2020届二轮复习数列中的不等关系教案（全国通用） 26页

第55炼 数列中的不等关系 一、基础知识：‎ ‎1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 ‎2、如何判断数列的单调性：‎ ‎（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性 ‎（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）‎ ‎3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。比如：含的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前项和也可看做数列等等。‎ ‎4、对于某数列的前项和，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：，所以的增减由所加项的符号确定。进而把问题转化成为判断的符号问题 二、典型例题 例1：已知数列，前项和满足 ‎ ‎（1）求的通项公式 ‎ ‎（2）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围 ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 时， ‎ 当时，符合上式 ‎ ‎ ‎（2）思路：由（1）可得：，由已知为单调递减数列可得对均成立，所以代入通项公式得到关于的不等式，即只需，构造函数或者数列求出的最大值即可 解：‎ 是递减数列 ，‎ 即 ‎ ‎ ‎ 只需 ‎① 构造函数：设 ‎ 则 ‎ ‎ 所以在单调递增，在单调递减 ‎ 时， ‎ 即 ‎ ‎② 构造数列：设数列的通项公式 ‎ ‎ ‎ ‎ 时，，即 当时， ‎ 所以的最大项为 ‎ ‎ 例2：已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：若恒成立，，要找，则需先确定的通项公式得到：，所以，发现无法直接求和，很难变为简单的表达式，所以考虑将视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：‎ ‎，进而单调递减，，所以，从而 ‎ 答案：B 例3：已知数列满足，若为等比数列，且 ‎（1）求 ‎（2）设，记数列的前项和为 ‎① 求 ‎② 求正整数，使得对于，均有 解：（1）‎ ‎ 或（舍）‎ ‎（2）① ‎ ‎ ‎ ‎② 思路：实质是求取到最大值的项，考虑分析 的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。对于而言，的增减受符号的影响，所以将问题转化为判断的符号。可估计出当取得值较大时，会由正项变为负项。所以只要寻找到正负的分界点即可 解：‎ 当时，可验证，从而可得 设，则 当时，递减 时， ‎ 时，均有 例4：已知数列的前项和为且，数列满足：，，其前项和为 ‎（1）求 ‎（2）令，记的前项和为，对，均有，求的最小值 解：（1）‎ 为公差是的等差数列 ‎ 时，‎ 符合上式 ‎ ‎ 为等差数列 设前项和为 ‎ ‎（2）思路：依题意可得：，可求出，从而，若最小，则应最接近的最大最小值（或是临界值），所以问题转化成为求的范围，可分析其单调性。单调递增。所以最小值为，而当时，，所以无限接近，故的取值范围为中的离散点，从而求出的最小值 解：‎ 设，可知递增 ‎，当时，‎ ‎ ‎ 若最小，则 ‎ 例5（2018，黄州区校级模拟）数列的前项和，数列满足 ‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）求证：当时，数列为等比数列 ‎（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若数列中只有最小，求的取值范围 解：（1） ‎ 符合上式 ‎ ‎ ‎（2）‎ 考虑 即 ‎ ‎ 数列为等比数列 ‎（3）思路：由（2）可求得通项公式，但不知其单调性，但可以先考虑必要条件以缩小的取值范围。若要最小，则最起码要比小，从而先求出满足的必要条件（也许最后结果是其子集），在这个范围内可判定为递增数列，从而能保证最小 由（2）可得：是公比为的等比数列 ‎ ‎ 若要最小，则必然要即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则，所以为递增数列 ‎，符合最小的条件 所以 小炼有话说：在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件，可先写出其必要条件适当缩小其取值范围，往往会给解题带来新的突破口 例6：（2018，文登市二模）各项均为正数的数列 ，其前项和为，满足 ，且 ‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）若，令，设数列的前项和为，试比较与的大小 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎（舍）或 是公比为2的等比数列 ‎，解得： ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：由（1）可得，进而可求出，比较大小只需两式作差，再进行化简通分可得。利用函数或构造数列判断出的符号即可 解： ‎ 设 ，可得 ‎ 为减函数 ‎ ‎ ‎ 例7：（2018，湖南模拟）已知各项都为正数的数列的前项和为，且对任意的，都有（其中，且为常数），记数列的前项和为 ‎ ‎（1） 求数列的通项公式及 ‎（2）当时，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前项，记的前项和为 ，若存在，使得对任意，总有恒成立，求实数的取值范围 解：（1） ①‎ ‎ ②‎ ‎①②可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 为公差是的等差数列 在令得：解得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题，先求的表达式。由已知可得：时，，要解决，首先要解出等比数列的通项公式。时，‎ ‎，进而 显然抽去的应为，所以，得到， ，所以要处理的恒成立不等式为：。 再利用最值逐步消元即可 解：时，，进而 成公比为的等比数列，即的公比为，且 ‎ ‎ ‎ 而由（1），当时，，所以恒成立的不等式为：‎ ‎，所以 设 可得为递增函数 ‎ ‎ 所以对任意的均成立 即 设 为减函数 ‎ ‎ ‎ ‎ 小炼有话说：本题在处理恒成立问题时，两个阶段对变量量词的不同导致取最大还是最小值要明确区分。