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  • 2021-06-10 发布

2020届二轮复习数列中的不等关系教案(全国通用)

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第55炼 数列中的不等关系 一、基础知识:‎ ‎1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关,而要求的数列中的最值项,要依靠数列的单调性,所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 ‎2、如何判断数列的单调性:‎ ‎(1)函数角度:从通项公式入手,将其视为关于的函数,然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于 ,所以如果需要用到导数,首先要构造一个与通项公式形式相同,但定义域为 的函数,得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性 ‎(2)相邻项比较:在通项公式不便于直接分析单调性时,可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性,通常的手段就是作差(与0比较,从而转化为判断符号问题)或作商(与1比较,但要求是正项数列)‎ ‎3、用数列的眼光去看待有特征的一列数:在解数列题目时,不要狭隘的认为只有题目中的是数列,实质上只要是有规律的一排数,都可以视为数列,都可以运用数列的知识来进行处理。比如:含的表达式就可以看作是一个数列的通项公式;某数列的前项和也可看做数列等等。‎ ‎4、对于某数列的前项和,在判断其单调性时可以考虑从解析式出发,用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现:,所以的增减由所加项的符号确定。进而把问题转化成为判断的符号问题 二、典型例题 例1:已知数列,前项和满足 ‎ ‎(1)求的通项公式 ‎ ‎(2)设,若数列是单调递减数列,求实数的取值范围 ‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 时, ‎ 当时,符合上式 ‎ ‎ ‎(2)思路:由(1)可得:,由已知为单调递减数列可得对均成立,所以代入通项公式得到关于的不等式,即只需,构造函数或者数列求出的最大值即可 解:‎ 是递减数列 ,‎ 即 ‎ ‎ ‎ 只需 ‎① 构造函数:设 ‎ 则 ‎ ‎ 所以在单调递增,在单调递减 ‎ 时, ‎ 即 ‎ ‎② 构造数列:设数列的通项公式 ‎ ‎ ‎ ‎ 时,,即 当时, ‎ 所以的最大项为 ‎ ‎ 例2:已知等差数列中,,记数列的前项和为,若,对任意的恒成立,则整数的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:若恒成立,,要找,则需先确定的通项公式得到:,所以,发现无法直接求和,很难变为简单的表达式,所以考虑将视为一个数列,通过相邻项比较寻找其单调性:‎ ‎,进而单调递减,,所以,从而 ‎ 答案:B 例3:已知数列满足,若为等比数列,且 ‎(1)求 ‎(2)设,记数列的前项和为 ‎① 求 ‎② 求正整数,使得对于,均有 解:(1)‎ ‎ 或(舍)‎ ‎(2)① ‎ ‎ ‎ ‎② 思路:实质是求取到最大值的项,考虑分析 的单调性,从解析式上很难通过函数的单调性判断,从而考虑相邻项比较。对于而言,的增减受符号的影响,所以将问题转化为判断的符号。可估计出当取得值较大时,会由正项变为负项。所以只要寻找到正负的分界点即可 解:‎ 当时,可验证,从而可得 设,则 当时,递减 时, ‎ 时,均有 例4:已知数列的前项和为且,数列满足:,,其前项和为 ‎(1)求 ‎(2)令,记的前项和为,对,均有,求的最小值 解:(1)‎ 为公差是的等差数列 ‎ 时,‎ 符合上式 ‎ ‎ 为等差数列 设前项和为 ‎ ‎(2)思路:依题意可得:,可求出,从而,若最小,则应最接近的最大最小值(或是临界值),所以问题转化成为求的范围,可分析其单调性。单调递增。所以最小值为,而当时,,所以无限接近,故的取值范围为中的离散点,从而求出的最小值 解:‎ 设,可知递增 ‎,当时,‎ ‎ ‎ 若最小,则 ‎ 例5(2018,黄州区校级模拟)数列的前项和,数列满足 ‎ ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)求证:当时,数列为等比数列 ‎(3)在(2)的条件下,设数列的前项和为,若数列中只有最小,求的取值范围 解:(1) ‎ 符合上式 ‎ ‎ ‎(2)‎ 考虑 即 ‎ ‎ 数列为等比数列 ‎(3)思路:由(2)可求得通项公式,但不知其单调性,但可以先考虑必要条件以缩小的取值范围。