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  • 2021-06-10 发布

高考数学知识点大串讲(5)

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2013 年高考数学知识点大串讲(5) 必考点五 闭区间上二次函数的最值问题精讲 知识点导航 二次函数是最简单的非线性函数之一,自身性质活跃,同时经常作为其他函数的载体。 二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数内容的继续和发展,随着区间的确定 或变化,以及在系数中增添参变数,使其又成为高考数学中的热点。 一. 定二次函数在定区间上的最值 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数 在定区间上的最值”。 例 1. 函数 y x x  2 4 2在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。 解:函数 y x x x2 242 22( ) 是定义在区间[0,3]上的二次函数,其对 称轴方程是 x2,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在[0, 3]上,如图 1 所示。函数的最大值为 f( )2 2 ,最小值为 f( )0 2 。 图 1 例 2. 已知 2 32x x ,求函数 f x x x()  2 1的最值。 高考名师 章晓峰 主编:章晓峰(高考教学研究组教研员) 副主编:林晓玲(中学优秀数学教师) 董洋洋(一线数学教师) 编委会成员:(排名不分先后) 刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌 姜 芝 胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏 夏小玉 范晓峰 解:由已知 2 32x x ,可得 0 3 2 x ,即函数 f x( ) 是定义在区间 0 3 2 ,    上的二 次函数。将二次函数配方得 f x x( )     1 2 3 4 2 ,其对称轴方程 x   1 2 ,顶点坐标    1 2 3 4 , ,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 0 3 2 ,    内,如图 2 所示。 函数 的最小值为 f( )0 1 ,最大值为 f 3 2 19 4      。 图 2 解后反思:已知二次函数 f x ax bx c()  2 (不妨设 a0),它的图象是顶点为     b a ac b a2 4 4 2 , 、对称轴为 x b a  2 、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[m, n]上 的最大值或最小值: (1)当   b a m n2 , 时, 的最小值是 f b a ac b a f x     2 4 4 2 ,()的最大值 是 f m f n( ) ( )、 中的较大者。 (2)当   b a m n2 , 时 若  b a m2 ,由 在 m n, 上是增函数 则 的最小值是 f m( ) ,最大值是 f n( ) 若 n b a  2 ,由 f x( ) 在 m n, 上是减函数 则 的最大值是 f m( ) ,最小值是 f n( ) 二. 动二次函数在定区间上的最值 二次函数随着参数 a 的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我 们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例 3. 已知 x2 1 ,且 a20,求函数 f x x ax()  2 3的最值。 解:由已知有  1 1 2x a, ,于是函数 是定义在区间 1 1, 上的二次函 数,将 配方得: f x x a a( )      2 3 4 2 2 二次函数 的对称轴方程是 x a  2 顶点坐标为     a a 2 3 4 2 , ,图象开口向上 由 a2可得 x a  2 1,显然其顶点横坐标在区间 的左侧或左端点上。 函数的最小值是 f a( )  1 4 ,最大值是 f a()1 4  。 图 3 例 4. 已知二次函数 fx ax ax a()  2 24 1在区间 4 1, 上的最大值为 5,求实 数 a 的值。 解:将二次函数配方得 fxax a a() ( ) 2 412 2 ,其对称轴方程为 x2, 顶点坐标为 ( )  2 4 12,a a ,图象开口方向由 a 决定。很明显,其顶点横坐标在区间 上。 若 a0,函数图象开口向下,如图 4 所示,当 时,函数取得最大值 5 即 f a a( )  2 4 152 解得 a 2 10 故 a a 210 210( )舍去 图 4 若 a0时,函数图象开口向上,如图 5 所示,当 x1时,函数取得最大值 5 即 f aa()1 5 152   解得 a a 1 6或 故 a a 1 6( )舍去 图 5 综上讨论,函数 f x( ) 在区间 4 1, 上取得最大值 5 时, a a 2 10 1或 解后反思:例 3 中,二次函数的对称轴是随参数 a 变化的,但图象开口方向是固定的; 例 4 中,二次函数的对称轴是固定的,但图象开口方向是随参数 a 变化的。 