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- 2021-06-10 发布
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规范答题示范——等差数列与等比数列解答题
【典例】 (12分)(2017·天津卷)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).
[信息提取]
❶看到求等差数列{an}和等比数列{bn}的通项公式,想到利用基本量法分别求等差、等比数列的公差和公比;
❷看到求数列{a2nbn}的前n项和,想到利用错位相减法求数列的前n项和.
[规范解答]
[高考状元满分心得]
❶牢记等差、等比数列的相关公式:熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式,解题时结合实际情况合理选择.如第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式.
❷注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题即是在第(1)问的基础上得出数列{a2nbn},分析数列特征,想到用错位相减法求数列的前n项和.
[解题程序]
第一步:利用基本量法求{bn}的通项;
第二步:由b3=a4-2a1,S11=11b4构建关于a1与d方程(组),求an;
第三步:由第(1)问结论,表示出{a2nbn}的通项;
第四步:利用错位相减法求数列前n项和Tn.
第五步:反思检验,规范解题步骤.
【巩固提升】 (2018·德州二模)设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=1,当n≥2时,(n-1)an=(n+1)Sn-1+n(n-1),n∈N*.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)记Tn=S1+S2+…+Sn,求Tn.
(1)证明 当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
所以(n-1)(Sn-Sn-1)=(n+1)Sn-1+n(n-1),
即(n-1)Sn=2nSn-1+n(n-1),则=2×+1,
所以+1=2×,又+1=2,
故数列是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)解 由(1)知+1=·2n-1=2n,
所以Sn=n·2n-n,
故Tn=(1×2+2×22+…+n·2n)-(1+2+…+n).
设M=1×2+2×22+…+n·2n,
则2M=1×22+2×23+…+n·2n+1,
所以-M=2+22+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,
所以M=(n-1)·2n+1+2,
所以Tn=(n-1)·2n+1+2-.