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  • 2021-06-10 发布

2019版一轮复习理数通用版“空间向量”双基过关检测

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“空间向量”双基过关检测 一、选择题 1.在空间直角坐标系中,点 P(m,0,0)到点 P1(4,1,2)的距离为 30,则 m 的值为( ) A.-9 或 1 B.9 或-1 C.5 或-5 D.2 或 3 解析:选 B 由题意 PP1= 30, 即 m-42+-12+-22= 30, ∴(m-4)2=25,解得 m=9 或 m=-1. 2.已知 a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若 a∥b,则λ与μ的值可以是( ) A.2,1 2 B.-1 3 ,1 2 C.-3,2 D.2,2 解析:选 A ∵a∥b,∴b=ka, 即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2), ∴ 6=kλ+1, 2μ-1=0, 2λ=2k, 解得 λ=2, μ=1 2 或 λ=-3, μ=1 2. 3.(2018·揭阳期末)已知 a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=1 2x-2a,则 x=( ) A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) 解析:选 B 由 b=1 2x-2a,得 x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,- 20). 4.已知 a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若 a,b,c 三向量共面,则λ=( ) A.9 B.-9 C.-3 D.3 解析:选 B 由题意知 c=xa+yb, 即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3), ∴ 2x-y=7, x+2y=6, -3x+3y=λ, 解得λ=-9. 5.在空间四边形 ABCD 中, AB―→ · CD―→+ AC―→ · DB―→+ AD―→ · BC―→=( ) A.-1 B.0 C.1 D.不确定 解析:选 B 如图,令 AB―→=a, AC―→=b, AD―→=c, 则 AB―→ · CD―→+ AC―→ · DB―→+ AD―→ · BC―→ =a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a) =a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a =0. 6.已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别是 OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且MG―→=2 GN―→,现用基底{ OA―→,OB―→,OC―→ }表示向量 OG―→,有 OG―→=x OA―→ +y OB―→+z OC―→,则 x,y,z 的值分别为( ) A.1 6 ,1 3 ,1 3 B.1 3 ,1 3 ,1 6 C.1 6 ,1 3 ,1 2 D.1 2 ,1 3 ,1 6 解析:选 A ∵ OG―→=OM―→+MG―→=1 2 OA―→+2 3MN―→ =1 2 OA―→+2 3( ON―→-OM―→) =1 2 OA―→+2 3 1 2  OB―→+ OC―→-1 2 OA―→ =1 6 OA―→+1 3 OB―→+1 3 OC―→, ∴x=1 6 ,y=1 3 ,z=1 3. 7.如图所示,在大小为 45°的二面角 AEFD 中,四边形 ABFE, CDEF 都是边长为 1 的正方形,则 B,D 两点间的距离是( ) A. 3 B. 2 C.1 D. 3- 2 解析:选 D ∵ BD―→= BF―→+ FE―→+ ED―→, ∴| BD―→ |2=| BF―→ |2+| FE―→ |2+| ED―→ |2+2 BF―→ · FE―→+2 FE―→ · ED―→+2 BF―→ · ED―→ =1+1+1- 2=3- 2,故| BD―→ |= 3- 2. 8.(2018·东营质检)已知 A(1,0,0),B(0,-1,1), OA―→+λ OB―→与 OB―→ 的夹角为 120°, 则λ的值为( ) A.± 6 6 B. 6 6 C.- 6 6 D.± 6 解析:选 C 因为 OA―→+λ OB―→=(1,-λ,λ), 所以 cos 120°= λ+λ 1+2λ2· 2 =-1 2 ,得λ=± 6 6 . 经检验λ= 6 6 不合题意,舍去,所以λ=- 6 6 . 二、填空题 9.已知 2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,则以 b,c 为方向 向量的两直线的夹角为________. 解析:由题意得,(2a+b)·c=0+10-20=-10. 即 2a·c+b·c=-10,又∵a·c=4,∴b·c=-18, ∴cos〈b,c〉= b·c |b||c| = -18 12× 1+4+4 =-1 2 , ∴〈b,c〉=120°,∴两直线的夹角为 60°. 答案:60° 10.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 AA1,BB1 的中点,则 sin〈 CM―→,D1N―→〉 =________. 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为 2, 则 C(0,2,0),M(2,0,1),D1(0,0,2),N(2,2,1). 可知 CM―→=(2,-2,1), D1N―→=(2,2,-1), CM―→ ·D1N―→=2×2+(-2)×2+1×(-1)=-1, | CM―→|=3,|D1N―→|=3, ∴cos〈 CM―→,D1N―→〉= CM―→ ·D1N―→ |CM―→||D1N―→| =-1 9 , ∴sin〈 CM―→,D1N―→〉=4 5 9 . 答案:4 5 9 11.已知点 O 为空间直角坐标系的原点,向量 OA―→=(1,2,3),OB―→=(2,1,2),OP―→=(1,1,2), 且点 Q 在直线 OP 上运动,当 QA―→ · QB―→取得最小值时, OQ―→的坐标是___________. 解析:∵点 Q 在直线 OP 上,∴设点 Q(λ,λ,2λ), 则 QA―→=(1-λ,2-λ,3-2λ), QB―→=(2-λ,1-λ,2-2λ), QA―→· QB―→=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6 λ-4 3 2-2 3 , 当λ=4 3 时, QA―→ · QB―→取得最小值-2 3 ,此时 OQ―→= 4 3 ,4 3 ,8 3 . 答案: 4 3 ,4 3 ,8 3 12.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BAC=π 2 ,AB=AC=AA1=1,已知 G 和 E 分别为 A1B1 和 CC1 的中点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点),若 GD⊥EF,则 线段 DF 的长度的取值范围为__________. 解析:设 AF=a,AD=b,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),E 0,1,1 2 ,G 1 2 ,0,1 ,F(a,0,0),D(0,b,0), GD―→= -1 2 ,b,-1 , EF―→= a,-1,-1 2 , DF―→=(a,-b,0). 因为 GD⊥EF,所以 GD―→⊥ EF―→, GD―→ · EF―→=0, 所以-1 2 a-b+1 2 =0,即 a+2b-1=0, 所以|DF|= a2+b2= 5b2-4b+1 = 5 b-2 5 2+ 1 5 . 由题意得,a=1-2b>0,所以 0