【数学】2020届一轮复习通用版（文）6-4合情推理与演绎推理作业 6页

课下层级训练(三十四)　合情推理与演绎推理 ‎ [A级　基础强化训练]‎ ‎1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了(　　)‎ A．分析法　　　　　　　 B．综合法 C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法 B　[结合推理及分析法和综合法的定义可知，B正确．]‎ ‎2．给出下列三个类比结论：‎ ‎①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；‎ ‎②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；‎ ‎③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2.‎ 其中正确结论的个数是(　　)‎ A．0　　　 B．1　　　‎ C．2　　　　 D．3‎ B　[(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝，故②错误．由向量的运算公式知③正确．]‎ ‎3．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 A　[若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．]‎ ‎4．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 014次操作后得到的数是(　　)‎ A．25 B．250‎ C．55 D．133‎ D　[由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55，…. 因为每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3，又2 014＝671×3＋1，故第2 014次操作后得到的数是133.]‎ ‎5．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)‎ A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ D　[若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列．]‎ ‎6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照图中的规律，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为__________.‎ ‎6n＋2　[由题意知，第1个图中有8根火柴棒，第2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，……，依此类推，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2.]‎ ‎7．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：‎ x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________.‎ nn　[第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.]‎ ‎8．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一个城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为__________.‎ A　[由甲、乙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或B城市，结合丙的回答可得乙去过A城市．]‎ ‎9．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C．‎ 证明　∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴A＋B＞，∴A＞－B，‎ ‎∵y＝sin x在上是增函数，‎ ‎∴sin A＞sin＝cos B，‎ 同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A，‎ ‎∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C．‎ ‎10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；‎ ‎(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．‎ ‎(1)证明　∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.‎ 由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB．‎ ‎∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，‎ ‎∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．‎ ‎(2)解　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.‎ 由余弦定理得 cosB＝＝≥＝，‎ 当且仅当a＝c时等号成立．∴cosB的最小值为.‎ ‎[B级　能力提升训练]‎ ‎11．(2018·宁夏银川期末)将正整数排列如下：‎ ‎ 1‎ ‎ 2　 3　 4‎ ‎ 5　 6　 7　 8　 9‎ ‎ 10　11　12　13　14　15　16‎ ‎ …‎ 则图中数2 016出现在(　　)‎ A．第44行第81列 B．第45行第81列 C．第44行第80列 D．第45行第80列 D　[由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 016＜2 025，所以2 016在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 016－1 936＝80，故2 016在第45行第80列．]‎ ‎12．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程 eq (2＋x)＝x确定x＝2，则1＋＝(　　)‎ A． B． C． D． C　[设1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝(x＝舍)，故1＋＝.]‎ ‎13．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说：“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是__________.‎ ‎1和3　[由丙说：“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎可知，丙为“1和‎2”‎或“1和‎3”‎，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，所以乙只可能为“2和‎3”‎，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，所以甲只能为“1和‎3”‎．]‎ ‎14．(2019·浙江绍兴月考)已知cos ＝，‎ cos cos ＝，‎ cos cos cos ＝，‎ ‎……‎ ‎(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是__________；‎ ‎(2)若数列{an}中，a1＝cos ，a2＝cos cos ，a3＝cos cos cos ，…，前n项和Sn＝，则n＝__________.‎ ‎(1)cos cos ·…·cos ＝(n∈N*)　(2)10　[(1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为，故可以猜想出结论为cos ·cos ·…·cos ＝(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)可知an＝，故Sn＝＝1－＝＝，解得n＝10.]‎ ‎15．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．‎ 解　如图，由射影定理得 AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，‎ AC2＝DC·BC，‎ 故＋＝＋＝＝＝.‎ 在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H.‎ 则＝＋＋.‎ 证明：连接BH并延长交CD于E，连接AE.‎ ‎∵AB，AC，AD两两垂直，‎ ‎∴AB⊥平面ACD，又∵AE⊂平面ACD，‎ ‎∴AB⊥AE，在Rt△ABE中，‎ ＝＋①‎ 又易证CD⊥AE，‎ 故在Rt△ACD中，＝＋②‎ 把②式代入①式，得＝＋＋.‎ ‎16．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ 解　(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos2 15°－sin15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.　证明如下：‎ 法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2‎ ‎－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝.‎ 法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ‎ ‎＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)‎ ‎－sin αcos α－sin2α ‎＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α ‎－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.‎