67文]
第三讲 几何概型(文)
第六讲 几何概型(理)
A组基础巩固
一、选择题
1.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达此路口时,不需要等待就可以过马路的概率为( C )
A. B.
C. D.
[解析] 红灯、黄灯、绿灯总的时间为30+5+40=75(秒),绿灯的时间为40秒,所以当到达此路口时,不需要等待就可以过马路的概率P==,故选C.
2.在区间[-5,5]内随机地取出一个数a,则恰好使1是关于x的不等式2x2+ax-a2<0的一个解的概率为( D )
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
[解析] 由已知得2+a-a2<0,解得a>2或a<-1.故当a∈[-5,-1)∪(2,5]时,1是关于x的不等式2x2+ax-a2<0的一个解.故所求概率为P===0.7.
3.已知M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|y≥-x+2},在区域M上随机取一点A,点A落在区域N上的概率为( A )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可知,集合M表示以坐标原点为圆心,2为半径的圆及其内部,集合N表示y=-x+2的上部,所以满足条件的区域为圆中的阴影部分,且S阴影=π×22-×2×2=π-2,故所求概率为=.
4.(2019·绵阳诊断)在区间[0,2π]上随机取一个数x,则事件“cos x≥”发生的概率为( D )
A. B.
C. D.
[解析] 由cos x≥,x∈[0,2π],得x∈[0,]∪[,2π],故所求概率为=.
5.(2019·铁岭模拟)已知△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为( C )
A. B.
C. D.
[解析] 如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B、E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含F点)上时,△ABD为钝角三角形.所以△ABD为钝角三角形的概率为=.
6.(2019·益阳、湘潭两市调研)若正方形ABCD的边长为4,E为四边上任意一点,则AE的长度大于5的概率等于( D )
A. B.
C. D.
[解析] 设M,N分别为BC,CD上靠近点C的四等分点,则当E在线段CM,CN(不包括M,N)上时,AE的长度大于5,因为正方形的周长为16,CM+CN=2,所以AE的长度大于5的概率等于=,故选D.
7.(2019·武汉武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数,则这两个数的比不小于4的概率为( C )
A. B.
C. D.
[解析] 设这两个数分别为x,y,则由条件知0=1,即|CP|>1时,以点P为中点的弦的弦长小于2,由几何概型的概率公式可得,所求概率为=.
9.(2017·江苏高考)记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.
[解析] 由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,则D=[-2,3],则所求概率为=.
10.有一个底面半径为1,高为3的圆柱,点O1,O2分别是这个圆柱上底面和下底面的圆心,在该圆柱内随机取一点P,则点P到O1,O2的距离都大于1的概率是_____.
[解析] 由题意,所求概率为1-=1-=.
11.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏,被誉为“东方魔板”.如图,这是一个用七巧板拼成的正方形,其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形,3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形,7号板为一个等腰直角三角形,4号板为一个正方形,6号板为一个平行四边形.现从这个大正方形内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是_____.
[解析] 设大正方形的面积为4S,则5号板与7号板的面积之和为S,所以从这个大正方形内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是=.
12.已知菱形ABCD的边长为4,∠ABC=,若在菱形内任取一点,
则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为__1-___.
[解析] 如图,分别以A,B,C,D为圆心,1为半径作圆,∴到菱形的四个顶点的距离大于1的点构成的区域为阴影部分,易知菱形内的四个扇形的面积之和为一个整圆的面积,为π×12=π,∵∠ABC=,∴∠BAD=,∴菱形的面积为×4×4×sin×2=8,则阴影部分的面积为8-π,故所求的概率P==1-.
三、解答题
13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M.
(1)求四棱锥M-ABCD的体积小于的概率;
(2)求M落在三棱柱ABC-A1B1C1内的概率;
[解析] (1)正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M-ABCD的高为h,令×S四边形ABCD×h=,∵S四边形ABCD=1,∴h=.
若体积小于,则h<,即点M在正方体的下半部分,
∴P==.
(2)∵V三棱柱=×12×1=,
∴所求概率P1==.
14.(2019·济南调研)已知向量a=(2,1),b=(x,y).
(1)若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率;
(2)若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夹角是钝角的概率.
[解析] (1)设“a∥b”为事件A,由a∥b,得x=2y.
基本事件空间为Ω={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)},共包含12个基本事件;
其中A={(0,0),(2,1)},包含2个基本事件.
则P(A)==,即向量a∥b的概率为.
(2)设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y.基本事件空间为
Ω={(x,y)|},B={(x,y)|},
则由图可知,P(B)===,
即向量a,b的夹角是钝角的概率是.
B组能力提升
1.已知P是△ABC所在平面内一点,++2=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是( D )
A. B.
C. D.
[解析] 以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC,则+=,因为++2=0,所以=-2,由此可得P是△ABC边BC上的中线AO的中点,点P到BC的距离等于点A到BC距离的,所以S△PBC=S△ABC,所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内,黄豆落在△PBC内的概率为=.故选D.
2.(2019·郑州模拟)分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为( B )
A. B.
C. D.
[解析] 设AB=2,则S阴影=2π-4,∴=,故选B项.
3.在区间[1,5]和[2,4]上各取一个数,分别记为a,b,则方程+=1表示焦点在x轴上,且离心率小于的椭圆的概率为( B )
A. B.
C. D.
[解析] 要使方程+=1表示焦点在x轴上,
且离心率小于的椭圆,则需
即又a∈[1,5],b∈[2,4],所以得
画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易求得阴影部分的面积为4×2-×(1+3)×2-×1×=,故所求的概率P==.故选B.
4.(2019·南京模拟)已知平面区域D1={(x,y)||x|<2,|y|<2},D2={(x,y)|kx-y+2<0}.在区域D1内随机选取一点M,若点M恰好取自区域D2的概率为p,且0
0时,k∈(0,1];当k<0时,k∈[-1,0).从而k的取值范围为[-1,0)∪(0,1]. 5.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率; (2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. [解析] (1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y,则0≤x<24,0≤y<24且y-x>4或y-x <-4. 作出区域 设“两船无需等待码头空出”为事件A, 则P(A)==. (2)当甲船的停泊时间为4小时,两船不需等待码头空出,则满足x-y>2或y-x>4,设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B,画出区域 P(B)===.