【数学】2020届一轮复习人教A版 直线与圆的 位置关系 课时作业 17页

‎2020届一轮复习人教A版 直线与圆的 位置关系 课时作业 1、如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点垂直的延长线于点．求证：‎ ‎2、如图，为圆上一点，点在直线的延长线上，过点作圆的切线交的延长线于点，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求圆的半径.‎ ‎3、如图，已知圆是的外接圆,,是边上的高,是圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长.‎ ‎4、如图5,四边形是圆内接四边形,、的延长线交于点,且,.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）当,时,求的长.‎ ‎5、如下图，四边形内接于，过点作的切线交的延长线于，已知.‎ ‎（Ⅰ）若是的直径，求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：.‎ ‎6、如图，是圆的直径，弦于点，是延长线上一点，，，，切圆于，交于．‎ ‎（1）求证：△为等腰三角形；‎ ‎（2）求线段的长．‎ ‎7、如图，是以为直径的半圆上两点，且．‎ ‎（1）若，证明：直线平分；‎ ‎（2）作交于．证明：．‎ ‎8、如图，是以为直径的半圆上两点，且．‎ ‎（1）若，证明：直线平分；‎ ‎（2）作交于．证明：．‎ ‎9、如图，是半径为的上的点，在点处的切线交的延长线于点.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）若为的直径，求的长.‎ ‎10、如图，是圆的直径，，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎11、如图，是圆的直径，，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎12、如图，已知是的外接圆，，是边上的高，是的直径，过点作的切线交的延长线于点．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若，，求的长．‎ ‎13、如图，直线经过圆上的点，并且，圆交直线于点，其中在线段上.连结，.‎ ‎（1）证明：直线是圆的切线；‎ ‎（2）若，圆的半径为，求的长.‎ ‎14、如图，已知是圆的直径，点是圆上一点，过点作圆的切线，交的延长线与点，过点作的垂线，交的延长线与点.‎ ‎（1）求证：为等腰三角形；‎ ‎（2）若，，求圆的面积.‎ ‎15、已知是的外角的平分线,交的延长线于点,延长交的外接圆于点,连接.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是外接圆的直径,,求的长.‎ ‎16、如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM=m。‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若r=3m，求的值。‎ ‎17、如图，是圆的直径，弦，的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为．求证：．‎ ‎18、如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM=m。‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若r=3m，求的值.‎ ‎19、如下图，于点，以为直径的圆与交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，点在线段上移动，，与圆相交于点，求的最大值．‎ ‎20、如图,割线交圆于、两点,交圆于,在上,且满足.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若,求的长.‎ 参考答案 ‎1、答案：试题分析：从证明形式看要利用圆中的比例线段，证明四点共圆有，证明四点共圆或相似三角形可得，代入待证式右边可得结论．‎ 试题证明：连接，∵为圆的直径，∴，‎ 又，则四点共圆，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴．‎ 考点：四点共圆，相似三角形的判断，切割线定理． 2、答案：（1）详见解析（2）3‎ 试题分析：（1）证明线段成比例，一般利用三角形相似：由弦切角定理得，再由=，可得，可得，（2）先由得，再由直角三角形得，解得AB=8，即得 试题(1)由已知连接，因为 且公用，所以即 因为，所以 因为，所以，即 ‎，则，故，‎ 所以半径是.