2020-2021学年高二数学上册同步练习：直线与圆的综合 13页

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：直线与圆的综合 一、单选题 1．直线 35 42yx和圆 x2+y2–4x+2y–20=0 的位置是（ ） A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相离 D．相切 【答案】A 【解析】圆 x2+y2–4x+2y–20=0 即（x–2）2+（y+1）2=25，表示以 C（2，–1）为圆心、5 为半径的圆， 圆心到直线 35 42yx即 3x–4y–10=0 的距离 d= 22 6 4 1 0 0 34    ，∴直线 35 42yx和圆 x2+y2–4x+2y– 20=0 的位置关系为相交且过圆心． 故选 A． 2．圆 x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 的圆心到直线 x－y＝1 的距离为（ ） A．2 B． 2 2 C．1 D． 【答案】D 【解析】圆心为  1 , 2 ,点到直线 10xy 的距离为 2 2 2  . 故选 D. 3．过 (2,2)P 的直线 l 与圆 222220xyxy 相交于 A，B 两点，且| | 2 3AB  ，则直线 l 的方程为 （ ） A． 4320xy B． 或 2x  C． 或 2y  D． 或 【答案】B 【解析】作 OM⊥AB 于 M，由题意可知 AM= 3 ,OA=2，圆心坐标为（1，-1） 所以 OM=  222 3 1 ,即圆心到直线的距离为 1，如下图所示 当直线斜率不存在时，直线方程为 x=2，此时圆心到直线距离为 1，复合要求 当直线斜率存在时，设直线方程为  22y k x   ，即 220kxyk 由点到直线距离公式可知 2 122 1 1 kkd k   解方程得 4 3k  ，所以直线方程为  4 223yx   ，即 4 3 2 0xy   综上所述，直线方程为 2x  或 4 3 2 0?xy   所以选 B 4．一辆卡车宽 1.6 米,要经过一个半径为 3.6 米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得 超过（ ） A．1.4 米 B．3.5 米 C．3.6 米 D．2 米 【答案】B 【解析】由题意，以圆心作为原点建立如图平面直角坐标系： 易知半圆的方程为：  2212.96 0x y y   ，令 0.8x  ，解得 3.5y  . 故选 B. 5．y＝|x|的图象和圆 x2＋y2＝4 所围成的较小的面积是（ ） A． π 4 B． 3π 4 C． 3π 2 D．π 【答案】D 【解析】在平面直角坐标系中绘制函数 y＝|x|与圆 x2＋y2＝4 的图象； 如图所示，为半径为 2 的圆的 1 4 ，  面积为 21 2=4  . 故选 D. 6．点 ( 1,1)P  为圆 22( 1 ) 2 5xy的弦 AB 的中点，则直线 的方程为（ ） A． 20xy B． 20xy   C． 2 3 0xy   D． 2 3 0xy   【答案】C 【解析】由圆（x﹣1）2+y2=25，得到圆心 C 坐标为（1，0）， 又 P（-1，1），∴kPC= 0 1 1 1 ( 1) 2   =1， ∴弦 AB 所在的直线方程斜率为 2，又 P 为 AB 的中点， 则直线 AB 的方程为 121yx﹣ （ ） 230xy . 故选 C． 7．若圆 222 2 1 0x y x y     的面积被直线 10axby （ 0a  ， 0b  ）平分，则 ab 的最大值是 （ ） A． 1 16 B． C． 4 D．16 【答案】B 【解析】圆 222210xyxy  的圆心为 11， 有题意可得  1 0 0a b a b   ， ， 即有 2 1 24 abab  当且仅当 ab 时，取得最大值 1 4 故选 B 8．过点 ( 2 ,4 )P  作圆C ： 2()32fxaxbx 的切线l ，直线 m ： 30a x y与直线 平行，则直线 与 之间的距离为（ ） A． 8 5 B． 12 5 C．4 D．2 【答案】C 【解析】求得圆的圆心为 C（2，1） 设点 Q（x、y）为切线 l 上一个动点，则 PQ =（x+2，y﹣4），CP =（﹣4，3） ∵PQ⊥CP，∴ • =﹣4（x+2）+3（y﹣4）=0 化简得 4x﹣3y+20=0 ∵直线 m：ax﹣3y=0 与直线 l 平行， ∴a=4，可得 m 方程为 4x﹣3y=0，两条平行线的距离为 d= 200 4 169    ． 