高一数学教案：第11讲 正切函数的图像性质与最值 7页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 正切函数的图像性质与最值 教学内容 ‎1. 熟练掌握对数函数的性质；‎ ‎2. 会应用对数函数的图像与性质解决综合问题。‎ ‎（以提问的形式让学生讨论完成）‎ ‎1. 在不同的坐标系中，分别画出正切函数图像和余切函数图像 ‎ ‎ ‎2. 归纳填表格：‎ 三角函数 正切函数 余弦函数 定义域 值域 最值 无最值 无最值 奇偶性 奇函数 奇函数 周期性 单调性 递增区间：；‎ 没有递减区间；‎ 递减区间：；‎ 没有递增区间；‎ 轴对称 没有 没有 渐进性 渐近线：‎ 渐近线：‎ 中心对称性 对称中心是及 ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1.求下列函数的定义域 解：要使函数有意义，则需满足 即 故所求函数的定义域为 试一试：求下列函数的定义域 要使函数有意义，需满足结合正切函数 的图像可得 故所求函数的定义域为 例2. 求函数的单调区间．‎ 解：是增函数．‎ ‎∴-‎ 即 ‎∴函数的单调递增区间是 试一试：求下列函数的单调区间 ‎（1） （2）‎ 解：（1）‎ 而当时，y=tanx是单调递增 ‎ 所以，函数在上是单调递减 ‎(2)将函数化为，当即时，递增 原函数的单调减区间为 例3. 求下列函数的值域（1） （2）‎ 解：（1）令 原函数的值域为 ‎(2)令 当y=1时,t=0,即tanx=0,‎ 当 即 综上所述, 原函数值域为.‎ 点评：求含有正弦函数的复合函数的值域，一般采用还原法 例4. 已知函数当函数y取得最大值时，求自变量的集合．‎ 试题分析：辅助角公式求解此类问题，为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。‎ 这里的辅助角公式如果学生不熟练可以重点讲解，也可以简单介绍一下推导过程。‎ 试一试：如何求函数的最大值和最小值？‎ 试题分析：‎ 当，，当，．‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 求函数的最小正周期．‎ 答案：‎ ‎2．求函数的值域．‎ 答案：‎ ‎3．判断函数的奇偶性．‎ 答案：奇函数 ‎4．求函数的对称中心．‎ 答案： ‎ ‎5. 求函数的最小值．‎ 试题分析：结合换元法进行求解 ‎，‎ 令则，‎ 时在上单调递减， ‎ 时在上单调递增，在上单调递增，‎ 时在上单调递减 时在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ ‎6. 已知函数的定义域为，值域为，求的值．‎ 试题分析：降幂公式、辅助角公式、正弦函数的值域；方法：转化、方程的思想. ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 本节课主要知识：正切函数图像与性质，三角函数应用辅助角公式求解最值。‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1. 求函数 的定义域．‎ 答案：‎ ‎2. 判断函数的奇偶性 ‎ 答案：非奇非偶（定义域不对称）‎ ‎3. 已知函数，，求的最大值和最小值．‎ 试题分析： . ‎ 因为，所以. ‎ 当，即时，的最大值为； ‎ 当，即时，的最小值为。‎ ‎4. 若恒成立，求实数的取值范围．‎ 试题分析：换元法求解 时， 时，，‎ 令， 则. ‎ ‎【预习思考】‎ ‎1、函数最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；其图像的对称轴是直线 ，凡是该图像与直线 ‎ 的交点都是该图像的对称中心. ‎ ‎2. 函数的图像如何变换能得到的图像.‎