- 54.74 KB
- 2021-06-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.现有5名同学去听同时进行的6个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是 ( )
A.54 B.65
C.5×6×5×4×3×22 D.6×5×4×3×2
【解析】选B.因为每位同学均有6种讲座可选择,所以5位同学共有6×6×6×6×6=65种.
【变式备选】
植树节那天,四位同学植树,现有3棵不同的树,若一棵树限1人完成,则不同的植树方法种数有 ( )
A.1×2×3种 B.1×3种
C.34种 D.43种
【解析】选D.完成每棵树的种植都有4种方法,由分步乘法计数原理得,完成这三棵树的种植的方法总数是4×4×4=43(种).
2.芳芳同学有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则芳芳同学不同的选择方式的种数为 ( )
A.24 B.14 C.10 D.9
【解析】选B.根据题目信息可得需要分两类:一类是衬衣+裙子:分两步,衬衣有4种选择,裙子有3种选择,共有4×3=12(种);第二类是连衣裙,2种选择.故共有12+2=14(种).
3.已知椭圆x2a2+y2b2=1,若a∈{2,4,6,8},b∈{1,2,3,4,5,6,7,8},则这样的椭圆有 ( )
A.12个 B.16个 C.28个 D.32个
【解析】选C.根据题意,分4种情况讨论,
(1)a=2时,b有7种情况,
(2)a=4时,b有7种情况,
(3)a=6时,b有7种情况,
(4)a=8时,b有7种情况,
则一共有7+7+7+7=28种情况.
4.现用4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色,要求相邻的词语涂色不同,则不同的涂法种数为 ( )
A.27 B.54 C.108 D.144
【解析】选C.由题意知本题是一个分步计数问题,
首先给最左边一块涂色,有4种结果,
再给左边第二块涂色有3种结果,
以此类推第三块有3种结果,第四块有3种结果,所以根据分步乘法计数原理知共有4×3×3×3=108.
5.有1,2,3,4共四个数字,排成2行2列,要求每行数字之和不能为5,则排法的种数为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
答案:D
6.某校园有一椭圆形花坛,分成如图四块种花,现有4种不同颜色的花可供选择,要求每块地只能种一种颜色,且有公共边界的两块不能种同一种颜色,则不同的种植方法共有( )
A.48种 B.36种 C.30种 D.24种
解析:由于相邻两块不能种同一种颜色,故至少应当用三种颜色,故分两类.第一类,用4色有A44种,第二类,用3色有4A33种,故共有A44+4A33=48种.
答案:A
7.(2016·浙江宁波效实中学第一学期期末)在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则在该实验中程序顺序的编排方法共有( )
A.144种 B.96种
C.48种 D.34种
解析:首先将B,C捆绑在一起作为整体,共有A22两种,又A只能出现在第一步或者最后一步,故总的编排方法为A22×A44×2=96种,故选B.
答案:B
8.现有三种类型的卡片各10张,这些卡片除类型不同外其他全部相同,现把这三种类型的卡片分给5个人,每人一张,要求三种类型的卡片都要用上,则分法的种数为( )
A.30 B.75 C.150 D.300
解析:分为两类:第一类,5人中有3人卡片类型相同,则分法有C53A33=60种;第二类,5人中各有2人卡片类型相同,则分法有C52C32C11A22A33=90种.所以由分类加法计数原理得,分法的种数为60+90=150.
答案:C
9.(2016·湖北孝感高中高二上学期期中考试)已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8=( )
A.-180 B.45 C.-45 D.180
解析:由于(1+x)10=[2-(1-x)]10,因此其展开式的通项为Tk+1=(-1)k210-k·C10k(1-x)k,令k=8,得a8=4C108=180,故答案:为D.
答案:D
10.(2016·山东莱芜一中高三1月自主考试)在(ax+1)7的展开式中,x3项的系数是x2项系数和x5项系数的等比中项,则实数a的值为( )
A.259 B.45 C.253 D.53
解析:展开式的通项为Tr+1=C7r(ax)7-r,
∴x3项的系数是C74a3,x2项的系数是C75a2,x5项的系数是C72a5,
∵x3项的系数是x2的系数与x5项系数的等比中项,
∴(C74a3)2=C75a2×C72a5,∴a=259.故选A.
答案:A
11.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式有( )
A.264种 B.240种
C.200种 D.120种
解析:由条件上午不测“握力”,则4名同学测四个项目,有A44;下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复,如
甲
乙
丙
丁
上午
台阶
身高与体重
立定跳远
肺活量
下午
下午甲测“握力”,乙、丙、丁所测不与上午重复有2种,甲测“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”中一种有3×3=9(种),故A44(2+9)=264种.
答案:A
12.有两条平行直线a和b,在直线a上取4个点,直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有( )
A.70个 B.80个
C.82个 D.84个
解析:分两类,第一类:从直线a上任取一个点,从直线b上任取两个点,共有C41·C52种方法;第二类:从直线a上任取两个点,从直线b上任取一个点,共有C42·C51种方法.
所以满足条件的三角形共有C41·C52+C42·C51=70个.故选A.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2016·湖北孝感高中高二上学期期中考试)回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数.如121,94 249是回文数,则4位回文数有 个.
解析:4位回文数的特点为中间两位数相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步,选千位和个位数字,共有9种选法;第二步,选中间两位数字,共有10种选法.故4位回文数有9×10=90(个).