第一阶段是存在，也就是说只要有满足不等式即可，‎ 所以只要最小值比右边小，就意味着已经存在这样的；第二阶段是对任意的，不等式均要成立，所以只要最大值满足不等式，剩下的函数值也必然能满足不等式。‎ 例8：已知数列的前项和，数列满足 ‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式 ‎ ‎（2）设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数，使得对任意，都有 ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 是公差为1的等差数列 在令得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：由（1）可得：‎ ‎，所以 等同于，化简可得： ，而的奇偶将决定的符号，所以要进行分类讨论 解：由（1）可得：‎ 则等价于：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当为奇数时，恒成立不等式为：‎ 所以只需 当为偶数时，恒成立不等式为：‎ 所以只需 ‎ ‎ ‎ ‎ 例9：已知数列前项和为，且 ‎ ‎（1）求的通项公式 ‎ ‎（2）设，若集合恰有个元素，则实数的取值范围 ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：由（1）所得通项公式可利用错位相减法求 ，进而得到 ‎，要读懂集合恰有4个元素的含义，根据描述的特点可知：集合中的元素应该为从大到小排前4项的序数，所以只需判断出的单调性，并结合单调性选出较大的前4项，便可确定的取值。‎ 解： ‎ ‎ 两式相减可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 下面考虑的单调性 ‎ ‎ 时，，即 时，，所以 ‎ 而 ‎ 从大到小排的前4项为： ‎ ‎ ‎ 例10：（2018，天元区校级模拟）已知数列满足 ‎ ‎（1）当时，求数列的前项和 ‎ ‎（2）若对任意，都有成立，求的取值范围 解：（1） ①‎ ‎ ②‎ ‎①②可得： ‎ 中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4‎ 当时， ‎ ‎ ‎ 当为奇数时， ‎ ‎ ‎ 所以当为偶数时 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为奇数时 ‎ ‎ ‎（2）思路：考虑将不等式转化为的不等式，由（1）可得的奇数项，偶数项各为等差数列，所以只要通过分类讨论确定的奇偶，即可把均用表示，再求出范围即可 解：由（1）可得：的奇数项，偶数项各为等差数列，且公差为4‎ 当为奇数时， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 化简后可得： ‎ 所以只需 设 ‎ 解得：或 当为偶数时，同理：， ‎ 化简可得：即 设可得：‎ 综上所述：或 三、历年好题精选 ‎1、已知数列的前项和为，且 ‎（1）若，求数列的前项和 ‎（2）若，求证：数列是等比数列，并求其通项公式 ‎（3）记，若对任意的恒成立，求实数的最大值 ‎2、已知数列是首项的等比数列，其前项和中成等差数列 ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）设，若，求证： ‎ ‎3、已知数列满足：，且 ‎（1）证明：数列为等比数列 ‎（2）求数列的通项公式 ‎（3）设（为非零整数），试确定的值，使得对任意，都有成立 ‎4、已知数列中，（为非零常数），其前项和满足 ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）若，且，求的值 ‎（3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出的取值范围；若不存在，请说明理由 ‎5、（2018，无锡联考）数列的前项和为，且对一切正整数都有．‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）求数列的通项公式 ‎（3）是否存在实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由 ‎6、已知函数，数列满足 ‎（1）求的通项公式 ‎（2）令，，若对一切成立，求最小正整数 ‎7、（2018，贵阳一中四月考）已知数列的前项和为，，且，数列满足，对任意，都有 ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围 ‎8、设数列为数列的前项和，且 ‎（1）求的通项公式 ‎（2）设，数列的前项和，若存在整数，使得对任意的都有成立，求的最大值 习题答案：‎ ‎1、解析：（1）‎ ‎（2）由可知，代入可得：‎ 时，‎ 代入可得：‎ ‎，即是公比为的等比数列 在中，令可得：‎ ‎（3）可知为递减数列 ‎ ‎ 为递增数列 即的最大值为 ‎2、解析：（1）成等差数列 ‎（2）由（1）可得：‎ ‎ 为递增数列 综上所述：‎ ‎3、解：（1）‎ ‎ ‎ 是公比为的等比数列 ‎（2）当时，，即 当时，‎ ‎ ‎ 是公差为的等差数列 即 ‎（3）由（2）可得：‎ ‎ 恒成立不等式为：‎ 当为奇数时，‎ 当为偶数时，‎ ‎ ‎ ‎4、解析：（1）由已知令，则，所以 ‎ 当时，‎ 验证可知符合通项公式 ‎（2）可得 ‎ ‎（3）由可得 若，则，不符题意，舍去 若，则 的最大项恰为第项 因为该不等式对任意均成立 解得：‎ ‎5、解析：（1） ‎ 即 ‎（2）由（1）可知 ‎，两式相减可得：‎ 中奇数项，偶数项分别成公差是4的等差数列 中令 令可得：‎ 综上所述可得：‎ ‎（3）恒成立的不等式为：‎ ‎ ‎ 设，由可知 为递减数列 解得：‎ ‎6、解析：（1）由已知可得：‎ 为首项是1，公差是的等差数列 ‎（2）当时，‎ 可验证当时，满足上式 所以对一切均成立 最小正整数为 ‎7、解析：（1）‎ ‎ ‎ 可得：‎ ‎，验证时，符合上式 由可知为等比数列 ‎ ‎ ‎（2）‎ 故恒成立不等式为：‎ 化简可得：。所以只需 设 ‎8、解析：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是公差为1的等差数列 在令得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）可得： ‎ ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为递增数列 ‎ ‎ 即的最大值为