若要最小,则最起码要比小,从而先求出满足的必要条件(也许最后结果是其子集),在这个范围内可判定为递增数列,从而能保证最小 由(2)可得:是公比为的等比数列 ‎ ‎ 若要最小,则必然要即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则,所以为递增数列 ‎,符合最小的条件 所以 小炼有话说:在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件,可先写出其必要条件适当缩小其取值范围,往往会给解题带来新的突破口 例6:(2018,文登市二模)各项均为正数的数列 ,其前项和为,满足 ,且 ‎ ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)若,令,设数列的前项和为,试比较与的大小 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎(舍)或 是公比为2的等比数列 ‎,解得: ‎ ‎ ‎ ‎(2)思路:由(1)可得,进而可求出,比较大小只需两式作差,再进行化简通分可得。利用函数或构造数列判断出的符号即可 解: ‎ 设 ,可得 ‎ 为减函数 ‎ ‎ ‎ 例7:(2018,湖南模拟)已知各项都为正数的数列的前项和为,且对任意的,都有(其中,且为常数),记数列的前项和为 ‎ ‎(1) 求数列的通项公式及 ‎(2)当时,将数列的前项抽去其中一项后,剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前项,记的前项和为 ,若存在,使得对任意,总有恒成立,求实数的取值范围 解:(1) ①‎ ‎ ②‎ ‎①②可得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 为公差是的等差数列 在令得:解得: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)思路:本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题,先求的表达式。由已知可得:时,,要解决,首先要解出等比数列的通项公式。时,‎ ‎,进而 显然抽去的应为,所以,得到, ,所以要处理的恒成立不等式为:。 再利用最值逐步消元即可 解:时,,进而 成公比为的等比数列,即的公比为,且 ‎ ‎ ‎ 而由(1),当时,,所以恒成立的不等式为:‎ ‎,所以 设 可得为递增函数 ‎ ‎ 所以对任意的均成立 即 设 为减函数 ‎ ‎ ‎ ‎ 小炼有话说:本题在处理恒成立问题时,两个阶段对变量量词的不同导致取最大还是最小值要明确区分。第一阶段是存在,也就是说只要有满足不等式即可,‎ 所以只要最小值比右边小,就意味着已经存在这样的;第二阶段是对任意的,不等式均要成立,所以只要最大值满足不等式,剩下的函数值也必然能满足不等式。‎ 例8:已知数列的前项和,数列满足 ‎ ‎(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式 ‎ ‎(2)设数列满足(为非零整数,),问是否存在整数,使得对任意,都有 ‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 是公差为1的等差数列 在令得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)思路:由(1)可得:‎ ‎,所以 等同于,化简可得: ,而的奇偶将决定的符号,所以要进行分类讨论 解:由(1)可得:‎ 则等价于:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当为奇数时,恒成立不等式为:‎ 所以只需 当为偶数时,恒成立不等式为:‎ 所以只需 ‎ ‎ ‎ ‎ 例9:已知数列前项和为,且 ‎ ‎(1)求的通项公式 ‎ ‎(2)设,若集合恰有个元素,则实数的取值范围 ‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)思路:由(1)所得通项公式可利用错位相减法求 ,进而得到 ‎,要读懂集合恰有4个元素的含义,根据描述的特点可知:集合中的元素应该为从大到小排前4项的序数,所以只需判断出的单调性,并结合单调性选出较大的前4项,便可确定的取值。