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- 2021-06-10 发布
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2020届一轮复习人教B版 用向量讨论垂直与平行 作业
1.已知a,b,c分别为直线a,b,c的方向向量,且a=λb(λ≠0),b·c=0,则a与c的位置关系是( )
A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面
解析:由a=λb(λ≠0),知a∥b.
由b·c=0,知b⊥c,所以a⊥c.故选A.
答案:A
2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( )
A.33,33,-33 B.33,-33,33
C.-33,33,33 D.-33,-33,-33
解析: AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),BC=(0,-1,1).
设平面ABC的一个单位法向量为u=(x,y,z),
则u·AB=0,u·AC=0,可得x,y,z间的关系,且x2+y2+z2=1,再求出x,y,z的值.
答案:D
3.若平面α的法向量为u=(1,-3,-1),平面β的法向量为v=(8,2,2),则( )
A.α∥β B.α与β相交
C.α⊥β D.不确定
解析:∵平面α的法向量为u=(1,-3,-1),平面β的法向量为v=(8,2,2),
∴u·v=(1,-3,-1)·(8,2,2)=8-6-2=0.
∴u⊥v,∴α⊥β.
答案:C
4.给出下列命题:
①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;
②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1·n2=0;
③若n是平面α的法向量,且向量a与平面α共面,则a·n=0;
④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①②不正确.
答案:B
5.导学号90074037如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则
①A1M∥D1P;
②A1M∥B1Q;
③A1M∥平面DCC1D1;
④A1M∥平面D1PQB1.
以上结论正确的是 .(填序号)
解析:∵A1M=AM-AA1=DP-DD1=D1P,
∴A1M∥D1P.
又∵D1P⫋平面D1PQB1,∴A1M∥平面D1PQB1.
又D1P⫋平面DCC1D1,∴A1M∥平面DCC1D1.
∵D1B1与PQ平行不相等,
∴B1Q与D1P不平行.
∴A1M与B1Q不平行.
答案:①③④
6.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),BP=(x-1,y,-3).若AB⊥BC,且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z的值分别为 .
解析:∵AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),AB⊥BC,
∴(1,5,-2)·(3,1,z)=0,即3+5-2z=0,∴z=4.①
又∵BP=(x-1,y,-3),BP⊥平面ABC,
∴BP·AB=0,即(x-1,y,-3)·(1,5,-2)=0,x-1+5y+6=0.②
BP·BC=0,即(x-1,y,-3)·(3,1,4)=0,
3x-3+y-12=0.③
由①②③得x=407,y=-157,z=4.
答案:407,-157,4
7.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的值为 .
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA=a.则B(1,0,0),E12,1,0,P(0,0,a).
设点F的坐标为(0,y,0),
则BF=(-1,y,0),PE=12,1,-a.
∵BF⊥PE,∴BF·PE=0,解得y=12,则点F的坐标为0,12,0,∴F为AD的中点,∴AF∶FD=1.
答案:1
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:平面EGF∥平面ABD.
证明如图所示,由条件知BA,BC,BB1两两互相垂直,以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由条件知B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),E(0,0,3),F(0,1,4),设BA=a,则A(a,0,0),Ga2,1,4.
所以BA=(a,0,0),BD=(0,2,2),B1D=(0,2,-2),EG=a2,1,1,EF=(0,1,1).
(方法一)因为B1D·BA=0,B1D·BD=0+4-4=0,
所以B1D⊥BA,B1D⊥BD.因为BA∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.
又B1D·EG=0+2-2=0,B1D·EF=0+2-2=0.
所以B1D⊥EG,B1D⊥EF.又EG∩EF=E,
所以B1D⊥平面EFG,可知平面EGF∥平面ABD.
(方法二)设平面EGF的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则n1·EF=0,n1·EG=0,y1+z1=0,a2x1+y1+z1=0,即x1=0,y1=-z1,
令y1=1,则n1=(0,1,-1).
设平面ABD的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则n2·BA=0,n2·BD=0,ax2=0,2y2+2z2=0, 即x2=0,y2=-z2,
令y2=1,则n2=(0,1,-1).
所以n1=n2,
所以平面EGF∥平面ABD.
9.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
证明如图所示,取BC的中点O,连接AO.
因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1,以O为原点,以OB,OO1,OA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),BA1=(-1,2,3),BD=(-2,1,0).
因为n⊥BA1,n⊥BD,
故n·BA1=0,n·BD=0⇒-x+2y+3z=0,-2x+y=0.