故选 C 9．若直线  : 0 0l mx ny m n n     将圆  2 2(:34 )2yCx 的周长分为 2:1 两部分，则直线 的 斜率为（ ） A．0 或 3 2 B．0 或 4 3 C． 4 3 D． 【答案】B 【解析】设直线与圆的交点为 A，B， 由题意可得△ABC 是顶角为 120°的等腰三角形， 则几何关系可得圆心到直线的距离为 1， 即: 22 32 1m n m nd mn     整理可得：m（3m+4n）=0， 当 m=0 时，直线的斜率为 0， 否则，则直线 l 的斜率为： 4 3 mk n   ． 故选 B． 10．与圆 22420xyy 相切，且在 x，y 轴上的截距相等的直线有（ ） A．3 条 B．4 条 C．5 条 D．6 条 【答案】A 【解析】由圆的方程得圆心为(0,2),半径为 2 ； 而该直线在 x 轴、y 轴上的截距相等可得斜率 k=±1，所以设直线方程为 y=±x+b； 由直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径即 2 2 11 bd   ，解得 b=0 或 b=4； 当 b=0 时,y=x 或 y=−x;当 b=4 时,y=x+4(舍去)或 y=−x+4， 故选 A. 11．若函数   241yx 的图象与直线 20x y m   有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A． 251251， B． 2 5 11， C． 2511， D．  31 ， 【答案】B 【解析】函数  241yx  可化简为：   2 2140xyy ，表示的是以（1，0）为圆心， 2 为半径的圆的下半部分，与直线 20xym 有公共点，根据题意画出图像： 一个临界是和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径， 1+ 2 2 5 1 5 m m     正值舍去； 另一个临界是过点（-1，0）代入得到 m=1. 故选 B. 12．设圆 C： 223xy，直线 l： 3 6 0xy   ，点  00,P x y l ，若存在点QC ，使得 60OPQ   （O 为坐标原点），则 0x 的取值范围是（ ） A． 1 ,12  B． 60, 5   C．  0,1 D． 16,25  【答案】B 【解析】由分析可得： 222 00P O x y 又因为 P 在直线 l 上，所以 00( 3 6 )xy   要使得圆 C 上存在点 Q，使得 60O P Q   ，则 2PO„ 故 2222 0000 103634POxyyy  „ 解得 0 8 25 y剟 ， 0 60 5x剟 即 的取值范围是 6[0 , ]5 ， 故选 B． 二、填空题 13．已知 AB 是圆 C： 224220xyxy 的一条弦，  1,0M 是弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为 ______. 【答案】 10xy 【解析】根据题意，圆 C： ，即    22213xy ，其圆心 C 为  2 , 1 ， 是弦 AB 的中点，则直线 CM 与直线 AB 垂直， 又由  01112CMK   ，则 1ABK  ， 则直线 AB 的方程为  01yx   ，即 ， 故填 14．一座圆拱（圆的一部分）桥，当拱顶距离水面 2m 时，水面宽为12m.当水面下降 后，水面宽为______ m . 【答案】16 【解析】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系， 所以圆的方程为： 222 ()(0)xybbb ，拱顶距离水面 2 m 时，水面宽为 12 m ，因此 (6,2),(6,2)AB ，把点 (6 , 2)A  的坐标代入圆方程中得： 2226(2)10,10bbbb  （舍去），所以圆的方程为： 22(10)100xy ， 当水面下降 时，设 ' ( , 4 )Ax ，代入圆方程得： 22(410)1008xx  ，所以 ' ( 8 , 4 )A  ， 该点关于纵轴的对称点的坐标为 ' ( 8 , 4 )B  ，因此此时水面宽为 8 ( 8 ) 1 6   . 故填 16 15．过原点作圆 22( 6) 9xy   的两条切线，则两条切线所成的锐角是______． 