‎ 解: ‎ ‎ 两式相减可得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 下面考虑的单调性 ‎ ‎ 时,,即 时,,所以 ‎ 而 ‎ 从大到小排的前4项为: ‎ ‎ ‎ 例10:(2018,天元区校级模拟)已知数列满足 ‎ ‎(1)当时,求数列的前项和 ‎ ‎(2)若对任意,都有成立,求的取值范围 解:(1) ①‎ ‎ ②‎ ‎①②可得: ‎ 中奇数项成等差数列,偶数项成等差数列,公差均为4‎ 当时, ‎ ‎ ‎ 当为奇数时, ‎ ‎ ‎ 所以当为偶数时 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为奇数时 ‎ ‎ ‎(2)思路:考虑将不等式转化为的不等式,由(1)可得的奇数项,偶数项各为等差数列,所以只要通过分类讨论确定的奇偶,即可把均用表示,再求出范围即可 解:由(1)可得:的奇数项,偶数项各为等差数列,且公差为4‎ 当为奇数时, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 化简后可得: ‎ 所以只需 设 ‎ 解得:或 当为偶数时,同理:, ‎ 化简可得:即 设可得:‎ 综上所述:或 三、历年好题精选 ‎1、已知数列的前项和为,且 ‎(1)若,求数列的前项和 ‎(2)若,求证:数列是等比数列,并求其通项公式 ‎(3)记,若对任意的恒成立,求实数的最大值 ‎2、已知数列是首项的等比数列,其前项和中成等差数列 ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)设,若,求证: ‎ ‎3、已知数列满足:,且 ‎(1)证明:数列为等比数列 ‎(2)求数列的通项公式 ‎(3)设(为非零整数),试确定的值,使得对任意,都有成立 ‎4、已知数列中,(为非零常数),其前项和满足 ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)若,且,求的值 ‎(3)是否存在实数,使得对任意正整数,数列中满足的最大项恰为第项?若存在,分别求出的取值范围;若不存在,请说明理由 ‎5、(2018,无锡联考)数列的前项和为,且对一切正整数都有.‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)求数列的通项公式 ‎(3)是否存在实数,使得不等式对一切正整数都成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由 ‎6、已知函数,数列满足 ‎(1)求的通项公式 ‎(2)令,,若对一切成立,求最小正整数 ‎7、(2018,贵阳一中四月考)已知数列的前项和为,,且,数列满足,对任意,都有 ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)令,若对任意的,不等式恒成立,试求实数的取值范围 ‎8、设数列为数列的前项和,且 ‎(1)求的通项公式 ‎(2)设,数列的前项和,若存在整数,使得对任意的都有成立,求的最大值 习题答案:‎ ‎1、解析:(1)‎ ‎(2)由可知,代入可得:‎ 时,‎ 代入可得:‎ ‎,即是公比为的等比数列 在中,令可得:‎ ‎(3)可知为递减数列 ‎ ‎ 为递增数列 即的最大值为 ‎2、解析:(1)成等差数列 ‎(2)由(1)可得:‎ ‎ 为递增数列 综上所述:‎ ‎3、解:(1)‎ ‎ ‎ 是公比为的等比数列 ‎(2)当时,,即 当时,‎ ‎ ‎ 是公差为的等差数列 即 ‎(3)由(2)可得:‎ ‎ 恒成立不等式为:‎ 当为奇数时,‎ 当为偶数时,‎ ‎ ‎ ‎4、解析:(1)由已知令,则,所以 ‎ 当时,‎ 验证可知符合通项公式 ‎(2)可得 ‎ ‎(3)由可得 若,则,不符题意,舍去 若,则 的最大项恰为第项 因为该不等式对任意均成立 解得:‎ ‎5、解析:(1) ‎ 即 ‎(2)由(1)可知 ‎,两式相减可得:‎ 中奇数项,偶数项分别成公差是4的等差数列 中令 令可得:‎ 综上所述可得:‎ ‎(3)恒成立的不等式为:‎ ‎ ‎ 设,由可知 为递减数列 解得:‎ ‎6、解析:(1)由已知可得:‎ 为首项是1,公差是的等差数列 ‎(2)当时,‎ 可验证当时,满足上式 所以对一切均成立 最小正整数为 ‎7、解析:(1)‎ ‎ ‎ 可得:‎ ‎,验证时,符合上式 由可知为等比数列 ‎ ‎ ‎(2)‎ 故恒成立不等式为:‎ 化简可得:。所以只需 设 ‎8、解析:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是公差为1的等差数列 在令得: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)可得: ‎ ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为递增数列 ‎ ‎ 即的最大值为