【数学】2020届一轮复习人教A版正弦定理、余弦定理作业 6页

‎2020届一轮复习人教A版 正弦定理、余弦定理 作业 一、选择题 ‎1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东10° B．北偏西10°‎ C．南偏东80° D．南偏西80°‎ 解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎2．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　)‎ A．15 km B．30 km C．45 km D．60 km 解析：选B.如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，‎ 所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.‎ 在△AMB中，由正弦定理，得＝，‎ 解得BM＝30，故选B.‎ ‎3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)‎ A．8 km/h B．6 km/h C．2 km/h D．10 km/h 解析：选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.‎ ‎4．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．75°‎ 解析：选B.依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，‎ 所以在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ ‎5．(2018广西来宾一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)‎ A.　　 B．　‎ C． D． ‎【答案】C ‎【解析】∵cos A＝＝＝，且A∈，∴A＝.故选C.‎ ‎6．(2018江苏泰州调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2－c2)tan C＝ab，则角C的大小为(　　)‎ A.或　　 B．或 C. D． ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，＝⇒cos C＝，∴sin C＝.又C∈(0，π)，∴C＝或.故选A.‎ ‎7．(2018南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2　sin B，则A＝(　　)‎ A．150°　 B．120°‎ C．60° D．30°‎ ‎【答案】D ‎【解析】由a2－b2＝bc，得sin2A－sin2B＝sin B·sin C，‎ ‎∵sin C＝2　sin B，∴sin A＝sin B，∴c＝2　b，a＝b，‎ 由余弦定理得cosA＝＝，∴A＝30°.故选D.‎ ‎8．(2018安徽池州一模)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)‎ A.　　 B．　‎ C． D． ‎【答案】C ‎【解析】∵b＝c，∴B＝C.‎ 又由A＋B＋C＝π得B＝－.由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得sin2A＝2sin2B·(1－sin A)，即sin2A＝2sin2(1－sin A)，即sin2A＝2cos2(1－sin A)，即4sin2cos2＝2cos2(1－sin A)，‎ 整理得cos2＝0，即cos2(cos A－sin A)＝0.‎ ‎∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos≠0，‎ ‎∴cos A＝sin A．又0＜A＜π，∴A＝.‎ 二、填空题 ‎9．(2018江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sin A＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.‎ ‎10．(2018山西名校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b2＋c2＝2a2，则cos A的最小值为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为b2＋c2＝2a2，则由余弦定理可得a2＝2bccos A，‎ 所以cos A＝＝×≥×＝(当且仅当b＝c时等号成立)，即cos A的最小值为.‎ 三、解答题 ‎11．(2018河北衡水模拟)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos A＝bcos C＋ccos B.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．‎ ‎【解】(1)由题意及正弦定理得2sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A．　‎ ‎∵sin A≠0，∴cos A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由余弦定理得，‎ BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，即16＝4＋AC2－2AC，‎ 解得AC＝1＋，或AC＝1－(负值，舍去)．‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，‎ ‎∴＝＝，∴AD＝AC＝.‎ ‎12．(2019武汉武昌区调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos2B＋cos B＝1－cos Acos C.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等比数列；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．‎ ‎【解】(1)在△ABC中，cos B＝－cos(A＋C)．‎ 由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cos Acos C，‎ ‎∴－sin2B－(cos Acos C－sin Asin C)＝－cos Acos C，化简，得sin2B＝sin Asin C.‎ 由正弦定理，得b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．‎ ‎(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.‎ 则cos B＝＝≥＝，‎ 当且仅当a＝c时，等号成立．‎ ‎∵0＜B＜π，∴sin B＝≤＝.‎ ‎∴S△ABC＝acsin B≤×4×＝.‎ ‎∴△ABC的面积的最大值为.‎