高考数学复习专题练习第3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” 6页

第3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”‎ 一、选择题 ‎1．已知命题p：存在n∈N,2n>1 000，则綈p为(　　)‎ A．任意n∈N,2n≤1 000‎ B．任意n∈N,2n>1 000‎ C．存在n∈N,2n≤1 000‎ D．存在n∈N,2n<1 000‎ 解析：由特称命题的否定为全称命题知，綈p为任意n∈N,2n≤1 000，故选A.‎ 答案：A ‎2．命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是(　　)‎ A．所有能被2整除的整数都是奇数 B．所有不能被2整除的整数都不是奇数 C．存在一个能被2整除的整数是奇数 D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数 解析：命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.‎ 答案：D ‎3．下列命题中的真命题是 (　　)．‎ A．存在x∈R，使得sin x＋cos x＝ B．任意x∈(0，＋∞)，ex>x＋1‎ C．存在x∈(－∞，0)，2x<3x D．任意x∈(0，π)，sin x>cos x 解析　因为sin x＋cos x＝sin≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图像在y＝3x的图像上方，故C错误；因为x∈时有sin x0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　)‎ A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)‎ B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)‎ C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)‎ D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)‎ 解析：f′(x)＝2ax＋b，则f′(x0)＝0.∵a>0，易证f(x)在x＝x0处到得极小值，则∀x，有f(x)≥f(x0)，故选C.[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ 答案：C ‎5．命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是(　　)‎ A．“p或q”是真命题　　　　 B．“p或q”是假命题 C．綈p为假命题 D．綈q为假命题 解析：∵当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝‎ 综上可知，“p或q”是假命题，选B.‎ 答案：B ‎6．已知命题p：“任意x∈[1，2]都有x2≥a”．命题q：“存在x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0成立”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为 (　　)．‎ A．(－∞，－2] B．(－2，1)‎ C．(－∞，－2]∪{1} D．[1，＋∞)‎ 解析　若p是真命题，即a≤(x2)min，x∈[1，2]，所以a≤1；若q是真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，则Δ＝‎4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命题“p且q”是真命题，则p是真命题，q也是真命题，故有a≤－2或a＝1.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．给定下列几个命题：‎ ‎①“x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件；[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；‎ ‎③等底等高的三角形是全等三角形的逆命题．‎ 其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)‎ 解析 ①中，若x＝，则sin x＝，‎ 但sin x＝时，x＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)．‎ 故“x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件，‎ 故①为真命题；‎ ‎②中，令p为假命题，q为真命题，‎ 有“p∨q”为真命题，‎ 而“p∧q”为假命题，‎ 故②为假命题；‎ ‎③为真命题．[来源XXK]‎ 答案 ①③‎ ‎8．存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．‎ 解析　要使x2－4bx＋3b<0成立，只要方程x2－4bx＋3b＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b2－12b>0，解得b<0或b>.‎ 答案　(－∞，0)∪ ‎9．已知命题“任意x∈R，x2－5x＋a>‎0”‎的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．‎ 解析 由“任意x∈R，x2－5x＋a>‎0”‎的否定为假命题，可知命题“任意x∈R，x2－5x＋a>‎0”‎为真命题，即不等式x2－5x＋a>0恒成立，故Δ＝25－4×‎ a<0，‎ 解得a>，即a的取值范围为.‎ 答案 ‎10．下列结论：‎ ‎①若命题p：存在x∈R，tan x＝；命题q：任意x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p且綈q”是假命题；‎ ‎②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；‎ ‎③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝‎1”‎的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠‎0”‎．其中正确结论的序号为________．‎ 解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且綈q为假命题，故①正确；‎ ‎②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；‎ ‎③正确．所以正确结论的序号为①③.‎ 答案　①③‎ 三、解答题 ‎11．写出下列命题的否定，并判断其真假．‎ ‎(1)p：任意x∈R，x2－x＋≥0；‎ ‎(2)q：所有的正方形都是矩形；‎ ‎(3)r：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；‎ ‎(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.‎ 解 (1)綈p：存在x∈R，x2－x＋<0，假命题．‎ ‎(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．‎ ‎(3)綈r：任意x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．‎ ‎(4)綈s：任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．‎ ‎12．已知命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a ‎＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ 解 由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．‎ p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1；‎ q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x∈R使f(x)＝0，‎ 只需Δ＝‎4a2－4(2－a)≥0，‎ 即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，‎ 所以命题q：a≥1或a≤－2.‎ 由得a＝1或a≤－2‎ ‎∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.‎ ‎13．已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．‎ 解　由命题p为真知，0，‎ 若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，‎ 则p、q中必有一真一假，‎ 当p真q假时，c的取值范围是0