【答案】 60 【解析】根据题意作出图像如下：其中 ,O A O B 是圆的切线， ,AB为切点， C 为圆心， 则 ACAO 由圆的方程  22 69xy   可得：圆心  0,6C ，圆的半径为： 3r  ， 在 R t A O C 中，可得： 30C O A，又 OC 将 A O B 平分， 所以 60A O B， 故填 60 16．若直线 3 4 5 0xy   与圆  222 0xyrr 相交于 A,B 两点，且 120 oA O B（O 为坐标原点）， 则 r =_____. 【答案】2 【解析】若直线 3x-4y+5=0 与圆 交于 A、B 两点，O 为坐标原点， 且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线 3x-4y+5=0 的距离 1201cos 22drr， 即 22 51 234 r  ，解得 r=2， 故填 2 17．如图,某城市中心花园的边界是圆心为 O,直径为 1 千米的圆,花园一侧有一条直线型公路 l,花园中间有一 条公路 AB(AB 是圆 O 的直径),规划在公路 l 上选两个点 P,Q,并修建两段直线型道路 PB,QA.规划要求:道路 PB,QA不穿过花园.已知 O C l , B D l (C､D为垂足),测得OC=0.9,BD=1.2(单位:千米).已知修建道路费用为 m 元/千米.在规划要求下,修建道路总费用的最小值为_____元. 【答案】 2 . 1m 【解析】如图：过点 B 作直线 BPAB 交 l 于 P ，取 BD 与圆的交点 M ， 连接 ,MA MB ，则 MA MB ， 过点 A 作直线 A Q A B 交 l 于 Q ， 过点 作直线 A C l  交 于 C  ， 根据图象关系可得，直线上，点 P 左侧的点与 B 连成线段不经过圆内部， 点 右侧的点与 连成的线段不经过圆的内部， 最短距离之和即 P B A C  ， 根据几何关系： PBDBAMQAC    ， 3sin 5BAM， 所以 4coscoscos 5PBDBAMQAC  ， 所以 1 . 5BP  ， 2B D A C O C ，所以 0 . 6AC   ， 最小距离为 2.1 千米. 修建道路总费用的最小值为 2 . 1m 元. 故填 18．若 C 为半圆直径 AB 延长线上的一点，且 2ABBC，过动点 作半圆的切线，切点为 ，若 3PCPQ ，则 PAC 面积的最大值为_______． 【答案】 33 . 【解析】由题意，以 所在的直线为 x 轴，以 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系， 因为 ，所以 ( 3 ,0 )C ， 设 ( , )P x y ，因为过点 作半圆的切线 PQ ， 因为 ，所以 2222(3)31xyxy ， 整理，得 22360xyx ， 以点 的轨迹方程是以 3( ,0)2 为圆心，以 1 339 2422r    为半径的圆， 所以当点 在直线 3 2x  上时， 的面积最大， 最大值为 1 334 3322PACS     . 故填 . 三、解答题 19．已知以点 M 为圆心的圆经过点 ( 1,0 )A  和 ( 3,4 )B ，线段 AB 的垂直平分线交圆 于点 C 和 D ，且 2 10CD  ． （1）求直线CD 的方程； （2）求圆 的方程． 【解析】（1） 直线 AB 的斜率 1k  ， 的中点坐标为  1,2  直线 CD 的方程为 30xy   （2）设圆心  ,Mab ，则由点 在 上，得 30ab．① 又 直径 210CD  ， 10MA  ，  2 2110ab ．② 由①②解得 0 3 a b    或 2 1 a b    ， 圆心  0,3M 或  2 ,1 圆 的方程为  22 310xy 或   222110xy 20．如图，某海面上有O 、 A 、 B 三个小岛（面积大小忽略不计）， 岛在 岛的北偏东 45 方向距 岛 40 2 千米处， 岛在 岛的正东方向距 岛 20 千米处.