2020高中数学 课时分层作业15 空间向量的数量积运算 新人教A版选修2-1 7页

课时分层作业(十五) 空间向量的数量积运算 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2DA)·(－)＝0，则△ABC是(　　)‎ A．直角三角形　　　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 B　[因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋ 所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0‎ 所以||＝||，因此△ABC是等腰三角形．]‎ ‎2．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(　　)‎ A．m∥n B．m⊥n C．m不平行于n，m也不垂直于n D．以上三种情况都有可能 B　[由题意知，m·a＝0，m·b＝0，则m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μ m·b＝0.‎ 因此m⊥n.]‎ ‎3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)‎ A．a2 B．a2‎ C．a2 D．a2‎ C　[·＝(＋)·AD＝(·＋·)＝＝a2.]‎ ‎4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　) ‎ ‎【导学号：46342143】‎ A．30° B．45°‎ 7‎ C．60° D．90°‎ C　[根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，∴·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，∴cos〈，〉＝＝，∴AB与CD所成的角为60°.]‎ ‎5.如图3124，已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝(　　)‎ 图3124‎ A．3 B．7‎ C．4 D．6‎ B　[||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49.‎ 所以||＝7.]‎ 二、填空题 ‎6．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．‎ ‎(－1－，－1＋)　[由题意知 即 得λ2＋2λ－2<0.‎ ‎∴－1－<λ<－1＋.]‎ ‎7.如图3125，已知正三棱柱ABCA1B‎1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．‎ 图3125‎ 7‎ ‎90°　[不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，‎ cos〈，〉＝ ‎＝＝0，故填90°.]‎ ‎8．如图3126所示，在一个直二面角αABβ的棱上有A，B两点，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________. ‎ ‎【导学号：46342144】‎ 图3126‎ ‎2　[∵＝＋＋＝－＋，∴2＝(－＋)2＝2＋2－2·＋2＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2.]‎ 三、解答题 ‎9．如图3127，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.‎ 图3127‎ ‎[证明]　设＝a，＝b，＝C．‎ 则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.‎ 而＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝c＋(a＋b)，‎ 7‎ ＝－＝b－a，‎ ＝＋ ‎＝(＋)＋ ‎＝(a＋b)－C．‎ ‎∴·＝·(b－a)‎ ‎＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)‎ ‎＝c·b－c·a＋(b2－a2)‎ ‎＝(|b|2－|a|2)＝0.‎ ‎∴⊥.‎ ‎∴A1O⊥BD．‎ 同理可证⊥.‎ ‎∴A1O⊥OG.‎ 又OG∩BD＝O且A1O⊄平面BDG，‎ ‎∴A1O⊥平面BDG.‎ ‎10．已知长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·. ‎ ‎【导学号：46342145】‎ ‎[解]　如图所示，设＝a，＝b，＝c，‎ 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.‎ ‎(1)·＝·(＋)‎ ‎＝· 7‎ ‎＝b· ‎＝|b|2＝42＝16.‎ ‎(2)·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝·(＋)‎ ‎＝·(a＋c)‎ ‎＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.‎ ‎(3)·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝· ‎＝· ‎＝(－a＋b＋c)· ‎＝－|a|2＋|b|2＝2.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．已知边长为1的正方体ABCDA1B‎1C1D1的上底面A1B‎1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ C　[＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C．]‎ ‎2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．90° D．45°‎ B　[由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.‎ cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.]‎ 7‎ ‎3．已知正三棱柱ABCDEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________.‎ 　[设＝m，由于＝＋，＝＋m，‎ 又·＝0，‎ 得×1×1×＋‎4m＝0，‎ 解得m＝.]‎ ‎4．已知在正四面体DABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为________. ‎ ‎【导学号：46342146】‎ 　[如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，‎ ‎∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝.]‎ ‎5．如图3128，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.‎ 7‎ 图3128‎ ‎(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；‎ ‎(2)求〈，〉．‎ ‎[解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，‎ 则＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－‎5a)，‎ ＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－‎5c)，‎ 所以·＝(b＋c－‎5a)·(a＋c－5b)＝(‎18a·b－9|a|2)＝(18×1×1×cos 60°－9)＝0，‎ 所以⊥，即AO⊥BO.‎ 同理，AO⊥CO，BO⊥CO.‎ 所以AO，BO，CO两两垂直．‎ ‎(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－‎2a－2b＋c)，‎ 所以||＝＝.‎ 又||＝＝，‎ ·＝(－‎2a－2b＋c)·(b＋c－‎5a)＝，‎ 所以cos〈，〉＝＝.‎ 又〈，〉∈(0，π)，所以〈，〉＝.‎ 7‎