高考数学复习专题练习第3讲 数学归纳法 7页

第3讲 数学归纳法 一、选择题 ‎ ‎1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取 (　　)． ‎ A．7 B．‎8 ‎ C．9 D．10‎ 解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.‎ 答案　B ‎2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是 (　　)．‎ A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立 解析　A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．‎ 答案　D ‎3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上 (　　)．‎ A. B．－ C.－ D.＋ 解析　∵当n＝k时，左侧＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，‎ 左侧＝1－＋－＋…＋－＋－.‎ 答案　C ‎4．对于不等式1，n∈N*)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．‎ 证明　(1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立；‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，‎ 则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，‎ 故当n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立．‎ ‎12．已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，与数列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．记Tn＝b‎1a1＋b‎2a2＋b‎3a3＋…＋bnan.‎ ‎(1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值；‎ ‎(2)求证：T12n＝－4n(n∈N*)．‎ ‎(1)解　a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r.‎ ‎∵48＋4r＝64，∴r＝4.‎ ‎(2)证明　用数学归纳法证明：当n∈N*时，T12n＝－4n.‎ ‎①当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立．‎ ‎②假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时，‎ T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立．‎ 根据①和②可以断定：当n∈N*时，T12n＝－4n.‎ ‎13．设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2,3，…‎ ‎(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)；‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明．‎ 解　(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1.‎ ‎(2)Sn＝＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整数n＝6.‎ 下证：n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n.‎ ‎①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；‎ ‎②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；‎ 由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)‎ 都有2n>n2＋2n成立．‎ ‎14．数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0；‎ ‎(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．‎ ‎(1)证明　先证充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c0，即xn<1－.‎ 由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③‎ 反复运用③式，得 －xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1，‎ xn<1－和 －xn<(1－)n－1两式相加，知 ‎2－1<(1－)n－1对任意n≥1成立．‎ 根据指数函数y＝(1－)n的性质，得 ‎2－1≤0，c≤，故00，即证xn<对任意n≥1成立．‎ 下面用数学归纳法证明当0xn，即{xn}是递增数列．‎ 由①②知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.‎