以 为坐标原点， 的正东方向为 x 轴的正方向， 1 千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆 经过 、 、 三点. （1）求圆 的方程； （2）若圆 C 区域内有未知暗礁，现有一船 D 在 O 岛的南偏西 30°方向距 岛 40 千米处，正沿着北偏 东 45 行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【解析】（1）如图所示， (4 0 ,4 0 )A 、 (20 ,0)B ， 设过 、 A 、 B 三点的圆 的方程为 22 0xyDxEyF ， 得： 22 2 0 40 40 40 40 0 20 20 0 F D E F DF            ， 解得 20D  ， 60E  ， 0F  ， 故所以圆 的方程为 2220600xyxy ， 圆心为 (10,30)C ，半径 10 10r  ， （2）该船初始位置为点 D ，则  2 0 , 2 0 3D  ， 且该船航线所在直线 l 的斜率为 1， 故该船航行方向为直线 ： 202030xy ， 由于圆心 到直线 的距离 22 |103020203 | 10610 10 11 d   ， 故该船有触礁的危险. 21．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： 22(4)9xy 与 x 轴交于 A，B 两点 ( 其中点 A 在点 B 左侧 ) ， 直线 l 过点  1 , 4 ． （1）若直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的方程； （2）若直线 l 上存在点 M，满足 2MA MB ． ① 求直线 l 的斜率的取值范围； ② 若点 M 不在 x 轴上，求 MAB 面积的最大值及此时直线 l 的方程． 【解析】若直线 l 与 x 轴垂直，则直线 l 的方程为 1x  ， 若直线 l 与 x 轴不垂直， 则设 l 的方程为  41y k x   ，即 40kxyk ． （1）若直线 l 与 x 轴垂直，则直线 l 和圆 C 相切，符号条件 若直线 l 与 x 轴不垂直，若直线和圆相切，得圆心到直线的距离 22 4434 3 11 kkkd kk   ， 解得 7 24k  ，即直线 l 的方程为 7241030xy ， 综上直线 l 的方程为 7241030xy 或 1x  （2）设  ,M x y ，则由 2MA MB ，得， 224M A M B ， 即 2222(1)4[7)xyxy   整理得： 22( 9 ) 1 6xy   ， 即点 M 在圆 22( 9 ) 1 6xy   上， ① 根据题意直线 l 与圆 22( 9 ) 1 6xy   有公共点，注意到直线 l 的斜率明显存在， 因此直线 l： 40k x y k    与圆 22( 9 ) 1 6xy   有公共点， 即 22 9 4 8 4 4 11 k k k kk     ， 解得 40 3k ，即直线 l 的斜率的范围 40 , .3   M② 在圆 22(9)16xy 上， 当点 M 的坐标为  9 ,4 或  9 , 4 时，M 到 x 轴上的距离 d 取得 最大值 4， 则 MAB 面积的最大值为 11641222maxABd ， 此时直线 l 的方程为 50xy 或 4y  ． 22．已知圆 M 的圆心 在 x 轴上，半径为 1，直线 41: 32lyx 被圆 所截的弦长为 3 ，且圆心 在 直线 l 的下方． （1）求圆 的方程； （2）设 (0, ), (0,6)( 52)At Btt     ，若圆 是 ABC 的内切圆，求 的面积 S 的最大值和最 小值． 【解析】（1）设圆心  ,0Ma ，由已知得圆心 到直线 :8 6 3 0l x y   的距离为 2 2 311 22  ， ∴  22 83 1 286 a    ，又∵圆心 在直线 的下方，∴8 3 0a ，∴8 3 5, 1aa   ． 故圆 M 的方程为   2 211xy   ． （2）由题意设 AC 的斜率为 1 ,k B C 的斜率为 2k ，则直线 的方程为 1y k x t，直线 BC 的方程为 2 6y k x t   ． 由方程组 1 2 6 y k x t y k x t      ，得 C 点的横坐标为 0 12 6x kk  ． ∵ | | 6 6A B t t    ， ∴ 1 2 1 2 1 6 18| | 62S k k k k  ， 由于圆 与 相切，所以 1 2 1 ||1 1 kt k   ，∴ 2 1 1 2 tk t  ； 同理，     2 2 16 26 tk t   ，∴  2 12 2 361 6 tt kk tt    ， ∴  2 22 66 1616 1 6 1 tt S t t t t        ， ∵ 52t ，∴ 231t ，∴ 28614tt  ， ∴ 11512761,61 4284maxminSS ， ∴ ABC 的面积 S 的最大值为 15 2 ，最小值为 27 4 ．