令x=1,则y=2,z=-3,
故n=(1,2,-3)为平面A1BD的一个法向量,
而AB1=(1,2,-3),
所以AB1=n,
所以AB1∥n,故AB1⊥平面A1BD.
B组
1.设平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=( )
A.2 B.-4 C.4 D.-2
解析:∵α∥β,∴存在实数λ,使(1,2,-2)=λ(-2,-4,k),∴k=4.
答案:C
2.
如图,AB是☉O的直径,VA垂直☉O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是( )
A.MN∥AB
B.MN与BC所成的角为45°
C.OC⊥平面VAC
D.平面VAC⊥平面VBC
解析:因为M,N分别为VA,VC的中点,所以MN∥AC.
因为AB∩AC=A,所以A选项不正确.
因为AC⊥BC,所以MN与BC所成的角为90°,B选项不正确.又因为OC不垂直于AC,所以选项C不正确.
因为VA垂直☉O所在的平面,依题意可得平面VAC⊥平面VBC.
答案:D
3.
如图,定点A和B都在平面内,定点P∉α,PB⊥α,C是α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,那么C在平面α内的轨迹是( )
A.一条线段,但要去掉两个点
B.一个圆,但要去掉两个点
C.一个椭圆,但要去掉两个点
D.半圆,但要去掉两个点
解析:连接BC(图略),根据题意BC为PC在平面α内的射影.
∵PC⊥AC,根据三垂线定理的逆定理知AC⊥BC,
∴点C在以AB为直径的圆上.又C是不同于点A和B的动点,因此应去掉端点A和B.
答案:B
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.若在棱AA1上取一点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP的长为 .
解析:以A为原点,AB,AD,AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),Ea2,1,0,B1(a,0,1),故AD1=(0,1,1),B1E=-a2,1,-1,AB1=(a,0,1),AE=a2,1,0.再设P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE.此时DP=(0,-1,z0).
又设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z),
则n·AB1=0,n·AE=0,∴ax+z=0,ax2+y=0.
取x=1,得n=1,-a2,-a.
要使DP∥平面B1AE,只要n⊥DP,有a2-az0=0,解得z0=12.又DP⊈平面B1AE,
∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=12.
答案:12
5.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=2,CE=EF=1.
求证:(1)AF∥平面BDE;
(2)CF⊥平面BDE.
证明(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=12AC=1,
所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG.
因为EG⫋平面BDE,AF⊈平面BDE,
所以AF∥平面BDE.
(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,
所以CE⊥平面ABCD.
如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-xyz,
则C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),F22,22,1.
所以CF=22,22,1,BE=(0,-2,1),DE=(-2,0,1).所以CF·BE=0-1+1=0,CF·DE=-1+0+1=0.
所以CF⊥BE,CF⊥DE.
又BE∩DE=E,所以CF⊥平面BDE.
6.导学号90074038如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC.
(1)求证:AC⊥PB;
(2)设O,D分别为AC,AP的中点,点G为△OAB内一点,且满足OG=13(OA+OB),求证:DG∥平面PBC.
证明(1)因为PA⊥平面ABC,AC⫋平面ABC,
所以PA⊥AC.又因为AB⊥AC,且PA∩AB=A,
所以AC⊥平面PAB.
又因为PB⫋平面PAB,所以AC⊥PB.
(2)证法一:因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AB,PA⊥AC.又因为AB⊥AC,
所以建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
设AC=2a,AB=b,PA=2c,
则A(0,0,0),B(0,b,0),C(2a,0,0),P(0,0,2c),D(0,0,c),O(a,0,0),又因为OG=13(OA+OB),
所以Ga3,b3,0.于是DG=a3,b3,-c,BC=(2a,-b,0),PB=(0,b,-2c).
设平面PBC的一个法向量n=(x0,y0,z0),则有n·BC=0,n·PB=0,即2ax0-by0=0,by0-2cz0=0.不妨设z0=1,则有y0=2cb,x0=ca,所以n=ca,2cb,1.
因为n·DG=ca,2cb,1·a3,b3,-c=ca·a3+2cb·b3+1·(-c)=0,所以n⊥DG.
又因为DG⊈平面PBC,所以DG∥平面PBC.
证法二:取AB中点E,连接OE,则OE=12(OA+OB).由已知OG=13(OA+OB)可得OG=23OE,
则点G在OE上.
连接AG并延长交CB于点F,连接PF.
因为O,E分别为AC,AB的中点,所以OE∥BC,即G为AF的中点.又因为D为线段PA的中点,
所以DG∥PF.
又DG⊈平面PBC,PF⫋平面PBC,
所以DG∥平面PBC.