【数学】2020届一轮复习（文理合用）第4章第1讲平面向量的概念及其线性运算作业 6页

对应学生用书[练案28理][练案27文]‎ 第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一讲　平面向量的概念及其线性运算 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．下列说法正确的是(　B　)‎ A．单位向量都相等 B．模为0的向量与任意向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等 ‎[解析]　对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C错误；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误，故选B．‎ ‎2．给出下列四个命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；‎ ‎③若a＝b，b＝c，则a＝c．‎ 其中正确命题的序号是(　B　)‎ A．①②　　　 B．②③　　　‎ C．①③　　　 D．②‎ ‎[解析]　由|a|＝|b|，得a与b只是大小相等，但方向不确定，因此不能得到a＝b或a＝－b，故①错误；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝⇔AB∥CD且AB＝CD⇔四边形ABCD为平行四边形，故②正确；③由a＝b，得|a|＝|b|，且a，b的方向相同，由b＝c，得|b|＝|c|，且b，c的方向相同，则|a|＝|c|，且a，c的方向相同，则a＝c，故③正确．故选B．‎ ‎[易错警示]　在有关平面向量概念的辨析中要注意几个易错点：(1)零向量的特殊性；(2)共线向量方向相同或者相反．‎ ‎3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　A　)‎ A．||＝||一定成立 B．＝＋一定成立 C．＝一定成立 D．＝－一定成立 ‎[解析]　在平行四边形ABCD中，＝＋一定成立，＝一定成立，＝－一定成立，但||＝||不一定成立，故选A．‎ ‎4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　D　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　在方格纸上作出＋，如图所示，则容易看出＋＝，故选D．‎ ‎5．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　A　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A．‎ ‎6．设平行四边形ABCD的对角线交于点P，则下列命题中正确的个数是(　C　)‎ ‎①＝＋；　　　　②＝(＋)；‎ ‎③＝－；　　　　④＝．‎ A．1　　　 B．2　　　‎ C．3　　　 D．4‎ ‎[解析]　因为由向量加法的平行四边形法则，知①＝＋，②＝(＋)‎ 都是正确的，由向量减法的三角形法则，知③＝－是正确的，因为，的大小相同，方向相反，所以④＝是错误的．‎ ‎7．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　D　)‎ A．a＋b＝0 B．a＝b C．a与b反向共线 D．存在正实数λ，使得a＝λb ‎[解析]　由已知得，向量a与b为同向向量，即存在正实数λ，使得a＝λb，故选D．‎ ‎8．设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　D　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3×(＋)＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝．‎ 二、填空题 ‎9．如图所示，下列结论不正确的是__②④___．‎ ‎①＝a＋b；‎ ‎②＝－a－b；‎ ‎③＝a－b；‎ ‎④＝a＋b．‎ ‎[解析]　由a＋b＝，知＝a＋b，①正确；由＝a－b，从而②错误；＝＋b，故＝a－b，③正确；＝＋2b＝a＋b，④错误．故正确的为①③．‎ ‎10．设a和b是两个不共线的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D 三点共线，则实数k的值等于．‎ ‎[解析]　∵A，B，D三点共线，∴∥.∵＝2a＋kb，＝＋＝a－2b，∴k＝－4.故填－4．‎ ‎11．若＝，＝(λ＋1)，则λ＝　－ 　．‎ ‎[解析]　由＝可知，点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则＝－，所以λ＋1＝－，解得λ＝－．‎ ‎12．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用和来表示向量，则＝　＋ 　．‎ ‎ [解析]　易知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋．‎ 三、解答题 ‎13．(1)设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2．‎ ‎①求证：A，B，D三点共线；‎ ‎②若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值；‎ ‎(2)已知a、b不共线，若向量ka＋b与a＋kb共线反向，求实数k的值．‎ ‎[解析]　(1)①证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，‎ ‎∵＝2e1－8e2，∴＝2，又与有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎②由①可知＝e1－4e2，‎ 又＝3e1－ke2，由B，D，F三点共线，得＝λ，‎ 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，‎ ‎∴解得k＝12，‎ ‎(2)∵ka＋b与a＋kb共线反向，∴存在实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)．‎ ‎∴∴k＝±1.又λ<0，∴k＝－1．‎ B组能力提升 ‎1．设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝(　B　)‎ A．－　　　 B．＋ C．－　　　 D．＋ ‎[解析]　解法一：设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，即－－3＝－4x－4y，则解得即＝＋，故选B．‎ 解法二：在△ABC中，＝－4，即－＝，则＝＋＝－＝－(＋)＝＋，故选B．‎ ‎[规律总结]　向量的线性运算的一个重要应用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量来表示，即平面向量基本定理的应用．在运用向量解决问题时，经常需要进行变形．‎ ‎2．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2＋＝2＋，则四边形ABCD一定是(　B　)‎ A．矩形　　　 B．梯形 C．平行四边形　　　 D．菱形 ‎[解析]　∵2＋＝2＋，∴2(－)＝－，即2＝，∴DA∥CB且2||＝||，∴四边形ABCD一定是梯形．故选B．‎ ‎3．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(　A　)‎ A．λμ＝1　　　 B．λμ＝－1‎ C．λ－μ＝－1　　　 D．λ＋μ＝2‎ ‎[解析]　∵与有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b，此时存在实数 eq f(1,μ)使＝，故和共线 .∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．故选A．‎ ‎4．如图，在△ABC中，点M为AC的中点，点N在AB上，＝3，点P在MN上，＝2，那么等于(　D　)‎ A．－　　　 B．－ C．－　　　 D．＋ ‎[解析]　由题意知＝，＝，＝ ‎∴＝＋＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋＝＋，故选D．‎ ‎5．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　B　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 ‎[解析]　∵2＝2＋，∴2－2＝，即2＝，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选B．‎