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- 2021-06-10 发布
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2020届一轮复习人教A版 数系的扩充与复数的引入 课时作业
1、已知复数,则复数z在复平面内对应的点位于第( ) 象限
A.一 B.二 C.三 D.四
2、给出下列命题:(1)若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则实数a=±1;(2)1+i2是虚数;(3)在复平面中,实轴上的点均表示实数,虚轴上的点均表示纯虚数.其中真命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3、设x∈R,y∈R,若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则点(x,y)的轨迹是( )
A. 以原点为圆心,以2为半径的圆
B. 两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)
C. 以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线
D. 以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(,),(-,-)
4、已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A. (-3,1) B. (-1,3) C. (1,+) D. (-,-3)
5、若, 为虚数单位,且则( )
A. , B.
C. D.
6、如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,则实数m的值为( )
A. 1 B. 0 C. -1 D. -1或1
7、复数的实部为
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
8、
已知是虚数单位,则复数的模为( )
A.1 B.2 C. D.5
9、
若复数满足,则的实部为( )
A.-5 B.5 C.-8 D.8
10、
若复数(是虚数单位,)是纯虚数,则( )
A.4 B.-4 C.0 D.
11、若复数为纯虚数,则实数的值等于__________.
12、若复数()为纯虚数,则____.
13、如果是方程()的一个根,则__________.
14、设,是虚数单位,已知集合,,若,则的取值范围是________.
15、当实数为何值时,复数是:
①实数;②虚数;③纯虚数
16、已知a∈R,问复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z对应点的轨迹是什么?
17、已知复数z满足|z|=,z2的虚部为-2,且z在复平面内对应的点在第二象限.
(1)求复数z;
(2)若复数ω满足|ω-1|≤,求ω在复平面内对应的点的集合构成的图形的面积.
18、已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
19、已知复数.
(1)当实数m取什么值时,复数z是纯虚数?
(2)若z在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上,求|z|.
20、已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.
(1)求;
(2)求的值.
参考答案
1、答案:B
先得到复数对应的点的坐标,进而可得答案.
【详解】
由题意得,复数对应的点的坐标为,
所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限.
故选B.
名师点评:
本题考查复数的几何意义,解题的关键是熟悉复数、复平面内的点之间是一一对应的关系,属于简单题.
2、答案:A
(1)若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则a2-1=0且a2+3a+2≠0,解得a=1。
(2)1+i2=1-1=0是实数。
(3)除原点外虚轴上的点均表示纯虚数,原点对应的复数为0。
【详解】
(1)若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则a2-1=0且a2+3a+2≠0,解得a=1,所以错误;(2)1+i2=1-1=0是实数,所以错误;(3)除原点外虚轴上的点均表示纯虚数,原点对应的复数为0,所以错误.故选A
名师点评:
本题考查了复数的基本概念,对于复数为纯虚数,则。
3、答案:D
复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,x2+y2-4=0,且x≠y,即x2+y2=4(x≠y),由此得解。
【详解】
因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,所以x2+y2-4=0,且x≠y,即x2+y2=4(x≠y),故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(,),(-,-).故选D
名师点评:
复数为纯虚数,则。
4、答案:A
利用复数对应点所在象限,列出不等式组求解即可.
【详解】
z=(m+3)+(m﹣1)i在复平面内对应的点在第四象限,
可得:,解得﹣3<m<1.
故选:A.
名师点评:
本题考查复数的几何意义,考查计算能力.
5、答案:D
由题意得, ,即,所以,故选D.
考点:复数相等的概念.
6、答案:B
根据复数为纯虚数的概念,得到复数的实部为0,并且虚部不为0求出m.
【详解】
因为复数z=m(m+1)+(m2-1)i(i为虚数单位)是纯虚数,所以 ,解得m=0;
故答案为:B.
名师点评:
本题考查了复数的基本概念;如果复数a+bi(a,b是实数)是纯虚数,那么a=0并且b≠0.
7、答案:B
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】
==,
∴复数的实部为0.
故选:B.
名师点评:
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题.
8、答案:C
【分析】
先化简,再求值
【详解】
,所以模为,故选C。
名师点评:
复数的除法运算公式。
9、答案:B
【分析】
利用复数的除法运算化简得,从而得到的实部.
【详解】
∵
∴
∴的实部为5
故选:B
名师点评:
本题考查了复数的除法运算及复数的概念,属于基础题.
10、答案:D
【分析】
先化简,然后根据复数为纯虚数,得到实部为零,虚部不为零,由此求得的值
【详解】
复数为纯虚数,故,解得,故选.
