2021届高考数学一轮复习第五章数列第3讲等比数列课件 31页

第 3 讲　等比数列 课标要求 考情风向标 1. 通过实例，理解等比数列的概念 . 2. 探索并掌握等比数列的通项公式 与前 n 项和的公式 . 3. 能在具体的问题情境中，发现数 列的等比关系，并能用有关知识解 决相应的问题 . 4. 体会等比数列与指数函数的关系 理解等比数列的概念，会用 定义证明一个数列是等比 数列；能利用等比中项、通 项公式与前 n 项和公式列 方程求值；善于识别数列中 的等比关系或转化为等比 关系；能利用通项公式或前 n 项和公式解决相关问题 1. 等比数列的定义 公比 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项的比等于 同一常数 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫 做等比数列的______，通常用字母 q 表示. 2. 等比数列的通项公式 设等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公比为 q ，则它的通项 a n ＝ a 1 · q n － 1 . 递减 (4) 已知等比数列 { a n } ， ① 若首项 a 1 >0 ，公比 q >1 或首项 a 1 <0 ，公比 0< q <1 ，则数列 { a n } 单调递增； ② 若首项 a 1 >0 ，公比 0< q <1 或首项 a 1 <0 ，公比 q >1 ，则数列 { a n } 单调 ________ ； ③ 若公比 q ＝ 1 ，则数列 { a n } 为常数列； ④ 若公比 q <0 ，则数列 { a n } 为摆动数列 . 5. 等比数列的前 n 项和公式 设等比数列 { a n } 的公比为 q ( q ≠ 0) ，其前 n 项和为 S n . 当 q ＝ 1 时， S n ＝ ________ ； 6. 等比数列前 n 项和的性质 若 q ≠ － 1 的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 仍是等比数列 . na 1 1.(2017 年新课标 Ⅱ ) 我国古代数学名著 《 算法统宗 》 中有 如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八 十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏 灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的 顶层共有灯 ( ) A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 解析： 设塔的顶层共有灯 x 盏，则各层的灯数构成一个首 项为 x ，公比为 2 的等比数列，结合等比数列的求和公式有 S 7 ＝ ＝ 381 ，解得 x ＝ 3. 即塔的顶层共有灯 3 盏 . 故选 B. B 3. (2015 年新课标 Ⅰ) 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ， S n 为 { a n } 的前 n 项和，若 S n ＝ 126 ，则 n ＝ ______. 6 4. (2017 年新课标 Ⅲ) 设等比数列 { a n } 满足 a 1 ＋ a 2 ＝－ 1 ， a 1 － a 3 ＝－ 3 ，则 a 4 ＝ _______. － 8 考点 1 等比数列的基本运算 例 1 ： (1) (2018 年新课标Ⅰ ) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和， 若 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，则 S 6 ＝ ________. 答案： － 63 (2) (2016 年新课标 Ⅰ) 设等比数列 { a n } 满足 a 1 ＋ a 3 ＝ 10 ， a 2 ＋ a 4 ＝ 5 ，则 a 1 a 2 · … · a n 的最大值为 __________. 答案： 64 答案： 32 【规律方法】 在解决等比数列问题时，已知 a 1 ， a n ， q ， n ， S n 中任意三个，可求其余两个，称为 “ 知三求二 ”. 而求得 a 1 和 q 是解决等比数列 { a n } 所有运算的基本思想和方法 . 考点 2 等比数列的基本性质及应用 例 2 ： (1) (2019 年江西新余模拟 ) 已知等比数列 { a n } 中， a 2 ＝ 2 ， a 6 ＝ 8 ，则 a 3 a 4 a 5 ＝ ( 　　 ) A.±64 C.32 B.64 D.16 答案： B (2) 若等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2e 5 ， 则 ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ ________. 解析： ∵ a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2 a 10 a 11 ＝ 2e 5 ，∴ a 10 a 11 ＝ e 5 . ∴ ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ ln( a 1 a 2 · … · a 20 ) ＝ ln[( a 1 a 20 )·( a 2 a 19 )· … ·( a 10 a 11 )] ＝ ln( a 10 a 11 ) 10 ＝ 10ln( a 10 a 11 ) ＝ 10ln e 5 ＝ 50ln e ＝ 50. 答案： 50 (3) 等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S 2 ＝ 7 ， S 6 ＝ 91 ，则 S 4 为 为 ( ) A.28 C.21 B.32 D.28 或－ 21 解析： ∵ { a n } 为等比数列，∴ S 2 ， S 4 － S 2 ， S 6 － S 4 也为等比 答案： A 数列 . 即 7 ， S 4 － 7,91 － S 4 成等比数列 . ∴ ( S 4 － 7) 2 ＝ 7(91 － S 4 ). 解得 S 4 ＝ 28 或 S 4 ＝－ 21. ∵ S 4 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 1 q 2 ＋ a 2 q 2 ＝ ( a 1 ＋ a 2 )·(1 ＋ q 2 ) ＝ S 2 (1 ＋ q 2 )> S 2 ， ∴ S 4 ＝ 28. (4) 已知 { a n } 是等比数列，且 a n >0 ， a 2 a 4 ＋ 2 a 3 a 5 ＋ a 4 a 6 ＝ 25 ， 那么 a 3 ＋ a 5 的值为 ( 　　 ) A.5 B.10 C.15 D.20 答案： A 【规律方法】 (1) 解决给项求项 问题，先考虑利用等比数列 的性质 “ 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N * ) ，则 a m a n ＝ a p a q ” ， 再考虑基本量法. (2) 等比数列前 n 项和的性质：若 q ≠ － 1 的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 仍是等比数列 . 考点 3 等差与等比数列的混合运算 【 跟踪训练 】 1. (2017 年新课标 Ⅱ ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ， a 1 ＝－ 1 ， b 1 ＝ 1 ， a 2 ＋ b 2 ＝ 2. (1) 若 a 3 ＋ b 3 ＝ 5 ，求 { b n } 的通项公式； (2) 若 T 3 ＝ 21 ，求 S 3 . 思想与方法 ⊙分类讨论与转化化归思想在数列中的应用 例题： (2015 年福建 ) 若 a ， b 是函数 f ( x ) ＝ x 2 － px ＋ q ( p >0 ， q >0)的两个不同的 零点，且 a ， b ，－2 这三个数可适当排序后 成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p ＋ q 的值等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案： D 【跟踪训练】 2. 设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1 ＝ 1 ， ( n ＋ 1) a n ＋ 1 ＝ ( n － 1) S n ，则 S n ＝ _________. 1. 等比数列的判定方法 . (4) 类比思想：等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数 列中的“积”“幂”相类比 . 关注它们之间的异同有助于类比 思想的推广，更有利于我们从整体上把握，使我们的学习达到 事半功倍的效果 . 3. 求和时应特别注意 q ＝ 1 时， S n ＝ na 1 这一特殊情况 . 4. 在等比数列中， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 未必成等比数列 ( 例如：当公比 q ＝－ 1 ，且 n 为偶数时， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 不成等比数列；当 q ≠ － 1 或 q ＝－ 1 ，且 n 为奇数时， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 成等比数列 ) ，但等式 ( S 2 n － S n ) 2 ＝ S n ·( S 3 n － S 2 n ) 总成立 .