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- 2021-06-10 发布
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学案50 直线、圆的位置关系
导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
自主梳理
1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：________、________、________.
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
(1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：
dr⇔________.
2．圆的切线方程
若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为____________________________．
注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．
经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________．
3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法
运用韦达定理及弦长公式
|AB|＝|xA－xB|
＝.
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
4．圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________.
判断圆与圆的位置关系常用方法：
(几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2 (r1≠r2)，则|O1O2|>r1＋r2________；|O1O2|＝r1＋r2______；|r1－r2|<|O1O2|0)的公共弦的长为2，则a＝________.
7．(2011·三明模拟)已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一点，A点关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________.
8．(2011·杭州高三调研)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．
(1)当α＝时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
10．(12分)(2011·湛江模拟)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
11．(14分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
学案50 直线、圆的位置关系
自主梳理
1．相切 相交 相离 (1)相交 相切 相离 (2)相交 相切 相离 2.x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 4.(1)相离 外切 相交 内切 内含 相离 外切 相交 内切 内含 (2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0
自我检测
1．A 2.D 3.B 4.B 5.B
课堂活动区
例1 解题导引 (1)过点P作圆的切线有三种类型：
当P在圆外时，有2条切线；
当P在圆上时，有1条切线；
当P在圆内时，不存在．
(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．
(3)切线长的求法：
过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，
则|PM|＝.
解 (1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，
由＝，解得k＝2±，得y＝(2±)x.
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，
设直线方程为x＋y－a＝0，
由＝，
得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.
∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
综上，圆的切线方程为y＝(2＋)x，或y＝(2－)x，
或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
(2)由|PO|＝|PM|，
得x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，
整理得2x1－4y1＋3＝0.
即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为2x＋y＝0.
解方程组得点P的坐标为.
变式迁移1 解 设圆切线方程为y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝，
∴k＝，另一条斜率不存在，方程为x＝2.
∴切线方程为x＝2和3x－4y＋6＝0.
圆心C为(1,1)，∴kPC＝＝2，
∴过两切点的直线斜率为－，又x＝2与圆交于(2,1)，
∴过切点的直线为x＋2y－4＝0.
例2 解题导引 (1)有关圆的弦长的求法：
已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r.
方法一 代数法：弦长|AB|＝|x2－x1|
＝·；
方法二 几何法：弦长|AB|＝2.
(2)有关弦的中点问题：
圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系．
解 (1)方法一
如图所示，|AB|＝4，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，连接AC、BC，
则|AD|＝2，|AC|＝4，
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式，得＝2，
解得k＝.
当k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
方法二 当直线l的斜率存在时，
设所求直线的斜率为k，
则直线的方程为y－5＝kx，即y＝kx＋5.
联立直线与圆的方程
消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0.①
设方程①的两根为x1，x2，
由根与系数的关系，得②
由弦长公式，得|x1－x2|
＝＝4.
将②式代入，解得k＝，
此时直线方程为3x－4y＋20＝0.
又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0.
∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即·＝0，
(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
变式迁移2 (1)证明 由kx－y－4k＋3＝0，
得(x－4)k－y＋3＝0.
∴直线kx－y－4k＋3＝0过定点P(4,3)．
由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，
即(x－3)2＋(y－4)2＝4，
又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4.
∴直线和圆总有两个不同的交点．
(2)解 kPC＝＝－1.
可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y－3＝x－4，即x－y－1＝0.|PC|＝＝，
∴|AB|＝2＝2.
例3 解题导引 圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手．
解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果C1与C2外切，
则有＝3＋2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＝25.
m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
(2)如果C1与C2内含，
则有<3－2.
(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，
得－20，b2＋6b－9<0，
解得－3－30.
即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.
变式迁移4 解 (1)方法一 ∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，
∴直线l的方程为y＝kx＋1.
将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.①
由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7>0，
得
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