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- 2021-06-10 发布
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第61讲 求轨迹方程的基本方法
1.已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹是(D)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
=(-2-x,-y),=(3-x,-y),因为·=x2,所以(-2-x)·(3-x)+y2=x2,即y2=x+6.
2.已知F1(-1,0)、F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹是(A)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.线段
由于|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>2,所以P点轨迹为椭圆.
3.曲线f(x,y)=0关于直线x-y+2=0对称曲线的方程是(D)
A.f(x+2,y)=0 B.f(x-2,y)=0
C.f(y+2,x-2)=0 D.f(y-2,x+2)=0
设(x0,y0)是f(x,y)=0上任一点,它关于x-y+2=0的对称点为(x,y),则
解得
又f(x0,y0)=0,所以f(y-2,x+2)=0.
4.设A1、A2是椭圆+=1长轴的两个端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(C)
A.+=1 B.+=1
C.-=1 D.-=1
设交点为P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0).
因为A1、P1,P三点共线,所以=,①
因为A2、P2,P三点共线,所以=,②
解①②得x0=,y0=,代入+=1,
化简得-=1.
5.在圆x2+y2=9中,过已知点P(1,2)的弦的中点的轨迹方程为 (x-)2+(y-1)2= .
设弦的中点为M,则OM⊥PM.
所以M在以OP为直径的圆上,
故所求轨迹方程为(x-)2+(y-1)2=.
6.在平面直角坐标系xOy中,已知圆在x轴上截得的线段长为2,在y轴上截得的线段长为2,则圆心P的轨迹方程为 y2-x2=1 .
设P(x,y),圆P的半径为r.
由题意y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3,
所以P点的轨迹方程为y2-x2=1.
7.设点F(2,0),动点P到y轴的距离为d,求满足条件|PF|-d=2的点P的轨迹方程.
(方法一)设P的坐标为(x,y),由|PF|=2+d,
得=2+|x|,
即(x-2)2+y2=(2+|x|)2.所以y2=4|x|+4x.
当x≥0时,y2=8x;当x<0时,y2=0即y=0.
故所求轨迹方程为y2=8x(x≥0)和y=0(x<0).
(方法二)由题意|PF|=2+d,
当P在y轴右侧时,可转化为|PF|=x+2,即点P到定点F的距离等于到定直线l:x=-2的距离,
所以点P在抛物线y2=8x上.
当P点在y轴左侧时,|PF|=2-x,
即点P到F(2,0)的距离等于P到直线x=2的距离,从而有y=0(x<0).
综上可知,所求轨迹方程为y2=8x(x≥0)和y=0(x<0).
8.点P是以F1、F2为焦点的椭圆上的一点,过焦点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为点M,则点M的轨迹是(D)
A.抛物线 B.椭圆
C.双曲线 D.圆
连接OM,延长F2M交F1P的延长线于点Q,
则|PQ|=|PF2|.
所以|QF1|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a.
因为OM为△F1F2Q的中位线,
所以|OM|=|QF1|=a.
因此点M的轨迹是圆.故选D.
9.直线l与椭圆+y2=1交于P、Q两点,已知l的斜率为1,则弦PQ中点的轨迹方程为 x+4y=0(-<x<) .
设M(x,y)为PQ中点,P(x1,y1),Q(x2,y2),
则 ①-②,得
kPQ==-=-·=1.
所以x+4y=0.
则M(x,-),因为M在椭圆内,
所以+(-)2<1,解得-<x<.
所以所求轨迹方程为x+4y=0(-<x<).
10.(2016·新课标卷Ⅲ)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
由题意知F(,0).设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A(,a),B(,b),P(-
,a),Q(-,b),R(-,).
记过A,B两点的直线为l,
则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则
k1=====-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),
则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a||x1-|,
S△PQF=.
由题设可得2×|b-a||x1-|=,
所以x1=0(舍去)或x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,
由kAB=kDE可得=(x≠1).
而=y,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D(1,0)重合.
所以所求轨迹方程为y2=x-1.