答案:90
14.某公园现有甲、乙、丙三只小船,甲船可乘3人,乙船可乘2人,丙船可乘1人,今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人),为安全起见,儿童必须由成人陪同方可乘船,则分乘这些船只的方法有 种.
解析:分两类:第一类,两个儿童同坐甲船,则三个成人应分别坐到三个船上,有A33种坐法;第二类,两个儿童分别坐甲船和乙船,有A22种坐法,三个成人应分别坐到三个船上,有A33种坐法,共有A22A33=12种坐法,所以由分类加法计数原理得,分乘这些船只的方法共有6+12=18种.
答案:18
15.(2016·辽宁沈阳高中高二上学期期中考试)设a,b是两个整数,若存在整数d,使得b=ad,称“a整除b”,记作a|b.给出命题:①2|(n2+n+1);②100|(9910-1);③5|(24n-1)(n∈N+).其中正确命题的序号是 .
解析:对于①,∵n2+n=n(n+1)必为偶数,
∴n2+n+1为奇数,即2|(n2+n+1)不正确.
对于②,9910-1=(100-1)10-1=C100·10010-C101·1009+…-C109·100,∴②正确.
对于③,24n-1=(15+1)n-1=Cn0·15n+Cn1·15n-1+…+Cnn-1·15,∴③正确.
答案:②③
16.在(2+33)100的展开式中,无理项的个数是 .
解析:Tr+1=C100r(2)100-r·(33)r=C100r·250-r2·3r3.若第r+1项为有理项,则50-r2,r3均为整数,故r为6的倍数时,第r+1项为有理项,又0≤r≤100,∴r=0,6,12,…,96,∴有理项共有17个,从而无理项共有101-17=84(个).
答案:84
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)(2016·山东青岛高二联考)从-1,0,1,2,3这5个数中选3个不同的数组成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数.
(1)开口向上的抛物线有多少条?
(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条?
解(1)要使抛物线的开口向上,必须a>0,
∴C31·A42=36(条).
(2)开口向上且不过原点的抛物线,必须a>0,c≠0,
∴C31·C31·C31=27(条).
18.(本小题满分12分)设有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个小球放入5个盒子中.
(1)若没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?
(2)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?
解(1)间接法:A55-1=119种.
(2)分为三类:
第一类,五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种;
第二类,三个球的编号与盒子的编号相同,球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C53种,球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种,所以投放方法有C53×1=10种;
第三类,两个球的编号与盒子的编号相同,球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C52种,球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种,所以投放方法有C53×2=20种.根据分类加法计数原理得,所有的投放方法有1+10+20=31种.
19.(本小题满分12分)已知2xi+1x2n,i是虚数单位,x>0,n∈N+.
(1)如果展开式中的倒数第3项的系数是-180,求n的值;
(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.
解(1)由已知,得Cnn-2(2i)2=-180,即4Cn2=180,所以n2-n-90=0,又n∈N+,解得n=10.
(2)2xi+1x210展开式的通项为Tk+1=C10k·(2xi)10-kx-2k=C10k(2i)10-kx5-52k.
因为系数为正实数,且k∈{0,1,2,…,10},
所以k=2,6,10.
所以所求的项为T3=11 520,T7=3 360x-10,T11=x-20.
20.导学号43944023(本小题满分12分)(2016·浙江宁波效实中学第一学期)设n≥2,n∈N,2x+12n-3x+13n=a0+a1x+a2x2+…+anxn.
(1)求a0+a1+a2+…+an.
(2)记|ak|(0≤k≤n)的最小值为Tn.
①求T8;②若n为奇数,求Tn.
解(1)令x=1,
即可得a0+a1+a2+…+an=52n-103n;
(2)①由题意得|ak|=C8k|22k-8-32k-8|,
∴当k=4时,T8=|a4|=0;
②由①可知|ak|=Cnk|22k-n-32k-n|,
∴当kn2时,|ak|=Cnk(32k-n-22k-n)≥Cnk≥Cn0>|a0|,
综上Tn=12n-13n.
21.导学号43944024(本小题满分12分)在(x-y)11的展开式中,求:
(1)通项Tr+1;
(2)二项式系数最大的项;
(3)项的系数绝对值最大的项;
(4)项的系数最大的项;
(5)项的系数最小的项;
(6)二项式系数的和.
解(1)Tr+1=(-1)rC11rx11-ryr.
(2)二项式系数最大的项为中间两项:T6=-C115x6y5,T7=C116x5y6.
(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项:
T6=-C115x6y5,T7=C116x5y6.
(4)因为中间两项系数的绝对值相等,一正一负,第7项为正,故项的系数最大的项为T7=C116x5y6.
(5)项的系数最小的项为T6=-C115x6y5.
(6)二项式系数的和为C110+C111+C112+…+C1111=211.
22.导学号43944025(本小题满分12分)已知(x2+1)n展开式中的各项系数之和等于165y2+1y5的展开式的常数项,若(x2+1)n的展开式中系数最大的项等于54,求x的值.
解165y2+1y5的展开式的通项为
Tr+1=C5r165y25-r1yr=1655-rC5r·y20-5r2.
令20-5r2=0,得r=4,
∴展开式的常数项为T5=C54×165=16.
∵(x2+1)n展开式中的各项系数之和等于2n,
∴2n=16,∴n=4.
又(x2+1)n展开式中系数最大的项是中间项,即第3项,
∴C42x4=54,∴x=±3.