【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第六章素养提升3高考中数列解答题的提分策略作业 3页

素养提升3　高考中数列解答题的提分策略 ‎1.[2020山西大学附属中学校诊断,12分]已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),-2S2,S3,4S4成等差数列,且a2+2a3+a4 =‎1‎‎16‎.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn =-(n+2)log2|an|,求数列{‎1‎bn}的前n项和Tn.‎ ‎2.[原创题,12分]已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1 =1,Sn‎2‎‎ =an+1‎‎2‎-‎λSn+1,其中λ为常数.‎ ‎(1)证明:Sn+1 =2Sn+λ.‎ ‎(2)是否存在实数λ,使得数列{an}为等比数列?若存在,求出λ;若不存在,请说明理由.‎ ‎3.[12分]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1 =1,且满足Sn =an+1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{nan}的前n项和Tn.‎ ‎4.[12分]已知数列{an}的各项均为正数,且an‎2‎‎-‎2nan-(2n+1) =0,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn =(-1)n-1an,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 素养提升3高考中数列解答题的提分策略 ‎1.(1)设等比数列{an}的公比为q,由 - 2S2,S3,4S4成等差数列,可知q≠1,2S3=4S4 - 2S2,即2·a‎1‎‎(1 - q‎3‎)‎‎1 - q=4·a‎1‎‎(1 - q‎4‎)‎‎1 - q - 2·a‎1‎‎(1 - q‎2‎)‎‎1 - q,化简得2q2 - q - 1=0,解得q= - ‎1‎‎2‎,a2+2a3+a4=‎1‎‎16‎,即 - ‎1‎‎2‎a1+2·‎1‎‎4‎a1 - ‎1‎‎8‎a1=‎1‎‎16‎,‎ 解得a1= - ‎1‎‎2‎,则an=( - ‎1‎‎2‎)n,n∈N*.(5分)‎ ‎(2)bn= - (n+2)log2|an|= - (n+2)log2‎1‎‎2‎n=n(n+2),可得‎1‎bn‎=‎1‎n(n+2)‎=‎‎1‎‎2‎(‎1‎n‎ - ‎‎1‎n+2‎),‎ 则Tn=‎1‎‎2‎(1 - ‎1‎‎3‎‎+‎1‎‎2‎ - ‎‎1‎‎4‎+…+‎1‎n - 1‎‎ - ‎1‎n+1‎+‎1‎n - ‎‎1‎n+2‎)=‎1‎‎2‎(1+‎1‎‎2‎‎ - ‎1‎n+1‎ - ‎‎1‎n+2‎)=‎3‎‎4‎‎ - ‎‎1‎‎2‎(‎1‎n+1‎‎+‎‎1‎n+2‎).(12分)‎ ‎2.(1)∵an+1=Sn+1 - Sn,Sn‎2‎‎=‎an+1‎‎2‎ - λSn+1,‎ ‎∴Sn‎2‎‎=‎‎(Sn+1‎ - Sn)‎‎2‎ - λSn+1,(1分)‎ ‎∴Sn+1(Sn+1 - 2Sn - λ)=0.(3分)‎ ‎∵an>0,∴Sn+1>0,‎ ‎∴Sn+1 - 2Sn - λ=0,∴Sn+1=2Sn+λ.(5分)‎ ‎(2)∵Sn+1=2Sn+λ,‎ ‎∴Sn=2Sn - 1+λ(n≥2),‎ 两式相减,得an+1=2an(n≥2).(8分)‎ ‎∵S2=2S1+λ,即a2+a1=2a1+λ,‎ ‎∴a2=1+λ,由a2>0,得λ> - 1.‎ 若{an}是等比数列,则a1a3=a‎2‎‎2‎,(10分)‎ 即2(λ+1)=(λ+1)2,得λ=1.(11分)‎ 经检验,λ=1符合题意.‎ 故存在λ=1,使得数列{an}为等比数列.(12分)‎ ‎3.(1)∵Sn=an+1,‎ ‎∴当n=1时,a2=1,当n≥2时,Sn - 1=an,‎ ‎∴an=Sn - Sn - 1=an+1 - an(n≥2),∴an+1=2an(n≥2),‎ ‎∵a1=1,a2=1,不满足上式,‎ ‎∴数列{an}是从第二项起的等比数列,公比为2,‎ ‎∴an=‎1,n=1,‎‎2‎n - 2‎‎,n≥2.‎(6分)‎ ‎(2)由(1)知,当n=1时,T1=1,‎ 当n≥2时,Tn=1+2×20+3×21+…+n×2n - 2,‎ ‎2Tn=1×2+2×21+3×22+…+n×2n - 1,‎ ‎∴ - Tn=1+21+22+…+2n - 2 - n×2n - 1=‎1 - ‎‎2‎n - 1‎‎1 - 2‎ - n×2n - 1,‎ ‎∴Tn=(n - 1)×2n - 1+1.‎ 当n=1时也满足上式,‎ 综上,Tn=(n - 1)×2n - 1+1.(12分)‎ ‎4.(1)由an‎2‎ - 2nan - (2n+1)=0得[an - (2n+1)]·(an+1)=0,‎ 所以an=2n+1或an= - 1.‎ 又数列{an}的各项均为正数,‎ 所以an=2n+1,n∈N*.(5分)‎ ‎(2)由(1)知an=2n+1,n∈N*,bn=( - 1)n - 1an=( - 1)n - 1·(2n+1),‎ 所以Tn=3 - 5+7 - 9+…+( - 1)n - 1·(2n+1)　①,‎ 故 - Tn= - 3+5 - 7+9 - …+( - 1)n - 1·(2n - 1)+( - 1)n·(2n+1)　②,‎ ‎① - ②得,2Tn=3 - 2[1 - 1+1 - 1+…+( - 1)n - 2] - ( - 1)n·(2n+1)=3 - 2×‎1×[1 - ( - 1‎)‎n - 1‎]‎‎1 - ( - 1)‎ - ( - 1)n·(2n+1)=2+( - 1)n - 1 - ( - 1)n·(2n+1)=2+( - 1)n - 1(2n+2),‎ 所以Tn=1+( - 1)n - 1(n+1).(12分)‎ ‎(12分)‎