‎ 考点：三角形相似 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． ‎ ‎3、答案：（1）详见解析；（2）‎ 试题分析：（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是弧AB所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，，即可得出答案．‎ 试题解析:（Ⅰ）证明：连结，由题意知为直角三角形 因为，，‎ 所以 即 又，所以 ‎（Ⅱ）因为是圆的切线，所以，‎ 又，所以，‎ 因为，所以 所以，得,‎ 所以 考点：与圆有关的比例线段． 4、答案：（1）详见解析；（2）‎ 试题分析：（Ⅰ）证明：△APD∽△CPB，利用AB=AD，BP=2BC，证明PD=2AB；（Ⅱ）利用割线定理求AB的长．‎ 试题（1）因为四边形是圆内接四边形,‎ 所以,1分 又,所以,,‎ 而,所以,又,所以.‎ ‎（2）依题意,设,由割线定理得,‎ 即,解得,即的长为.‎ 考点：与圆有关的比例线段． 5、答案：（I）；（II）证明见解析.‎ 试题分析：（I）由弦切角等于所夹弧所对圆周角有，利用直径所对圆周角是直角，有，再由圆的内接四边形对角互补，求得 ‎；（II）因为，所以，，对应边成立比，，所以.‎ 试题 ‎（Ⅰ）与相切于点，∴，‎ 又是的直径，∴‎ 四边形内接于，∴‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ），∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 又，∴.‎ 考点：几何证明选讲. 6、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）由，，，四点共圆，得到，再得到，得出为等腰三角形；（2）由勾股定理算出,由，求出，由切割线定理求出,再求出.‎ 试题（1）证明：连接，，则，，，共圆，‎ ‎∴，∵，∴，‎ ‎∴，∴，∴△为等腰三角形．‎ ‎（2）解：由，，可得，‎ ‎∴，，∴，‎ 连接，则，‎ ‎∴．‎ 考点：1.勾股定理；2.切割线定理. 7、答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ 试题分析：（1）两直线平行则内错角相等，则由可知，，又，所以，由此可得：得证；（2）因为，所以要证，可证，根据圆周角定理和三角形相似即得．‎ 试题（1）由题设可知，，‎ 因为，所以，‎ 从而，因此，平分 ‎（2）连结，由知，，‎ 因为为直径，所以，‎ 从而，又因为，‎ 所以，‎ 因此，‎ 所以，而，‎ 所以 考点：1.圆周角定理；2.三角形相似的证明．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查的是三角形相似的证明和圆周角定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，凡是题目中涉及到类似于的，通常会使用到相似三角形等基础知识，可以根据需证明的结论找出那两个三角形相似，再利用条件进行证明． 8、答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ 试题分析：（1）两直线平行则内错角相等，则由可知，，又，所以，由此可得：得证；（2）因为，所以要证，可证，根据圆周角定理和三角形相似即得．‎ 试题（1）由题设可知，，‎ 因为，所以，‎ 从而，因此，平分 ‎（2）由知，，‎ 因为为直径，所以，‎ 从而，又因为，‎ 所以，‎ 因此，‎ 所以，而，‎ 所以 考点：1.圆周角定理；2.三角形相似的证明． 9、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）利用弦切角定理和圆周角定理能证明；（2）连结,则，由，能求出.‎ 试题（1）因为是的切线，所以,因为,所以,‎ 所以,所以.‎ ‎（2）若为的直径（如图），连结，则，由，可得，在中，因为，所以.‎ 考点：圆的综合性质. 10、答案：（1）见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）首先利用圆周角定理结合直径的性质证得，从而根据相似比使问题得证；（2）首先利用相交弦定理与射影定理求得的长，然后利用勾股定理可使问题得解．‎ 试题（1）证明：由同弧所对圆周角相等可知，，‎ 又是圆的直径，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 所以，即，．．‎ ‎（2）解：由（1）得，即，解得，‎ 由勾股定理得．‎ 考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、相交弦定理．