高考数学复习专题练习第4讲 平面向量应用举例 7页

第4讲 平面向量应用举例 一、选择题 ‎1．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．4 D．－4‎ 解析 由题意得×||×||×sin A＝，所以×4×1×sin A＝，故sin A＝，又A为锐角，所以A＝60°，·＝||×||×cos A＝4×1×cos 60°＝2.‎ 答案 A ‎2．若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是 (　　)．‎ A. B. C．2 D. 解析　a·b＝|a||b|cos 30°＝8sin 15°cos 15°×＝4×sin 30°×＝.‎ 答案　B ‎3. 函数y＝tanx－的部分图象如图所示，‎ 则(＋)·＝(　　)．‎ A．4 B．6‎ C．1 D．2‎ 解析　由条件可得B(3,1)，A(2,0)，‎ ‎∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.‎ 答案　B ‎4．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b 满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)‎ A. B.[来源:Z#xx#k.Com]‎ C．1 D. 解析 a∘b＝＝cos θ＝cos θ，b∘a＝cos θ，因为|a|>0，|b|>0,00，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.‎ 答案　 三、解答题 ‎11．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．‎ ‎(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；‎ ‎(2)若m⊥p边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．‎ 解 (1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B，‎ 即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，‎ ‎∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.‎ ‎∴a＋b＝ab.‎ 由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，‎ 即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，‎ ‎∴S＝absin C＝×4×sin＝.‎ ‎12．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈.‎ ‎(1)若||＝||，求角α的值；‎ ‎(2)若·＝－1，求的值．‎ 解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，‎ ‎∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，‎ 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，‎ 由||＝||，可得2＝2，‎ 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.‎ 又α∈，∴α＝.‎ ‎(2)由·＝－1，‎ 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，‎ ‎∴sin α＋cos α＝.①‎ 又＝＝2sin αcos α.‎ 由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，‎ ‎∴2sin αcos α＝－.‎ ‎∴＝－.‎ ‎13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝且m∥n.‎ ‎(1)求锐角B的大小；‎ ‎(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．‎ 解　(1)∵m∥n，∴2sin B＝－cos 2B，‎ ‎∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.‎ 又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.‎ ‎(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝，‎ 得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥‎2ac，代入上式，‎ 得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．‎ S△ABC＝acsin B＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，即S△ABC的最大值为.‎ ‎14．已知向量m＝，‎ n＝.‎ ‎(1)若m·n＝1，求cos的值；‎ ‎(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(‎2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．‎ 解　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2 ‎＝sin ＋＝sin＋，‎ ‎∵m·n＝1，∴sin＝.‎ cos＝1－2sin2＝，‎ cos＝－cos＝－.‎ ‎(2)∵(‎2a－c)cos B＝bcos C，‎ 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ ‎∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.‎ ‎∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．‎ ‎∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.‎ ‎∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.‎ ‎∴＜＋＜，sin∈.‎ 又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.‎ 故函数f(A)的取值范围是.‎