名师点评:
本小题主要考查复数的平方运算,考查纯虚数的概念.属于基础题. 纯虚数是实部为零,虚部不为零的复数.
11、答案:0
由题意得,复数为纯虚数,则,解得或,当时,(舍去),所以.
考点:复数的概念.
12、答案:0
由题意得,复数为纯虚数,则,解得或,当时,(舍去),所以.
考点:复数的概念.
13、答案:19
分析:根据复数相等的概念可得解.
详解: 是方程()的一个根,
所以,化简得: .
所以,解得,所以.
故答案为:19.
名师点评:解负数方程即遵循“实部等于实部,虚部等于虚部”,若复数等于0即为“实部等于0,虚部等于0”
14、答案:
根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以(0,1)为圆心,半径为2的圆及内部;集合B表示圆的圆心移动到了(1,1+b);两圆面有交点即可求解b的取值范围.
【详解】
由题意,集合A表示的点的轨迹是以(0,1)为圆心,半径为2的圆及内部;
集合B表示点的轨迹为(1,1+b),半径为2的圆及内部
∵A∩B≠?,
说明,两圆面有交点;
∴.
可得:,
故答案:,
名师点评:
本题考查复数几何意义,圆与圆的位置关系,体现了数学转化思想方法,明确A.B集合的意义是关键,是中档题
15、答案:(1)(2)(3)
试题分析:复数为实数时需满足虚部为0,为虚数时需满足虚部不为0,为纯虚数时需满足实部为0,虚部不为0
试题(1)当,即时,z是实数。(2)当,即时,z是虚数。(3)当且,即时,z是纯虚数。
考点:复数的相关概念
16、答案:第四象限,轨迹为y=-x+2.
试题分析:根据二次函数确定实部与虚部范围,确定正负,决定象限,再设复数代数形式,再消去a得实部与虚部关系,即得轨迹方程.
试题解析:由a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,
∴复数z的实部为正数,复数z的虚部为负数,因此,复数z的对应点在第四象限.
设z=x+yi(x、y∈R),则消去a2-2a得:y=-x+2(x≥3).
∴复数z的对应点的轨迹是一条射线,方程为y=-x+2(x≥3).
17、答案:(1);(2)
试题分析:(1)设出复数,利用已知列出方程组,求解可得复数;(2)把复数
代入,利用复数代数形式的乘除运算化简,由复数求模公式计算,由复数满足,由复数的几何意义得出在复平面内对应的点的集合构成图形是什么,从而计算出对应面积.
【详解】
(1)设z=x+yi(x,y∈R),则z2=x2-y2+2xyi,
由|z|=,z2的虚部为-2,且z在复平面内对应的点在第二象限,
得解得
∴z=-1+i.
(2)由(1)知,z=-1+i,
∴====-+i,
∴==,
∴复数ω满足|ω-1|≤.
由复数的几何意义,得
ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,为半径的圆面,
∴其面积为π·=.
名师点评:
本题主要考查的是复数的乘法、除法运算,属于中档题.复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离,所以若,则表示点与点的距离,表示以为圆心,以为半径的圆.
18、答案:(1);(2)
试题分析:(1)向量对应的复数分别为,
,利用,即可得出;(2)
为实数,可得,即可得出结论.
【详解】
(1)∵=(a-1,-1),=(-3,b-3),
∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,
∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i=1+i,∴a-4=1,b-4=1,
解得a=b=5,
∴z1=4-i,z2=-3+2i.
(2)∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,
∴=2,2-b=0,∴a=4,b=2.
名师点评:
本题主要考查复数的几何意义,复数的模以及复数与向量的综合应用,属于中档题.复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离,所以若,则表示点与点的距离.
19、答案:(1);(2)或0
试题分析:(1),当实部等于0,虚部不等于0时,列出方程组,求解即可得结论;(2)当,即或时,为复平面内第二、第四象限角平分线上的点对应的复数,分类当或时,求出即可.
【详解】
z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.
(1)当即m=-时,z为纯虚数.
(2)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z在复平面内对应的点在第二、第四象限的角平分线上,
若m=0,则z=-2+2i,|z|=2;
若m=2,则z=0,|z|=0.
∴|z|=2或|z|=0.
名师点评:
本题主要考查纯虚数的定义、复数的模以及复数在象限内的特点,意在考查综合应用所学知识解决问题的能力,属于中档题.
20、答案:(1);(2)2
试题分析:(1)先求出为,即可求出,再根据共轭复数的定义即可求出;(2)根据复数的运算法则计算即可得出结论.
【详解】
(1)因为|3+4i|=5,
所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.
(2)===2.
名师点评:
复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.