‎ ‎【思路名师点评】解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． 11、答案：（1）见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）首先利用圆周角定理结合直径的性质证得，从而根据相似比使问题得证；（2）首先利用相交弦定理与射影定理求得的长，然后利用勾股定理可使问题得解．‎ 试题（1）证明：由同弧所对圆周角相等可知，，‎ 又是圆的直径，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 所以，即，．‎ ‎（2）解：由（1）得，即，解得，‎ 由勾股定理得．‎ 考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、相交弦定理． 12、答案：（I）证明见解析；（II）．‎ 试题分析：（I）借助题设条件运用相似三角形的性质推证；（II）借助题设运用圆幂定理及正弦定理建立方程探求．‎ 试题 ‎（I）证明：连接，由题意知为直角三角形．‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，即，又，∴．5分 ‎（II）∵是的切线，∴，‎ 又，，∴，，‎ ‎∵，又，∴．‎ ‎∴，．‎ ‎∴，，‎ ‎∴．10分 考点：相似三角形的性质和圆幂定理等有关知识的综合运用． 13、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）要整直线是圆的切线，可证；（2）由可证，由可得,代入，即可求得的长.‎ 试题（1）证明：连结.因为，∴又是圆的半径，‎ ‎∴是圆的切线.‎ ‎（2）解:因为直线是圆的切线，∴又，‎ ‎∴则有，‎ 又，故.‎ 设，则，又，故，即.‎ 解得，即.∴‎ 考点：圆切线的性质及三角形相似的应用. 14、答案：（1）见解析；（2）.‎ 试题分析：(1)欲证为等腰三角形，需证，连接线段，因为为的切线，所以，由可证；(2)由切线长定理得，又，所以有，由得，可求，，从而可求圆的面积.‎ 试题（1）连接线段，因为为的切线，所以.‎ 又因为为的直径，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 从而为等腰三角形.‎ ‎（2）由（1）知，因为为的切线，所以.‎ 所以，即.‎ 又，故.‎ 因为，所以，，，‎ 所以的面积为.‎ 考点：1.圆的性质；2.三角形相似与比例线段. 15、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）由角平分线有，同弧所对的圆周向相等，所以，而，所以，所以；（2）直径所对圆周角为直角，由此求得，进而求得，为斜边的一半，所以.‎ 试题 ‎（1）证明：平分,因为四边形内接于圆,,又.‎ ‎（2）是圆的径,‎ ‎，在中,‎ ‎,又在中,.‎ 考点：几何证明选讲. 16、答案：（1）（2）‎ 试题分析：试题（Ⅰ）证明：作交于点，作交于点.‎ 因为，，‎ 所以.‎ 从而.‎ 故 ‎（Ⅱ）因为，，‎ 所以.‎ 因为 所以.‎ 又因为，所以.‎ 考点：平面几何 17、答案：试题分析：证明线段关系，一般利用三角形相似、圆中相交弦定理进行论证：先证四点共圆，得，再根据Rt∽Rt，得，因此 ‎．‎ 试题 证明：连结，因为为圆的直径，‎ 所以，‎ 又，，‎ 则四点共圆，‎ 所以，5分 又∽，即，‎ 所以．10分 考点：四点共圆，三角形相似、相交弦定理 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 18、答案：（1）（2）‎ 试题分析：试题（Ⅰ）证明：作交于点，作交于点.‎ 因为，，‎ 所以.‎ 从而.‎ 故 ‎（Ⅱ）因为，，‎ 所以.‎ 因为 所以.‎ 又因为，所以.‎ 考点：平面几何选讲 19、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）由于,得到,由此利用切割线定理能证明；（2）由,线段的长为定值,得到需求解线段长度的最小值,由求出结果.‎ 试题（1）在中，于点，‎ 所以，因为是圆的切线，‎ 由切割线定理得，所以 ‎（2）因为，所以，‎ 因为线段的长为定值，即需求解线段长度的最小值，‎ 弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点或重合，‎ 因此 考点：与圆有关的比例线段. 20、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）延长交圆于,证明是的中点,即可证明：；（2）延长交圆于,由割线定理得，代入数据求的长.‎ 试题（1）延长交圆于,由相交弦定理得,由已知 ‎,故,即是的中点,由垂径定理得,,‎ ‎（2）延长交圆于,由切割线定理得,设圆的半径为,则,得.‎ 考点：与圆有关的比例线段. ‎