三. 定二次函数在动区间上的最值 二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数 t 而变化的,我们称这种情况是“定 函数在动区间上的最值”。 例 5. 如果函数 f x x() ( )  1 12 定义在区间 t t,1 上,求 的最小值。 解:函数 ,其对称轴方程为 x1,顶点坐标为(1,1),图象开 口向上。 如图 6 所示,若顶点横坐标在区间 左侧时,有1t。当 x t 时,函数取 得最小值 fx ft t() ()( )min 112 。 图 6 如图 7 所示,若顶点横坐标在区间 t t,1 上时,有 t t1 1,即 0 1t 。当 x1时,函数取得最小值 fx f() ()min 11。 图 7 如图 8 所示,若顶点横坐标在区间 t t,1 右侧时,有 t11,即 t0。当 x t1 时,函数取得最小值 fx ft t() ( )min 1 12 综上讨论, f x t t t t t ( ) ( ) , ,min            1 1 1 1 0 1 1 0 2 2 图 8 例 6. 设函数 f x x x()  2 4 4的定义域为 t t 2 1, ,对任意 t R ,求函数 f x( ) 的最小值( )t 的解析式。 解:将二次函数配方得: fxx x x() ( )2 244 28 其对称轴方程为 x2,顶点坐标为 ( )2 8, ,图象开口向上 若顶点横坐标在区间 t t 2 1, 左侧,则 2 2t ,即 t4。当 x t2时,函 数取得最小值 ft t t t( )( )2 48 882 2 若顶点横坐标在区间 上,则 t t22 1,即 3 4t 。当 x2时, 函数取得最小值 f( )2 8 若顶点横坐标在区间 右侧,则 t12,即 t3。当 x t1时,函 数取得最小值 ft t t t( )( )1 38 612 2 综上讨论,得( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t t              2 2 8 8 4 8 3 4 6 1 3 四. 动二次函数在动区间上的最值 二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是“动二次函 数在动区间上的最值”。 例 7. 已知 y axaa2 4 0  ( )( ),且当 x a 时, S x y  ( )32 2的最小值为 4, 求参数 a 的值。 解:将 y ax a2 4 ( )代入 S 中,得   S x a x a x a x a x a a a               ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3 2 9 4 3 2 12 8 2 2 2 2 2 则 S 是 x 的二次函数,其定义域为  x a , ,对称轴方程为 x a32,顶点 坐标为 ( )32 12 82 a a a, ,图象开口向上。 若 32 aa,即 0 1a 则当 x a32时, S a a最小   12 8 42 此时, a1,或 a  1 2 若 32 aa,即 a1 则当 x a 时,  S a a aa最小  ( )32 12 842 2 此时, a5,或 (因 a a 1 1, 舍去) 综上讨论,参变数 a 的取值为 ,或 ,或 例 8. 已知 ( ) ( )x y a a   1 4 0 2 2 2 ,且当 x a12时, P x y  ( )42 2的最 小值为 1,求参变数 a 的值。 解:将 y x a2 2 21 4  ( ) 代入 P 中,得 P x x a x a              ( ) ( )4 1 4 5 4 17 5 9 5 2 2 2 2 则 P 是 x 的二次函数,其定义域为  x a 12, ,对称轴方程为 x  17 5 ,顶点 坐标为 17 5 9 5 2,    a ,图象开口向上。 若 17 5 1 2  a ,即 a  6 5 则当 x  17 5 时, P a最小   9 5 12 此时, a  2 5 若 17 5 1 2  a ,即 a  6 5 则当 x a12时, P a a最小        5 412 17 5 9 5 12 此时, a2,或 a1(因 a a 6 5 1, 舍去) 综上讨论, a a 2 5 2,或 解后反思:例 7 中,二次函数的对称轴是变化的;例 8 中,二次函数的对称轴是固定 的。 另外,若函数图象的开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数的参 数一致,可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处 取得,不妨令之为最值,验证参数的资格,进行取舍。